Kiến thức

Phương trình bậc nhất đối với sin x, cos x

Phương pháp giải
a)Định nghĩa:
Phương trình a.sin(x) + b.cos(x) = c (1) trong đó a, b, c ∈ R và ${a^2} + {b^2} ne 0$ được gọi là phương trình bậc nhất đối với sin x, cos x
b) Cách giải.
Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bước

  • Bước 1:Kiểm tra

-Nếu ${a^2} + {b^2} < {c^2}$ phương trình vô nghiệm
-Nếu ${a^2} + {b^2} ge {c^2}$ khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2

  • Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho $sqrt {{a^2} + {b^2}} $, ta được

$frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}sin x + frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}cos x = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$
Vì ${(frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }})^2} + {(frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }})^2} = 1$ nên tồn tại góc α sao cho
$frac{a}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = cos alpha ,,,,frac{b}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = sin alpha $
Khi đó phương trình (1) có dạng $sin x.cos alpha + sin alpha .cos x = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }} Leftrightarrow sin (x + alpha ) = frac{c}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$
Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải

Cách 2: Thực hiện theo các bước

  • Bước 1: Với cos(0,5x) = 0 ↔ x = π + k2π (với k ∈ Z) thử vào phương trình (1) xem có là nghiệm hay không?
  • Bước 2: Với cos(0,5x) ≠ 0 ↔ x ≠ π + k2π (với k ∈ Z)

Đặt t = tan(0,5x) → $sin x = frac{{2t}}{{1 + {t^2}}},,,,cos x = frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}$
Khi đó phương trình (1) có dạng
$afrac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + bfrac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = c Leftrightarrow (c + b){t^2} – 2at + c – b = 0,,,,,,(2)$

  • Bước 3: Giải phương trình (2) theo t , sau đó giải tìm x.

* Dạng đặc biệt:
$sin x + cos x = 0 Leftrightarrow x = – frac{pi }{4} + kpi ,,,,,(k in Z)$
$sin x – cos x = 0 Leftrightarrow x = frac{pi }{4} + kpi ,,,,(k in Z)$.
Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau
$ – sqrt {{a^2} + {b^2}} le asin x + bcos x le sqrt {{a^2} + {b^2}} $ từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN của các hàm số có dạng y = a.sin(x) + b.cos(x), $y = frac{{asin x + bcos x}}{{csin x + dcos x}}$ và phương pháp đánh giá cho một số phương trình lượng giác .

Ví Dụ Minh Hoạ:

Ví Dụ 1: Giải phương trình: sin(2x) – 3cos(2x) = 3 (1)

Giải

Cách 1: Chia cả hai vế phương trình (1) cho $sqrt {{1^2} + {3^2}} = sqrt {10} $ ta được
$frac{1}{{sqrt {10} }}sin 2x – frac{3}{{sqrt {10} }}cos 2x = frac{3}{{sqrt {10} }}$
Đặt $frac{3}{{sqrt {10} }} = sin alpha ,,,,,frac{1}{{sqrt {10} }} = cos alpha $.
Lúc đó phương trình (1) viết được dưới dạng
$begin{array}{l}cos alpha sin 2x – sin alpha cos 2x = sin alpha Leftrightarrow sin (2x – alpha ) = sin x\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}2x – alpha = alpha + k2pi \2x – alpha = pi – alpha + k2pi end{array} right.,,, Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = alpha + kpi \x = frac{pi }{2} + kpi end{array} right.end{array}$ ( với k ∈ Z)
Vậy phương trình có 2 nghiệm

Cách 2:
Ta nhận thấy cos(x) = 0 là nghiệm của phương trình
-Với cos(x) ≠ 0 ↔ x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z. Đặt t = tan(x), lúc đó $sin 2x = frac{{2t}}{{1 + {t^2}}},,,,cos 2x = frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}$
Phương trình (1) sẽ có dạng $frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} – ,,,3frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = 3 Leftrightarrow 2t – 3(1 – {t^2}) = 3(1 + {t^2}) Leftrightarrow t = 3$
Hay tan(x) = 3 = tan(α) ↔ x = α + kπ, k ∈ Z
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng: sin(2x) = 3[1 + cos(2x)] ↔ 2sin(x).cos(x) = 6cos$^2$(x)
$ Leftrightarrow (sin x – 3cos x)cos x = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}cos x = 0\sin x – 3cos x = 0end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}tan x = 3 = tan alpha \cos x = 0end{array} right.$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = alpha + kpi \x = frac{pi }{2} + kpi end{array} right.,,,,,,k in {rm Z}$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm
Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt tay vào giải phương trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoả mãn điều kiện. Ta xét ví dụ sau:

Ví Dụ 2: Giải phương trình $2sqrt 2 (sin x + cos x)cos x = 3 + cos 2x,,,,,,,,,left( 2 right)$

Giải

Ta biến đổi phương trình (2)
Ta có:
$begin{array}{l} Leftrightarrow sqrt 2 sin 2x + sqrt 2 (1 + cos 2x) = 3 + cos 2x\ Leftrightarrow sqrt 2 sin 2x + (sqrt 2 – 1)cos 2x = 3 – sqrt 2 \a = sqrt 2 ,,,;,,,,,,b = sqrt 2 – 1,,;,,,,,c = 3 – sqrt 2 \,,,,,{a^2} + {b^2} = 2 + {(sqrt 2 – 1)^2} = 5 – 2sqrt 2 \
,,,,,{c^2} = {(3 – sqrt 2 )^2} = 11 – 6sqrt 2 end{array}$
Suy ra ${a^2} + {b^2} < {c^2}$
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .

Chú ý: Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn chẵn các họ nghiệm . Ta xét ví dụ sau:

Ví Dụ 3: Giải phương trình $(1 + sqrt 3 )sin x + (1 – sqrt 3 )cos x = 2,,,,,,,,(3)$

Giải

Cách 1:Thực hiện phép biến đổi
(3)↔ $(frac{{1 + sqrt 3 }}{{2sqrt 2 }})sin x + (frac{{1 – sqrt 3 }}{{2sqrt 2 }})cos x = frac{2}{{2sqrt 2 }}, = frac{1}{{sqrt 2 }},,,,,,,$
Đặt $frac{{1 + sqrt 3 }}{{2sqrt 2 }} = cos x;,,,,,,frac{{1 – sqrt 3 }}{{2sqrt 2 }} = sin x,,,,,,,$
Phương trình (3) sẽ được viết thành $sin x.cos alpha + sin alpha .cos x = frac{1}{{sqrt 2 }} Leftrightarrow sin (x + alpha ) = sin frac{pi }{4}$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x + alpha = frac{pi }{4} + k2pi \x + alpha = pi – frac{pi }{4} + k2pi end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = frac{pi }{4} – alpha + k2pi \x = frac{{3pi }}{4} – alpha + k2pi ,end{array} right.,,,,,,,,,k in Z$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng
$begin{array}{l}(sin x + cos x) + sqrt 3 (sin x – cos x) = 2 Leftrightarrow sqrt 2 sin (x + frac{pi }{4}) – sqrt 6 cos (x + frac{pi }{4}) = 2\ Leftrightarrow frac{1}{2}sin (x + frac{pi }{4}) – frac{{sqrt 3 }}{2}cos (x + frac{pi }{4}) = frac{1}{{sqrt 2 }}\ Leftrightarrow sin (x + frac{pi }{4})cos frac{pi }{3} – cos (x + frac{pi }{4})sin frac{pi }{3} = frac{1}{{sqrt 2 }}\ Leftrightarrow sin (x + frac{pi }{4} – frac{pi }{3}) = sin frac{pi }{4}\ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x – frac{pi }{{12}} = frac{pi }{4} + k2pi \x – frac{pi }{{12}} = pi – frac{pi }{4} + k2piend{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = frac{pi }{3} + k2pi \x = frac{{5pi }}{6} + k2piend{array} right.,,,,,,,,,,k in Zend{array}$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Qua hai cách giải ở bài trên ta nhận thấy bằng cách 2 ta thu được nghiệm phương trình chẵn.
Bài trên cĩng có thể sử dụng cách đặt t = tan(x/2) và ta cũng thu được nghiệm chẵn

*Chú ý: Đối với phương trình dạng a.sinP(x) + b.cosQ(x) = c.sinQ(x) + d.cosP(x) (*) trong đó a, b, c, d∈ R thoả mãn ${a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2}$ >0 và P(x) ,Q(x) không đồng thời là các hàm hằng số . Bằng phép chia cho $sqrt {{a^2} + {b^2}} $ ta có (*)$ Leftrightarrow sin left[ {P(x) + alpha } right] = sin left[ {Q(x) + beta } right]$ hoặc
(*)$ Leftrightarrow cos left[ {P(x) + alpha } right] = cos left[ {Q(x) + beta } right]$ trong đó α, β là các góc phụ thích hợp. Ta xét ví dụ sau:

Ví Dụ 4: Giải phương trình: $cos 7x – sin 5x = sqrt 3 (cos 5x – sin 7x),,,,,,(4)$

Giải​

(4)↔ $cos 7x + sqrt 3 sin 7x = sqrt 3 cos 5x + sin 5x,,,,,$
$ Leftrightarrow frac{1}{2}cos 7x + frac{{sqrt 3 }}{2}sin 7x = frac{{sqrt 3 }}{2}cos 5x + frac{1}{2}sin 5x,,,,,$
$ Leftrightarrow cos frac{pi }{3}cos 7x + sin frac{pi }{3}sin 7x = cos frac{pi }{6}cos 5x + sin frac{pi }{6}sin 5x,,,,,$
$ Leftrightarrow cos (7x – frac{pi }{3}) = cos (5x – frac{pi }{6})$$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}7x – frac{pi }{3} = 5x – frac{pi }{6} + k2pi \7x – frac{pi }{3} = pi – (5x – frac{pi }{6}) + k2pi end{array} right.$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}2x = frac{pi }{6} + k2pi \12x = frac{{3pi }}{2} + k2pi end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = frac{pi }{{12}} + kpi \x = frac{pi }{8} + frac{{kpi }}{6}end{array} right.,,,,,,,,,,k in Z$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

Bài tập rèn luyện:
Giải các phương trình sau:
Bài tập 1.
$sqrt 3 sin x + cos x = sqrt 3 $
Bài tập 2. 10cos(x) – 24sin(2x) = 13
Bài tập 3. ${sin ^2}x + sqrt 6 cos x = 3{cos ^2}x + sqrt 2 sin x$
Bài tập 4. $4{cos ^3}x – sqrt 3 sin 3x = 1 + 3cos x$
Bài tập 5. ${sin ^4}x – {cos ^4}x = 1 + 2sqrt 2 sin x.cos x$
Bài tập 6. $2(sqrt 3 sin x – cos x) = sqrt 7 sin 2x + 3({cos ^4}x – {sin ^4}x)$
Bài tập 7. $8sin x = frac{{sqrt 3 }}{{cos x}} + frac{1}{{sin x}}$
Bài tập 8. $2sqrt 2 (sin x + cos x)cos x = 3 + cos 2x$
Bài tập 9. $cos x + 2cos 2x = 2sqrt 2 + cos 3x$
Bài tập 10. $sqrt 2 cos (frac{x}{5} – frac{pi }{{12}}) – sqrt 6 sin (frac{x}{5} – frac{pi }{{12}}) = 2sin (frac{x}{5} + frac{{2pi }}{3}) – 2sin (frac{{3x}}{5} + frac{pi }{6})$

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button