Kiến thức

Một số phương pháp giải bất phương trình logarit thường gặp

Dạng 1. Phương trình cơ bản:

a. ${log _a}f(x) > b Leftrightarrow left[ begin{array}{l}f(x) > {a^b},khi,a > 1\f(x) < {a^b},,khi,,0 < a < 1end{array} right.$
Điều kiện f(x) > 0

b. ${log _a}f(x) < b Leftrightarrow left[ begin{array}{l}f(x) < {a^b},,khi,a > 1\f(x) > {a^b},,khi,,0 < a < 1end{array} right.$
Điều kiện f(x) > 0

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: ${log _2}(x – 2) > 3$

Giải

Điều kiện x – 2 > 0 ↔ x = 2
${log _2}(x – 2) > 3 Leftrightarrow x – 2 > {2^3} Leftrightarrow x > 10$
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm: $S = left( {10; + infty } right)$

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: ${log _{frac{1}{2}}}({x^2} + 7x) > 3$

Giải

+ Điều kiện ${x^2} + 7x > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x < – 7\x > 0end{array} right.$
+ ${log _{frac{1}{2}}}({x^2} + 7x) > 3 Leftrightarrow {x^2} + 7x < {left( {frac{1}{2}} right)^3} Leftrightarrow {x^2} + 7x – frac{1}{8} < 0$
$ Leftrightarrow frac{{ – 7 – sqrt {frac{{97}}{2}} }}{2} < x < frac{{ – 7 + sqrt {frac{{97}}{2}} }}{2}$
+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là:….(Tự giải nhé!)

Dạng 2: Biến đổi bất phương trình về dạng cùng cơ số

a. ${log _a}f(x) > {log _a}g(x) Leftrightarrow left[ begin{array}{l}f(x) > g(x),khi,a > 0\f(x) < g(x),khi,0 < a < 1end{array} right.$
Điều kiện f(x) > 0, g(x) >0

b. ${log _a}f(x) < {log _a}g(x) Leftrightarrow left[ begin{array}{l}f(x) > g(x),khi,a > 0\f(x) < g(x),khi,0 < a < 1end{array} right.$
Điều kiện f(x) > 0, g(x) >0

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: ${log _2}(x + 5) + {log _{frac{1}{2}}}(3 – x) ge 0$

Giải

+ Điều kiện: $left{ begin{array}{l}x + 5 > 0\3 – x > 0end{array} right. Leftrightarrow – 5 < x < 3$
+ ${log _2}(x + 5) + {log _{frac{1}{2}}}(3 – x) ge 0 Leftrightarrow {log _2}(x + 5) – {log _2}(3 – x) ge 0$
$ Leftrightarrow {log _2}(x + 5) ge {log _2}(3 – x) Leftrightarrow x + 5 ge 3 – x Leftrightarrow x ge – 1$
+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm: S = [ – 1; 3)

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: ${log _{0,5}}(x + 1) le {log _2}(2 – x)$

Giải

+ Điều kiện: $left{ begin{array}{l}x + 1 > 0\2 – x > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > – 1\x < 2end{array} right. Leftrightarrow – 1 < x < 2$
+ Lúc đó:
${log _2}x > frac{2}{{{{log }_2}x – 1}} Leftrightarrow frac{{{t^2} – t – 2}}{{t – 1}} > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t > 2\
– 1 < t < 1
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{log _2}x > 2\
– 1 < {log _2}x < 1
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x > 4\
frac{1}{2} < x < 2
end{array} right.$
+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : $S = left[ {frac{{1 – sqrt 5 }}{2};frac{{1 + sqrt 5 }}{2}} right]$

Ví dụ 3: Giải bất phương trình: ${log _5}(x + 2) + {log _5}(x – 2) < {log _5}(4x + 1)$

Giải

+ Điều kiện: $left{ begin{array}{l}x + 2 > 0\4x + 1 > 0\x – 2 > 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > – 2\x > – frac{1}{4}\x > 2end{array} right. Leftrightarrow x > 2$
+ Lúc đó: ${log _5}(x + 2) + {log _5}(x – 2) < {log _5}(4x + 1)$
$ Leftrightarrow {log _5}left[ {left( {x + 2} right)left( {x – 2} right)} right] < {log _5}(4x + 1) Leftrightarrow {log _5}({x^2} – 4) < {log _5}(4x + 1)$
$ Leftrightarrow {x^2} – 4 < 4x + 1 Leftrightarrow {x^2} – 4x – 5 < 0 Leftrightarrow – 1 < x < 5$
+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : S = (2;5)

Dạng 3: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: $log _{0,5}^2x + {log _{0,5}}x le 2$

Giải

+ Điều kiện: x > 0
+ Đặt : $t = {log _{0,5}}x$
+ Lúc đó: $log _{0,5}^2x + {log _{0,5}}x le 2 Leftrightarrow {t^2} + t le 2 Leftrightarrow {t^2} + t – 2 le 0 Leftrightarrow – 2 le t le 1$
$ Leftrightarrow – 2 le {log _{0,5}}x le 1 Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x le {left( {0,5} right)^{ – 2}}\x ge 0,5end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x le 4\
x ge frac{1}{2}end{array} right.$
+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là: $S = left[ {frac{1}{2};4} right]$

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: ${log _2}x > frac{2}{{{{log }_2}x – 1}}$

Giải

+ Điều kiện: $left{ begin{array}{l}x > 0\{log _2}x ne 1end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x > 0\x ne 2end{array} right.$
+ Đặt : $t = {log _2}x$
+ Lúc đó:
${log _2}x > frac{2}{{{{log }_2}x – 1}}$
$ Leftrightarrow frac{{{t^2} – t – 2}}{{t – 1}} > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t > 2\
– 1 < t < 1
end{array} right.$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{log _2}x > 2\
– 1 < {log _2}x < 1
end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x > 4\
frac{1}{2} < x < 2
end{array} right.$
+ Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : $S = left( {frac{1}{2};2} right) cup left( {4; + infty } right)$

Ví dụ 3: Giải bất phương trình: ${log ^2}x – 13log x + 36 > 0$

Giải

+ Điều kiện: x > 0
+ Đặt : t = logx
+ Lúc đó: ${log ^2}x – 13log x + 36 > 0 to {t^2} – 13t + 36 > 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t < 4\t > 9end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}log x < 4\log x > 9end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x < {10^4}\x > {10^9}end{array} right.$
+Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là : $S = left( {0;{{10}^4}} right) cup left( {{{10}^9}; + infty } right)$

Bài Tập Rèn Luyện

  1. ${log _{frac{1}{3}}}frac{{3x – 1}}{{x + 2}} > 1$
  2. ${log _4}(x + 7) > {log _4}(1 – x)$
  3. ${log _2}(x + 5) le {log _2}(3 – 2x) – 4$
  4. ${log _2}({x^2} – 4x – 5) < 4$
  5. ${log _5}(26 – {3^x}) > 2quad $
  6. ${log _3}(13 – {4^x}) > 2quad $
  7. ${log _3}x + {log _9}x + {log _{27}}x > 11$
  8. $frac{1}{{1 – log x}} + frac{1}{{log x}} > 1$
  9. ${log _x}2.{log _{frac{x}{{16}}}}2 > frac{1}{{log {}_2x – 6}}$
  10. ${log _8}left( {{x^2} – 4x + 3} right) le 1$
  11. ${log _{sqrt 3 }}sqrt x + {log _{frac{1}{3}}}{x^3} + {log _3}(3{x^4}) > 3$
  12. ${log _2}left( {x + 3} right) > 1 + {log _2}left( {x – 1} right)$
  13. $2{log _8}(x – 2) + {log _{frac{1}{8}}}(x – 3) = frac{2}{3}$
  14. ${log _3}left( {{{log }_{frac{1}{2}}}x} right) le 0$
  15. ${log _5}({4^x} + 144) – 4{log _5}2 > 1 + {log _5}({2^{x – 2}} + 1)$
  16. ${log _{frac{1}{3}}}left[ {{{log }_4}left( {{x^2} – 5} right)} right] > 0$
  17. ${log _{frac{1}{5}}}left( {{x^2} – 6x + 8} right) + 2{log _5}left( {x – 4} right) > 0$
  18. ${log _5}x + {log _{25}}x > {log _{0,2}}sqrt 3 $
  19. $log ({x^2} + 2x – 3) + log frac{{x + 3}}{{x – 1}} > 0$
  20. ${log _2}left( {{{4.3}^x} – 6} right) – {log _2}left( {{9^x} – 6} right) le 1$
 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button