Kiến thức

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Phương pháp 3

Phương pháp 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó. Ta xét 2 trường hợp sau:
1. Trường hợp 1: $Δ$ và $Δ’$ vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau
+ Bước 1: Chọn mặt phẳng $(α)$ chứa $Δ’$ và vuông góc với $Δ$ tại $I.$
+ Bước 2: Trong mặt phẳng $(α)$ kẻ $IJ bot Delta’$.
Khi đó $IJ$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $Δ$ và $Δ’$, và $d(Delta ,Delta’) = IJ$.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.png

Ví dụ 4: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh bằng $a$. Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD’$ và $A’B’$ bằng bao nhiêu?

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.png

Ta có $A’B’ bot left( {ADD’A’} right).$
Gọi $H$ là giao điểm của $AD’$ với $A’D$. Vì $ADD’A’$ là hình vuông nên $A’H bot AD’.$
Ta có $left{ begin{array}{l}
A’H bot AD’\
A’H bot A’B’
end{array} right.$, suy ra $A’H$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $AD’$ và $A’B’.$
$dleft( {A’B’;AD’} right) = A’H = frac{{asqrt 2 }}{2}.$

2. Trường hợp 2: $Δ$ và $Δ’$ chéo nhau mà KHÔNG vuông góc với nhau
Ta dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $Δ$ và $Δ’$ theo một trong hai cách sau đây:
Cách 1:
+ Bước 1: Chọn mặt phẳng $(α)$ chứa $Δ’$ và song song với $Δ.$
+ Bước 2: Dựng $d$ là hình chiếu vuông góc của $Δ$ xuống $(α)$ bằng cách lấy điểm $M in Delta $ dựng đoạn $MN bot left( alpha right)$, lúc đó $d$ là đường thẳng đi qua $N$ và và song song với $Δ.$
+ Bước 3: Gọi $H = d cap Delta’$, dựng $HKparallel MN$.
Khi đó $HK$ là đoạn vuông góc chung của $Δ$ và $Δ’$, và $d(Delta ,Delta’) = HK = MN$.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.png

Cách 2:
+ Bước 1: Chọn mặt phẳng $(α) ⊥ Δ$ tại $I.$
+ Bước 2: Tìm hình chiếu $d$ của $Δ’$ xuống mặt phẳng $(α).$
+ Bước 3: Trong mặt phẳng $(α)$, dựng $IJ bot d$, từ $J$ dựng đường thẳng song song với $Δ$ cắt $Δ’$ tại $H$, từ $H$ dựng $HMparallel IJ$.
Khi đó $HM$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $Δ$ và $Δ’$, và $d(Delta ,Delta ‘) = HM = IJ$.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.png

Ví dụ 5: Cho hình chóp $SABC$ có $SA = 2a$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$, đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ với $AB = a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC.$
1. Hãy dựng đoạn vuông góc chung của $SM$ và $BC.$
2. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của $SM$ và $BC.$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.png

1. Để dựng đoạn vuông góc chung của $SM$ và $BC$ ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:
Cách 1: Gọi $N$ là trung điểm của $AB$, suy ra: $BC//MN Rightarrow BC//left( {SMN} right).$
Ta có: $left{ begin{array}{l}
MN bot AB\
MN bot SA
end{array} right. Rightarrow MN bot left( {SAB} right)$ $ Rightarrow left( {SMN} right) bot left( {SAB} right).$
$left( {SMN} right) cap left( {SAB} right) = SN.$
Hạ $BH bot SN Rightarrow BH bot left( {SMN} right).$
Từ $H$ dựng $Hx$ song song với $BC$ và cắt $SM$ tại $E$. Từ $E$ dựng $Ey$ song song với $BH$ và cắt $BC$ tại $F$. Đoạn $EF$ là đoạn vuông góc chung của $SM$ và $BC.$
Cách 2: Nhận xét rằng: $left{ begin{array}{l}
BC bot AB\
BC bot SA
end{array} right. Rightarrow BC bot left( {SAB} right).$
Do đó $(SAB)$ chính là mặt phẳng qua $B$ thuộc $BC$ và vuông góc với $BC.$
Gọi $N$ là trung điểm của $AB$ suy ra: $MN//BC Rightarrow MN bot left( {SAB} right)$.
Suy ra $MN$ là hình chiếu vuông góc của $SM$ trên $(SAB).$
Hạ $BH bot SN Rightarrow BH bot left( {SMN} right)$.
Từ $H$ dựng $Hx$ song song với $BC$ và cắt $SM$ tại $E$. Từ $E$ dựng $Ey$ song song với $BH$ và cắt $BC$ tại $F.$
Đoạn $EF$ là đoạn vuông góc chung của $SM$ và $BC.$
2. Nhận xét rằng tam giác $SAN$ và tam giác $BHN$ là $2$ tam giác vuông có $2$ góc nhọn đối đỉnh nên chúng đồng dạng, suy ra:
$frac{{BH}}{{SA}} = frac{{BN}}{{SN}} Rightarrow BH = frac{{SA.BN}}{{SN}}.$
Trong đó: $BN = frac{1}{2}AB = frac{a}{2}.$
$S{N^2} = S{A^2} + A{N^2}$ $ = {left( {2a} right)^2} + {left( {frac{a}{2}} right)^2} = frac{{17{a^2}}}{4}$ $ Rightarrow SN = frac{{asqrt {17} }}{2}.$
Suy ra: $BH = frac{{2a.frac{a}{2}}}{{frac{{asqrt {17} }}{2}}} = frac{{2asqrt {17} }}{{17}}.$
Vậy khoảng cách giữa $SM$ và $BC$ bằng $frac{{2asqrt {17} }}{{17}}$.

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button