Kiến thức

Nâng cao-HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC

A. Bài toán tính thể tích khối đa diện
Loại 1: Tính thể tích bằng cách sử dụng trực tiếp các công thức toán

+ xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích
+ tìm diện tích đáy bằng các công thức quen biết.
Loại 2: Tính thể tích bằng cách sử dụng công thức tỉ số thể tích hoặc phân chia khối đa diện thành các khối đa diện đơn giản hơn.
+ phân chia khối đa diện thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản (hình chóp hoặc tứ diện) mà các khối này dễ tính hơn.
+ Hoặc so sánh thể tích khối cần tính với một khối đa diện khác đã biết trước thể tích. Với loại này ta hay sử dụng kết quả sau đây.
Cho hình chóp S.ABC. Lấy A’, B’, C’ tương ứng trên cạnh sau đây SA, SB, SC. Khi đó
$frac{{{V_{S.A’B’C’}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = frac{{SA’}}{{SA}}.frac{{SB’}}{{SB}}.frac{{SC’}}{{SC}}$

BÀI TẬP
Câu 1.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC.
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
b) Tính thể tích của khối chóp A.BCMN.

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD = 60$^0$, SA vuông góc với đáy, SA = a. Gọi C’ là trung điểm SC, mặt phẳng (P) đi qua AC’ song song với BD cắt các cạnh SB, SD của hình chóp tại B’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.

Câu 3.
Cho lăng trụ đứng ABCA$_1$B$_1$C$_1$ đáy là tam giác đều. Mặt phẳng (A1BC) tạo với đáy góc 30$^0$ và tam giác A1BC có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Câu 4.
Cho khối lăng trụ ABCA$_1$B$_1$C$_1$ có đáy là tam giác vuông cân, cạnh huyền AB = $sqrt 2 $. Mặt phẳng (AA$_1$B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA$_1$ = $sqrt 3 $; góc A1AB nhọn, góc tạo bởi (A1AC) và mặt phẳng (ABC) bằng 60$^0$. Tính thể tích khối lăng trụ.

Câu 5.
Khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$ có khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và A$_1$D bằng 2, độ dài đường chéo mặt bên bằng 5.
a) Hạ AK vuông góc với A$_1$D tại K. Chứng minh AK = 2.
b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$.

B. Bài tập về khối nón, khối trụ
1.
Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A’B’C’D’E’F’ cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h. Tính thể tích khối trụ nội tiếp hình lăng trụ.

2. Cho hình trục có trục O$_1$O$_2$. Một mặt phẳng song song với trục cắt hình trụ theo thiết diện dện là hình chữ nhật ABCD. Gọi O là tâm của thiết diện đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng bán kính đường tròn đáy của hình trụ. Tính số đo góc O1OO2

3. Một hình trụ có bán kính R và chiều cao $Rsqrt 3 $. A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy sao cho góc tạo bởi AB và trục của hình trụ bằng 30$^0$.
a) Tính diện tích của thiết diện qua A và song song với trục của hình trụ.
b) Tính góc giữa hai bán kính qua A và B.
c) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và trục của hình trụ.

4. Cho một hình trụ tròn xoay đáy là đường tròn (O) và (O’) có bán kính bằng 3 đơn vị, chiều cao của hình trụ là 4 đơn vị. Gọi AB là một đường kính cố định của (O). M là một điểm lưu động trên (O’). Gọi MC là đường sinh qua C, C ở trên đường tròn (O). Kẻ HC vuông góc với AB và đăth Ah = x.
a. Chứng minh rằng tổng số bình phương các cạnh của hình chóp MABC là một hằng số.
b. Tính MH theo x.
c. Định vị trí của M để diện tích S của tam giác MAB đạt cực đại.
d. Tính thể tích V của hình chóp MABC. Chứng minh rằng V cực đại khi S cực đại.
e. Định x để V = 4k (k là số cho trước)

C. Bài toán về khoảng cách
Cách xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α)
Bước 1: Chọn mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với (α)
Bước 2: Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (α) và (P)
Bước 3: Dựng MH vuông góc với d tại H suy ra MH là khoảng cách.
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với đường thẳng đó bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng đến mặt phẳng.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trong mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Lưu ý:
1. Để tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α) ta có thể làm như sau

+ Tìm một đường thẳng a qua M mà a // mặt phẳng (α)
+ Chọn một điểm N trên a thích hợp hơn M, tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng (α)
+ Khi đó khoảng cách từ N đến (α) cũng là khoảng cách từ M đến (α)
2. Để tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α) ta có thể làm như sau
+ Tìm một đường thẳng a qua M mà a cắt mặt phẳng (α) tại I
+ Chọn một điểm O trên a thích hợp với giả thiết bài toán, tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (α)
+ Khi đó tính tỷ số IO / IM = k, suy ra được khoảng cách từ M đến (α) bằng 1/k khoảng cách từ O đến (α).
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau cần dùng các phương pháp sau

Phương pháp 1: (Nên dùng cho 2 đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau) xác định đoạn vuông góc chung.

Phương pháp 2:
Bước 1:
Tìm mặt phẳng (α) chứa b và song song với a
Bước 2: Từ một điểm M thích hợp trên a dựng MH vuông góc với mặt phẳng (α). Suy ra d(a, b) = MH

Phương pháp 3:
Bước 1:
Tìm mặt phẳng (P) chứa a và mặt phẳng (Q) chứa b sao cho (P) // (Q).
Bước 2: Từ một điểm M thích hợp thuộc mặt phẳng (P) hạ MN vuông góc với mặt phẳng (Q). Từ đó suy ra d(a, b) = MN.

Phương pháp 4:
Bước 1:
Tìm mặt phẳng (α) vuông góc với a và cắt a tại O.
Bước 2: Tìm hình chiếu b’ của b trên mặt phẳng (α); khi đó a // mặt phẳng (b, b’). Hạ OH vuông góc với b’ tại H → d(a, b) = OH.

BÀI TẬP
Bài 1:
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a$sqrt 2 $, đường cao là SO. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC
a. Chứng minh rằng (SBC) vuông góc với (SAN) và tính SO.
b. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC)
c. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và SC
d. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAN)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD; đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, có AB = BC = a; AD = 2a; SA= a.E là trung điểm của đáy lớn AD; SA vuông góc với mặt đáy.
a. Chứng minh BE $ bot $ SC và (SAB) $ bot $ (SBC)
b. Tính khoảng cách giữa mỗi cặp đường thẳng: BC và SD, AC và SD.
c. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SCE).

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD; đáy ABCD là hình thoi cạnh a tâm O. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tam giác SAB cân tại S, H là trung điểm của AB và SH = a, góc BAD = 60$^0$.
a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
b. Tính khoảng cách từ H đến (SCD), khoảng cách từ O đến (SCD).
c. Tính khoảng cách giữa BC và SD.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang có đáy lớn AD = 2a, đáy bé BC = a, cạnh bên AB = a, góc BAD bằng 120$^0$. Biết SA vuông góc với mặt đáy và $SA = asqrt 3 $. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD.
a. Chứng minh BK vuông góc với SC, tính khoảng cách giữa BK và SC.
b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
c. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB).
d. Tính góc giữa AD và SC.

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cho SA vuông góc với mặt đáy và SA = a$sqrt 6 $. Gọi M là hình chiếu vuông góc của A lên SB.
a. Chứng minh rằng CB $ bot $ (SAB) và AM $ bot $ SC.
b. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC).
c. Gọi G là trọng tâm của tam giác SCD. Tính góc giữa hai đường thẳng AG và BD.

D. Bài toán hình không gian trong dề thi Đại học, Cao đẳng

Bài 1. (D 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm AM và A’C. Tính theo a thể tích của tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC).

Bài 2. (A 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60$^0$.. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) đều vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Bài 3. (B 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt đáy (ABC) bằng 60$^0$; tam giác ABC vuông tại C và góc BAC = 60$^0$. Hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.

Bài 4. (A 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi điểm M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a$sqrt 3 $. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.

Bài 5. (B 2010) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60$^0$. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.

Bài 6. (D 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc đoạn AC sao cho AH = AC/4. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích của tứ diện SMBC theo a.

Bài 7. (A 2011)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bẳng 60o. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Bài 8. (B 2011) Cho lăng trụ ABCD.A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$ có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh AB = a, AD = a$sqrt 3 $. Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 60$^0$. Tính thể tích khối lăng trụ ban đầu và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a.

Bài 9. (D 2011)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt bên (SBC) vuông góc với mặt đáy. Biết SB = $2asqrt 3 $ và góc SBC = 30$^0$. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.

Bài 10. (AA$_1$ 2012)
Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60$^0$. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

Bài 11. (B 2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a.

Bài 12. (D 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a. Tính thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a.

Bài 13. (AA$_1$ 2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, góc ABC = 30$^0$, SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).

Bài 14. (B 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).

Bài 15. (D 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, góc BAD = 120$^0$, M là trung điểm của cạnh BC và góc SMA = 45$^0$. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).

Bài 16. (A & A1 2014)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD = 3a/2, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

Bài 17. (B 2014)
Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB; đường thẳng A’C tạo với mặt đáy một góc 60$^0$. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’).

Bài 18. (D 2014)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.

Bài 19. (THPTQG 2015)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy, SC tạo với mặt đáy một góc 45$^0$. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button