Kiến thức

Dạng toán 2. Giải hệ bất phương trình bậc hai một ẩn.


Ví dụ 5
. Giải các hệ bất phương trình sau:
a) $left{ begin{align}
& 2{{x}^{2}}+9x+7>0 \
& {{x}^{2}}+x-6<0 \
end{align} right.$
b) $left{ begin{align}
& 2{{x}^{2}}+x-6>0 \
& 3{{x}^{2}}-10x+3ge 0 \
end{align} right.$
c) $left{ begin{matrix}
-{{x}^{2}}+5x-4ge 0 \
{{x}^{2}}+x-13le 0 \
end{matrix} right.$
d) $left{ begin{align}
& {{x}^{2}}+4x+3ge 0 \
& 2{{x}^{2}}-x-10le 0 \
& 2{{x}^{2}}-5x+3>0 \
end{align} right.$

a) Ta có $left{ begin{align}
& 2{{x}^{2}}+9x+7>0 \
& {{x}^{2}}+x-6<0 \
end{align} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
left[ begin{matrix}
xge -1 \
xle -frac{7}{2} \
end{matrix} right. \
-3<x<2 \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow -1<x<2.$
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là $S=left( -1;2 right).$
b) Ta có $left{ begin{align}
& 2{{x}^{2}}+x-6ge 0 \
& 3{{x}^{2}}-10x+3>0 \
end{align} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
left[ begin{matrix}
xge frac{3}{2} \
xle -2 \
end{matrix} right. \
left[ begin{matrix}
x>3 \
x<frac{1}{3} \
end{matrix} right. \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix}
x>3 \
xle -2 \
end{matrix} right.$
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là $S=(-infty ;-2]cup (3;+infty ).$
c) Ta có $left{ begin{matrix}
-{{x}^{2}}+5x-4ge 0 \
{{x}^{2}}+x-13le 0 \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
1le xle 4 \
frac{-1-sqrt{53}}{2}le xle frac{-1+sqrt{53}}{2} \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow 1le xle frac{-1+sqrt{53}}{2}.$
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là $S=left[ 1;frac{-1+sqrt{53}}{2} right].$
d) Ta có $left{ begin{align}
& {{x}^{2}}+4x+3ge 0 \
& 2{{x}^{2}}-x-10le 0 \
& 2{{x}^{2}}-5x+3le 0 \
end{align} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{align}
& left[ begin{matrix}
xge -1 \
xle -3 \
end{matrix} right. \
& -2le xle frac{5}{2} \
& 1le xle frac{3}{2} \
end{align} right.$ $Leftrightarrow 1le xle frac{3}{2}.$
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là $S=left[ 1;frac{3}{2} right].$

Ví dụ 6. Cho hệ bất phương trình $left{ begin{matrix}
m{{x}^{2}}-x-5le 0 \
left( 1-m right){{x}^{2}}+2mx+m+2ge 0 \
end{matrix} right.$
a) Giải hệ bất phương trình khi $m=1.$
b) Tìm $m$ để hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$

a) Khi $m=1$ hệ bất phương trình trở thành:
$left{ begin{matrix}
{{x}^{2}}-x-5le 0 \
2x+3ge 0 \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
frac{1-sqrt{21}}{2}le xle frac{1+sqrt{21}}{2} \
xge -frac{3}{2} \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow frac{1-sqrt{21}}{2}le xle frac{1+sqrt{21}}{2}.$
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là $S=left[ frac{1-sqrt{21}}{2};frac{1+sqrt{21}}{2} right].$
b)
+ Khi $m=0$ hệ bất phương trình trở thành $left{ begin{matrix}
-x-5le 0 \
{{x}^{2}}+2ge 0 \
end{matrix} right.$ do đó $m=0$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Khi $m=1$ theo câu a ta thấy cũng không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Khi $left{ begin{matrix}
mne 0 \
mne 1 \
end{matrix} right.$ ta có hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$ khi và chỉ khi các bất phương trình trong hệ bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
$Leftrightarrow left{ begin{matrix}
left{ begin{matrix}
m<0 \
{{Delta }_{1}}=1+20mle 0 \
end{matrix} right. \
left{ begin{matrix}
1-m>0 \
Delta {{‘}_{2}}={{m}^{2}}-left( 1-m right)left( m+2 right)le 0 \
end{matrix} right. \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{align}
& m<0 \
& mle -frac{1}{20} \
& m<1 \
& 2{{m}^{2}}+m-2le 0 \
end{align} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{align}
& m<0 \
& mle -frac{1}{20} \
& m<1 \
& frac{-1-sqrt{17}}{4}le mle frac{-1+sqrt{17}}{4} \
end{align} right.$ $Leftrightarrow frac{-1-sqrt{17}}{4}le mle -frac{1}{20}.$
Vậy $frac{-1-sqrt{17}}{4}le mle -frac{1}{20}$ là giá trị cần tìm.

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button