Kiến thức

Dạng toán 1. Xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Trong chương trình toán lớp 10, các em học sinh sẽ được làm quen với chương bất phương trình và hệ bất phương trình hai ẩn. Cụ thể, các em sẽ được học kiến thức về xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình.

Do đó thầy đã biên soạn bài viết này đầy đủ bao gồm phương pháp giải, ví dụ vận dụng từ căn bản tới nâng cao mà các em thường xuyên dùng để giải bài tập.

I. Phương pháp xác định miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c > 0

Bước 1: Vẽ đường thẳng (d): ax + by + c = 0

Bước 2: Lấy một điểm M(x0; y0) không thuộc đường thẳng d

Bước 3: Tính A = ax$_0$ + by$_0$ + c

  • Nếu A > 0 thì M thuộc miền nghiệm ta gạch chéo phần mặt phẳng không chứa M.
  • Nếu A < 0 thì M không thuộc miền nghiệm, nên ta sẽ gạch chéo phần mặt phửng chứa M

Chú ý:

  • Nếu có dấu bằng ta sẽ lấy cả đường thẳng (d), còn không có dấu bằng thì ta không lấy đường thẳng (d)
  • Nếu bài toán yêu cầu xác định miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c < 0 thì ta sẽ làm bước 1; bước 2 như trên nhưng trong bước 3, miền nghiệm sẽ gạch ngược lại.

2. Phương pháp xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình

Bước 1: Xác định miền nghiệm của từng bất phương trình.

Bước 2: Phần còn lại không gạch chéo trong mặt phẳng tọa độ chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau:
a) $2x-yge 0.$
b) $frac{x-2y}{2}>frac{2x+y+1}{3}.$

a) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng $left( d right):text{ 2}x-y=0$, ta có $left( d right)$ chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm$Mleft( 1;0 right)$, ta thấy $(1; 0)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.
Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ $(d)$ và chứa điểm $Mleft( 1;0 right)$ (miền không được tô màu trên hình vẽ).

Xác định miền nghiệm của bất phương trình.png

b) Ta có $frac{x-2y}{2}>frac{2x-y+1}{3}$ $Leftrightarrow 3left( x-2y right)-2left( 2x-y+1 right)>0$ $Leftrightarrow -x-4y-2>0$ $Leftrightarrow x+4y+2<0.$
Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng $Delta :x+4y+2=0.$
Xét điểm $text{O}left( 0;0 right)$, ta thấy $left( 0;0 right)$ không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ $Delta $ (không kể đường thẳng $Delta $) và không chứa điểm $text{O}left( 0;0 right)$ (miền không được tô màu trên hình vẽ).

Xác định miền nghiệm của bất phương trình.png

Ví dụ 2. Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau:
a) $left{ begin{matrix}
x+y-2ge 0 \
x-3y+3le 0 \
end{matrix} right.$
b) $left{ begin{align}
& x+y>0 \
& 2x-3y+6>0 \
& x-2y+1ge 0 \
end{align} right.$

a) Vẽ các đường thẳng $left( d right):x+y-2=0$, $left( d’ right):x-3y+3=0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$
Xét điểm $text{O}left( 0;0 right)$, thấy $left( 0;0 right)$ không phải là nghiệm của bất phương trình $x+y-2ge 0$ và $x-3y+3le 0.$
Do đó miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng $left( d right)$ và $left( d’ right).$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình.png

b) Vẽ các đường thẳng $left( d right):x+y=0$, $left( d’ right):2x-3y+6=0$ và $left( d” right):x-2y+1=0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$
Xét điểm $text{O}left( 0;0 right)$, thấy $left( 0;0 right)$ là nghiệm của bất phương trình $2x-3y+6>0$ và $x-2y+1ge 0.$
Do đó $text{O}left( 0;0 right)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x-3y+6>0$ và $x-2y+1ge 0.$
Xét điểm $Mleft( 1;0 right)$ ta thấy $left( 1;0 right)$ là nghiệm của bất phương trình $x+y>0$ do đó điểm $Mleft( 1;0 right)$ thuộc miền nghiệm bất phương trình $x+y>0.$
Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả đường thẳng $left( d” right).$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình.png

Ví dụ 3. Xác định miền nghiệm bất phương trình $left( x-y right)left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}} right)ge 0.$

Ta có $left( x-y right)left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}} right)ge 0$ $Leftrightarrow left( x-y right)left( x+y right)left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} right)ge 0$ $Leftrightarrow left( x-y right)left( x+y right)ge 0$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
x-yge 0 \
x+yge 0 \
end{matrix} right.$ $(1)$ hoặc $left{ begin{matrix}
x-yle 0 \
x+yle 0 \
end{matrix} right.$ $(2).$
Như vậy miền nghiệm của bất phương trình đã cho là gồm hai miền nghiệm của hệ bất phương trình $(1)$ và $(2).$
Vẽ các đường thẳng $left( d right):x+y=0$, $left( d’ right):x-y=0$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$
Xét điểm $Mleft( 1;0 right)$, ta có $left( 1;0 right)$ là nghiệm của các bất phương trình của hệ $(1)$ do đó $Mleft( 1;0 right)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $(1).$
Xét điểm $Nleft( -1;0 right)$, ta có $left( -1;0 right)$ là nghiệm của các bất phương trình của hệ $(2)$ do đó $Nleft( -1;0 right)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $(2).$
Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng $left( d right)$, $left( d’ right).$

Xác định miền nghiệm của bất phương trình.png

Trên đây là cách

xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình hai ẩn

. Để làm tốt các dạng bài tập này các em cần học nhuần nhuyễn kiến phương pháp và xem kĩ phần ví dụ minh họa. Đây được coi là phần khó của toán lớp 10 nhưng nó chỉ khó khi em học không nghiêm túc, học không theo phương pháp mà thôi. Hãy học theo trình tự như trên. Cuối cùng, chúc em học tốt phần này

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button