Kiến thức

Phương trình đối xứng đối với $sin x$ và $cos x$

Phương trình đối xứng đối với $sin x$ và $cos x$ là phương trình dạng $a(sin x + cos x) + bsin xcos x + c = 0$, trong đó $a, b, c in R.$

Cách giải:
Cách 1: Do ${(sin x + cosx)^2} = 1 + 2sin xcos x$ nên ta đặt: $t = sin x + cos x$ $ = sqrt 2 sin (x + frac{pi }{4})$ $ = sqrt 2 cos (frac{pi }{4} – x)$, điều kiện $|t| le sqrt 2 .$
Suy ra $sin xcos x = frac{{{t^2} – 1}}{2}$ và phương trình $a(sin x + cos x) + bsin xcos x + c = 0$ được viết lại: $b{t^2} + 2at – (b + 2c) = 0.$

Cách 2: Đặt $t = frac{pi }{4} – x$, ta có:
$sin x + cos x = sqrt 2 cos (frac{pi }{4} – x)$ $ = sqrt 2 cos t.$
$sin xcos x = frac{1}{2}sin 2x$ $ = frac{1}{2}cos (frac{pi }{2} – 2x)$ $ = frac{1}{2}cos 2t = {cos ^2}t – frac{1}{2}.$
Phương trình $a(sin x + cos x) + bsin xcos x + c = 0$ trở thành $b{cos ^2}x + sqrt 2 cos x – frac{b}{2} + c = 0$. Đây là phương trình bậc hai theo $cos$ đã trình bày cách giải ở phần 1.

Chú ý: Phương trình lượng giác dạng $a(sin x – cos x) + bsin xcos x + c = 0$ được giải tương tự bằng cách đặt $t = sin x – cos x.$

Ví dụ 7: Giải phương trình $sin x + cos x – 2sin xcos x + 1 = 0.$

Đặt $sin x + cos x = t$, điều kiện $|t| le sqrt 2 $, suy ra $sin xcos x = frac{{{t^2} – 1}}{2}.$
Phương trình đã cho trở thành: $t – 2(frac{{{t^2} – 1}}{2}) + 1 = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
t = – 1\
t = 2
end{array} right.$ (loại $t = 2$ vì không thỏa mãn điều kiện).
Với $t = – 1$ $⇔ sin x + cos x = – 1$ $ Leftrightarrow sqrt 2 sin (x + frac{pi }{4}) = – 1$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = – frac{pi }{2} + k2pi \
x = pi + k2pi
end{array} right.$ $left( {k in Z} right).$
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm $ left[ begin{array}{l}
x = – frac{pi }{2} + k2pi \
x = pi + k2pi
end{array} right.$ $left( {k in Z} right).$

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button