Kiến thức

Dạng toán 1. Xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai

Phương pháp giải toán: Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai.
• Đối với đa thức bậc cao $P(x)$ ta làm như sau:
+ Phân tích đa thức $Pleft( x right)$ thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất).
+ Lập bảng xét dấu của $Pleft( x right).$
• Đối với phân thức $frac{P(x)}{Q(x)}$ (trong đó $Pleft( x right)$, $Qleft( x right)$ là các đa thức) ta làm như sau:
+ Phân tích đa thức $Pleft( x right)$, $Qleft( x right)$ thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất).
+ Lập bảng xét dấu của $frac{P(x)}{Q(x)}.$

Ví dụ 1. Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:
a) $3{{x}^{2}}-2x+1.$
b) $-{{x}^{2}}+4x+5.$
c) $-4{{x}^{2}}+12x-9.$
d) $3{{x}^{2}}-2x-8.$
e) $25{{x}^{2}}+10x+1.$
f) $-2{{x}^{2}}+6x-5.$

a) Ta có $Delta’=-2<0$, $a=3>0$ suy ra $3{{x}^{2}}-2x+1>0$, $forall xin mathbb{R}.$
b) Ta có $ – {x^2} + 4x + 5 = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 1}\
{x = 5}
end{array}} right.$
Bảng xét dấu:

Xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai.png

Suy ra $-{{x}^{2}}+4x+5>0$ $Leftrightarrow xin left( -1;5 right)$ và $-{{x}^{2}}+4x+5<0$ $Leftrightarrow xin left( -infty ;-1 right)cup left( 5;+infty right).$
c) Ta có $Delta’=0$, $a<0$ suy ra $-4{{x}^{2}}+12x-9<0$, $forall xin mathbb{R}backslash left{ frac{3}{2} right}.$
d) Ta có $3{{x}^{2}}-2x-8=0$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix}
x=2 \
x=-frac{4}{3} \
end{matrix} right.$
Bảng xét dấu:

Xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai.png

Suy ra $3{{x}^{2}}-2x-8>0$ $Leftrightarrow xin left( -infty ;-frac{4}{3} right)cup left( 2;+infty right)$ và $3{{x}^{2}}-2x-8<0$ $Leftrightarrow xin left( -frac{4}{3};2 right).$
e) Ta có $Delta’=0$, $a>0$ suy ra $25{{x}^{2}}+10x+1>0$, $forall xin mathbb{R}backslash left{ -frac{1}{5} right}.$
f) Ta có $Delta’=-1<0$, $a<0$ suy ra $-2{{x}^{2}}+6x-5<0$, $forall xin mathbb{R}.$

Ví dụ 2. Tùy theo giá trị của tham số $m$, hãy xét dấu của các biểu thức $f(x)={{x}^{2}}+2mx+3m-2.$

Tam thức $f(x)$ có $a=1>0$ và $Delta’={{m}^{2}}-3m+2.$
• Nếu $1<m<2$ $Rightarrow Delta'<0$ $Rightarrow f(x)>0$, $forall xin R.$
• Nếu $left[ begin{align}
& m=1 \
& m=2 \
end{align} right.$ $Rightarrow Delta’=0$ $Rightarrow f(x)ge 0$, $forall xin R$ và $f(x)=0$ $Leftrightarrow x=-m.$
• Nếu $left[ begin{align}
& m>2 \
& m<1 \ end{align} right.$ $Rightarrow Delta’>0$ $Rightarrow f(x)$ có hai nghiệm: ${{x}_{1}}=-m-sqrt{{{m}^{2}}-3m+2}$ và ${{x}_{2}}=-m+sqrt{{{m}^{2}}-3m+2}$. Khi đó:
+ $f(x)>0$ $Leftrightarrow xin (-infty ;{{x}_{1}})cup ({{x}_{2}};+infty ).$
+ $f(x)<0$ $Leftrightarrow xin ({{x}_{1}};{{x}_{2}}).$

Ví dụ 3. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) $left( -{{x}^{2}}+x-1 right)left( 6{{x}^{2}}-5x+1 right).$
b) $frac{{{x}^{2}}-x-2}{-{{x}^{2}}+3x+4}.$
c) ${{x}^{3}}-5x+2.$
d) $x-frac{{{x}^{2}}-x+6}{-{{x}^{2}}+3x+4}.$

a) Ta có:
$-{{x}^{2}}+x-1=0$ vô nghiệm.
$6{{x}^{2}}-5x+1=0$ $Leftrightarrow x=frac{1}{2}$ hoặc $x=frac{1}{3}.$
Bảng xét dấu:

Xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai.png

Suy ra $left( -{{x}^{2}}+x-1 right)left( 6{{x}^{2}}-5x+1 right)$ dương khi và chỉ khi $xin left( frac{1}{3};frac{1}{2} right)$, $left( -{{x}^{2}}+x-1 right)left( 6{{x}^{2}}-5x+1 right)$ âm khi và chỉ khi $xin left( -infty ;frac{1}{3} right)cup left( frac{1}{2};+infty right).$
b) Ta có:
${{x}^{2}}-x-2=0$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix}
x=-1 \
x=2 \
end{matrix} right.$
$-{{x}^{2}}+3x+4=0$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix}
x=-1 \
x=4 \
end{matrix} right.$
Bảng xét dấu:

Xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai.png

Suy ra $frac{{{x}^{2}}-x-2}{-{{x}^{2}}+3x+4}$ dương khi và chỉ khi $xin left( 2;4 right)$, $frac{{{x}^{2}}-x-2}{-{{x}^{2}}+3x+4}$ âm khi và chỉ khi $xin left( -infty ;-1 right)cup left( -1;2 right)cup left( 4;+infty right).$

c) Ta có:
${{x}^{3}}-5x+2=left( x-2 right)left( {{x}^{2}}+2x-1 right).$
${{x}^{2}}+2x-1=0Leftrightarrow x=-1pm sqrt{2}.$
Bảng xét dấu:

Xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai.png

Suy ra ${{x}^{3}}-5x+2$ dương khi và chỉ khi $xin left( -1-sqrt{2};-1+sqrt{2} right)cup left( 2;+infty right)$, ${{x}^{3}}-5x+2$ âm khi và chỉ khi $xin left( -infty ;-1-sqrt{2} right)cup left( -1+sqrt{2};2 right).$
d) Ta có:
$x-frac{{{x}^{2}}-x+6}{-{{x}^{2}}+3x+4}$ $=frac{-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+5x-6}{-{{x}^{2}}+3x+4}$ $=frac{left( x-1 right)left( -{{x}^{2}}+x+6 right)}{-{{x}^{2}}+3x+4}.$
$-{{x}^{2}}+x+6=0$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix}
x=-2 \
x=3 \
end{matrix} right.$
$-{{x}^{2}}+3x+4=0$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix}
x=-1 \
x=4 \
end{matrix} right.$
Bảng xét dấu:

Xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai.png

Suy ra $x-frac{{{x}^{2}}-x+6}{-{{x}^{2}}+3x+4}$ dương khi và chỉ khi $xin left( -2;-1 right)cup left( 1;3 right)cup left( 4;+infty right)$, $x-frac{{{x}^{2}}-x+6}{-{{x}^{2}}+3x+4}$ âm khi và chỉ khi $xin left( -infty ;-2 right)cup left( -1;1 right)cup left( 3;4 right).$

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button