Kiến thức

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác (buổi 2)

Dạng 1: $a{sin ^2}x + bsin x + c = 0,,,,(a ne 0;a,b,c in R)$ (1)
Cách giải
Đặt t = sin x, điều kiện |t| ≤ 1
Đưa phương trình (1) về phương trình bậc hai theo t , giải tìm t chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm.

Dạng 2: $a{cos ^2}x + bcos x + c = 0,,,,(a ne 0;a,b,c in R)$ (2)
Cách giải
Đặt t = cos x điều kiện |t| ≤ 1 ta cũng đưa phương trình (2) về phương trình bậc hai theo t, giải tìm t rồi tìm x.

Dạng 3: $a{tan ^2}x + btan x + c = 0,,,,(a ne 0;a,b,c in R)$ (3)
Cách giải
Điều kiện cos x ≠ 0 ↔ x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z
Đặt t = tan x (với t ∈ R) ta đưa phương trình (3) về phương trình bậc hai theo t, chú ý khi tìm được nghiệm x cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không

Dạng 4: $a{cot ^2}x + bcot x + c = 0,,,,(a ne 0;a,b,c in R)$ (4)
Cách giải
Điều kiện sin x ≠ 0 ↔ x ≠ kπ, k ∈ Z
Đặt t = cot x (với t ∈ R). Ta cũng đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai theo ẩn t.

Ví Dụ Minh Hoạ:

Ví dụ 1: Giải phương trình $2{cos ^2}x – 3cos x + 1 = 0,,,,$ (1)

Giải

Phương trình (1) $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}cos x = 1\cos x = frac{1}{2}end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = k2pi \x = pm frac{pi }{3} + k2pi end{array}right.,,,,,,,,,k in Z$
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình: $cot x – tan x + 4sin 2x = frac{2}{{sin 2x}}$ (2)

Giải

Điều kiện sin 2x ≠ 0 ↔ x ≠ kπ/2, k ∈ Z
Ta có:
$begin{array}{l}(2) Leftrightarrow frac{{cos x}}{{sin x}} – frac{{sin x}}{{cos x}} + 4sin 2x = frac{2}{{sin 2x}}\ Leftrightarrow frac{{{{cos }^2}x – {{sin }^2}x}}{{sin x.cos x}} + 4sin 2x = frac{2}{{sin 2x}}\ Leftrightarrow frac{{2cos 2x}}{{sin 2x}} + 4sin 2x = frac{2}{{sin 2x}} Leftrightarrow cos 2x +2{sin ^2}2x = 1\ Leftrightarrow 2{cos ^2}2x – cos 2x – 1 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}cos 2x = 1\cos 2x = – frac{1}{2}end{array}right.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( * right)end{array}$
Ta thấy cos(2x) = 1 không thoả mãn điều kiện. Do đó (*)
↔ $cos 2x = – frac{1}{2} Leftrightarrow 2x = frac{{2pi }}{3} + k2pi Leftrightarrow x = pm frac{pi }{3} + kpi ,,,,,,,,k in Z$
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.

Bài tập rèn luyện
Bài 1:
Giải phương trình: $5{sin ^2}x – 4sin x – 1 = 0,,,,$
Bài 2: Giải phương trình: cos(2x) – 3cos(x) – 4 = 0
Bài 3: Giải phương trình: 3tan(2x) – 3tan(x) – 2,5 = 0
Bài 4: Giải phương trình: cos(4x + 2) + 3sin(2x + 1 ) = 2
Bài 5: Giải phương trình: ${tan ^4}3x – 3tan 3x + 1 = 0,,,$
Bài 6: Giải phương trình: ${cos ^4}2x + 6{cos ^2}2x = frac{{25}}{{16}}$
Bài 7: Giải phương trình: $frac{{sin 2x}}{{2{{cos }^2}x – 2{{sin }^2}frac{pi }{4}}} = tan 6x$
Bài 8: Giải phương trình $frac{{1 + 2{{sin }^2}x – 3sqrt 2 sin x + sin 2x}}{{2sin x.cos x – 1}} = 1$
Bài 9: Giải phương trình ${cot ^4}2x + frac{1}{{{{sin }^4}2x}} = 25$

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button