Kiến thức

Phương trình đối xứng đối với sin(x) và cos(x).

Phương pháp giải
a) Định nghĩa:
Phương trình đối xứng đối với sin(x) và cos(x).là phương trình dạng
a[sin(x) + cos(x)] + bsin(x)cos(x) + c = 0 trong đó a, b, c ∈ R (1)
b) Cách giải:
Cách 1:
Do $a{(sin x + cosx)^2} = 1 + sin xcos x$ nên ta đặt
$t = sin x + cos x = sqrt 2 sin (x + frac{pi }{4}) = sqrt 2 cos (frac{pi }{4} – x)$. Điều kiện $|t| le sqrt 2 $
Suy ra $sin xcos x = frac{{{t^2} – 1}}{2}$ và phương trình (1) được viết lại: $b{t^2} + 2at – (b + 2c) = 0$
Đó là phương trình bậc hai đã biết cách giải

Cách 2: Đặt t = π/4 – x thì $sin x + cos x = sqrt 2 cos (frac{pi }{4} – x) = sqrt 2 cos t$
$sin xcos x = frac{1}{2}sin 2x = frac{1}{2}cos (frac{pi }{2} – 2x) = frac{1}{2}cos 2t = {cos ^2}t – frac{1}{2}$ nên phương trình (1) trở thành
$b{cos ^2}x + sqrt 2 cos x – frac{b}{2} + c = 0$. Đây là phương trình bậc hai đã biết cách giải

*Chú ý: Hai cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình a[sin(x) – cos(x)] + bsin(x).cos(x) + c = 0 bằng cách đặt t = sin(x) – cos(x) và lúc đó $sin xcos x = frac{{1 – {t^2}}}{2}$

Ví Dụ Minh Hoạ

Ví Dụ 1:
Giải phương trình sin(x) + cos(x) – 2sin(x).cos(x) + 1 = 0 (1)

Giải

Cách 1: Đặt sin(x) + cos(x) = t điều kiện $|t| le sqrt 2 $. Lúc đó $sin xcos x = frac{{{t^2} – 1}}{2}$
Khi đó phương trình (1) sẽ có dạng $t – 2(frac{{{t^2} – 1}}{2}) + 1 = 0 Leftrightarrow {t^2} – t – 2 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = – 1\t = 2end{array} right.,,,,,,,,(*)$
Với t = 2 không thoả mãn điều kiện nên

(*) ↔ t = -1 ↔ sin(x) + cos(x) = – 1$ leftrightarrow sqrt 2 sin (x + frac{pi }{4}) = – 1 leftrightarrow sin (x + frac{pi }{4}) = – frac{1}{{sqrt 2 }} leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = – frac{pi }{2} + k2pi \x = pi + k2pi ,,,,end{array} right.,,,k in Z$

Cách 2: Đặt z = π/4 – x. Khi đó phương trình có dạng
$sqrt 2 cos (frac{pi }{4} – x) – sin 2x + 1 = 0$
$ leftrightarrow sqrt 2 cos z – sin 2(frac{pi }{4} – z) + 1 = 0 leftrightarrow sqrt 2 cos z – sin (frac{pi }{2} – z) + 1 = 0$
$ leftrightarrow sqrt 2 cos z – cos 2z + 2 = 0 leftrightarrow sqrt 2 cos z – (2{cos ^2}z – 1) + 1 = 0$ $ – 2{cos ^2}z + sqrt 2 cos z + 1 = 0 leftrightarrow left[ begin{array}{l}cos z = sqrt 2 \cos z = – frac{{sqrt 2 }}{2}end{array} right.$ (*’)
Ta thấy $cos z = sqrt 2 $không thoả mãn

Do đó (*’) $ leftrightarrow cos z = – frac{{sqrt 2 }}{2} leftrightarrow left[ begin{array}{l}
z = – frac{{3pi }}{4} + k2pi \z = frac{{3pi }}{4} + k2pi end{array} right.$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}frac{pi }{4} – x = frac{{3pi }}{4} + k2pi \frac{pi }{4} – x = frac{{3pi }}{4} + k2pi end{array} right.$

$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = – frac{pi }{2} – k2pi \x = pi – k2pi end{array} right.,,,k in Z$
Vậy phương trình có hai họ nghiệm

*Chú ý: Ta có thể đưa một số dạng phương trình về dạng phương trình đối xứng đã xét ở trên

Bài toán 1: Giải phương trình ${a^2}tan x + {b^2}cot x = c(asin x pm bcos x),,,,(1),,,,,a,b ne 0$

Cách giải:

Phương trình (1) có thể viết $frac{{{a^2}{{sin }^2}x – {b^2}{{cos }^2}x}}{{sin x.cos x}} = ,c(asin x pm bcos x)$
$ leftrightarrow (asin x – bcos x)(asin x + bcos x) = c(asin x pm bcos x)$
$ leftrightarrow (asin xleft[ pm right]bcos x)left[ {(asin xleft[ mp right]bcos x) – csin x.cos x} right] = 0$
$ leftrightarrow left[ begin{array}{l}asin xleft[ pm right]bcos x = 0\asin xleft[ mp right]bcos x – csin x.cos x = 0end{array} right.$

*Quy ước:
Khi có nhiều dấu [± ] trong một biểu thức hay một hệ hiểu là cùng lấy dòng trên hoặc cùng lấy dòng dưới

Ví Dụ 2: Giải phương trình $tan x – 3cot x = 4(sin x + sqrt 3 cos x),,,,,(2)$

Giải:

Điều kiện: $sin x.cos x ne 0 Leftrightarrow x ne frac{{kpi }}{2},,,,k in Z$
Ta có (2) $ Leftrightarrow frac{1}{{sin x.cos x}}({sin ^2}x – 3{cos ^2}x), = 4(sin x + sqrt 3 cos x),$
$ Leftrightarrow (sin x – sqrt 3 cos x)(sin x + sqrt 3 cos x) = 4(sin x + sqrt 3 cos x)sin x.cos x$
$ Leftrightarrow (sin x + sqrt 3 cos x).left[ {(sin x – sqrt 3 cos x)sin 2x} right] = 0$

$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}sin x + sqrt 3 cos x = 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(4)\sin x – sqrt 3 cos x – sin 2x = 0,,,,,,(3)end{array} right.$

Ta có (3) $ Leftrightarrow tan x = – sqrt 3 Leftrightarrow x = – frac{pi }{3} + kpi ,,,,,,(5)$
(4) $ Leftrightarrow frac{1}{2}sin x – frac{{sqrt 3 }}{2}cos x = sin 2x Leftrightarrow cos frac{pi }{3}sin x – sin frac{pi }{3}cos x = sin 2x$
$ Leftrightarrow sin (x – frac{pi }{3}) = sin 2x Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
2x = x – frac{pi }{3} + l2pi \2x = pi – x + frac{pi }{3} + l2pi end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = – frac{pi }{3} + l2pi \x = frac{{4pi }}{3} + l2pi end{array} right.,,,,,,,,l in Z$ (6)

Các gía trị của x trong (5) và (6) đều thoả mãn điều kiện của phương trình
Vậy theo phương trình có hai họ nghiệm.

Bài toán 2: Giải phương trình:
$a(tan xleft[ pm right]sin x) + ,,b(cot xleft[ pm right]cos x) pm (a + b) = 0$ với a, b, c, d ∈ R (1)

Cách giải:

Ta có:
$begin{array}{l}a(tan xleft[ pm right]sin x pm 1) + ,,b(cot xleft[ pm right]cos x pm 1) = 0\
Leftrightarrow frac{a}{{cos x}}(sin xleft[ pm right]sin x.cos x + cos x) + frac{b}{{sin x}}(sin xleft[ pm right]sin x.cos x + cos x) = 0\ Leftrightarrow (frac{a}{{cos x}} + frac{b}{{sin x}})(sin xleft[ pm right]sin x.cos x + cos x) = 0end{array}$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}frac{a}{{cos x}} + frac{b}{{sin x}} = 0\sin xleft[ pm right]sin xcos x + cos x = 0,,,,,,,end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
tan x = – frac{b}{a}\sin xleft[ pm right]sin xcos x + cos x = 0end{array} right.$

Đến đây chúng ta đã biết cách giải
Tương tự cho phương trình $a(tan xleft[ pm right]sin x) + b(cot xleft[ pm right]cos x) – a + b = 0,,$

Ví Dụ 3: Giải phương trình $tan x – sqrt 3 cot x – sin x + sqrt 3 cos x + 1 – sqrt 3 = 0,,$ ¬(3)

Giải

Điều kiện $sin 2x ne 0 Leftrightarrow x ne frac{{kpi }}{2},,,,,k in Z$
(3) $ Leftrightarrow tan x – sin x – sqrt 3 (cot x – cos x) + 1 – sqrt 3 = 0,,$

$ Leftrightarrow frac{1}{{cos x}}(sin x – sin xcos x + cos x) – frac{{sqrt 3 }}{{sin x}}(sin x – sin x.cos x + cos x) = 0,,$

$ Leftrightarrow (frac{1}{{cos x}} – frac{{sqrt 3 }}{{sin x}})(sin x – sin x.cos x + cos x) = 0,,$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}frac{1}{{cos x}} – frac{{sqrt 3 }}{{sin x}} = 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(4)\sin x – sin x.cos x + cos x = 0,,,,,,,,left( 5 right),,end{array} right.$

Giải (4) $ Leftrightarrow tan x = sqrt 3 Leftrightarrow x = frac{pi }{3} + kpi ,,,,,,k in Z$
Giải (5): Đặt $t = sin x + cos x = sqrt 2 cos (frac{pi }{4} – x),,,,,,|t| le sqrt 2 $ (*)
Suy ra $sin x.,,cos x = frac{{{t^2} – 1}}{2}$ .
Phương trình (5) trở thành $t – frac{{{t^2} – 1}}{2} = 0 Leftrightarrow {t^2} – t – 1 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = 1 – sqrt 2 \t = 1 + sqrt 2 end{array} right.$
Kết hợp với điều kiện (*) thì $t = 1 + sqrt 2 $ bị loại

Với $t = 1 – sqrt 2 $ ta có $sqrt 2 cos (frac{pi }{4} – x), = 1 – sqrt 2 Leftrightarrow cos (frac{pi }{4} – x) = frac{{1 – sqrt 2 }}{{sqrt 2 }} = cos alpha ,,,,,$
$ Leftrightarrow frac{pi }{4} – x = pm alpha , + l2pi ,, Leftrightarrow x = – frac{pi }{4} pm alpha , + l2pi ,,$ (với $alpha in R,,,,l in Z$)
Các nghiệm của phương trình (4) và (5) đều thoả mãn điều kiện của phương trình
Vậy phương trình có ba họ nghiệm

Chú ý: Ta có thể áp dụng phương pháp đối với phương trình hỗn hợp chứa các biểu thức đối xứng đối với và với bậc lớn hơn 2.

Ví dụ 4: Giải phương trình: ${cos ^4}frac{x}{2} – {sin ^4}frac{x}{2} = sin 2x,,,,,,,,,,,,(1)$

Giải

Ta có: ${cos ^4}frac{x}{2} – {sin ^4}frac{x}{2} = ({cos ^2}frac{x}{2} – {sin ^2}frac{x}{2})({cos ^2}frac{x}{2} + {sin ^2}frac{x}{2}) = cos x$
Phương trình (1) có dạng
$begin{array}{l}cos x = sin 2x Leftrightarrow cos x = 2sin x.cos x\ Leftrightarrow cos x(1 – 2sin x) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}sin 2x = frac{1}{2}\cos x = 0end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = frac{pi }{6} + k2pi \x = frac{{5pi }}{6} + k2pi \x = frac{pi }{2} + k2pi end{array} right.,,,,,,,k in Zend{array}$
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm

Ví Dụ 5: Giải phương trình: $8,,frac{{{{sin }^6}x + {{cos }^6}x}}{{sin 2x}} = {tan ^2}x + {cot ^2}x$ (2)

Giải

Điều kiện: sin(2x) ≠ 0
Phương trình (2) $ Leftrightarrow 8(1 – frac{3}{4}{sin ^2}2x) = 2sin 2x(frac{{{{sin }^2}x}}{{{{cos }^2}x}} + frac{{{{cos }^2}x}}{{{{sin }^2}x}})$

$ Leftrightarrow 8 – 6{sin ^2}2x = 4sin 2x.frac{{1 – frac{1}{2}{{sin }^2}2x}}{{{{sin }^2}2x}}$ $(8 – 6{sin ^2}2x)sin 2x = 4 – 2{sin ^2}2x$

$ leftrightarrow 3{sin ^3}2x – {sin ^2}2x – 4sin 2x + 2 = 0$↔$(sin 2x – 1)(3{sin ^2}2x + 2sin 2x – 2) = 0$↔$left[ begin{array}{l}sin 2x – 1 = 0\3{sin ^2}2x + 2sin 2x – 2 = 0end{array} right.$
↔$left[ begin{array}{l}sin 2x = 1\sin 2x = frac{{ – 1 – sqrt 7 }}{3}\sin 2x = frac{{sqrt 7 – 1}}{3} = sin alpha end{array} right.$ (loại) $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = frac{pi }{4} + kpi \x = alpha + kpi \x = pi – alpha + kpi end{array} right.,,,,,,,,,k in Z$
Các nghiệm đều thoả mãn điều kiện sin(2x) ≠ 0
Vậy phương trình có 3 họ nghiệm

Bài tập rèn luyện
Giải các phương trình sau:
Bài tập 1.
$,,,,frac{{20}}{{sin 2x – 2(sin x – cos x)}} = (frac{1}{2}tan x + frac{1}{{sin x + cos x}})cos 2x – 9$
Bài tập 2. $,,,,2(tan x – sin x) + 3(cot x – cos x) + 5 = 0$
Bài tập 3. $,,,,,1 + {cos ^3}x – {sin ^3}x = sin 2x$
Bài tập 4. $,sin x + cos x = (sqrt 3 – 1)cos 2x$
Bài tập 5. $,,,,2{cos ^2}frac{x}{2}(1 – sin x) + {cos ^2}x = 0$
Bài tập 6. $,,,,{sin ^3}x + {cos ^3}x = sin 2x + sin x + cos x$
Bài tập 7. $4({sin ^4}x + {cos ^4}x) + sqrt 3 sin 4x = 2$
Bài tập 8. ${sin ^8}x + {cos ^8}x = frac{{17}}{{32}}$
Bài tập 9. ${sin ^3}x.cos x + frac{1}{4}{cos ^4}2x = sin x.{cos ^3}x + frac{1}{4}{sin ^4}2x + frac{{sqrt 2 }}{8}$
Bài tập 10. ${sin ^3}x + {cos ^3}x = 2({sin ^5}x + {cos ^5}x)$
Bài tập 11. ${sin ^8}x + {cos ^8}x = ({sin ^{10}}x + {cos ^{10}}x) + frac{5}{4}cos 2x$

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button