Kiến thức

SỰ ĐỒNG BIẾN ,NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

I.Tóm tắt lý thuyết:

1. Điều kiện để hàm số đồng biến ,nghịch biến:

  • Điều kiện cần và đủ để y = f(x) đồng biến /(a,b) ↔ f’ (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a,b) đồng thời f’ (x) =0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc (a,b).
  • Điều kiện cần và đủ để y = f(x) nghịch biến /(a,b) ↔ f’ (x) ≤ 0 ∀x ∈ (a,b) đồng thời f’ (x) =0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc (a,b).

2.Kiến thức bổ trợ:
Tam thức bậc hai f(x)= ax$^2$ +bx +c (a ≠ 0)

  • Điều kiện để $f(x) ge 0,,(forall x in R),, Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta le 0\a > 0end{array} right.$
  • Điều kiện để $f(x) le 0,,(forall x in R),, Leftrightarrow left{ begin{array}{l}Delta le 0\a < 0end{array} right.$

II.Bài tập:

Ví dụ 1: Cho hàm số $y = {x^3} – 3(2m + 1){x^2} + (12m + 5)x + 2$
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; + ∞).

[2; +∞) ↔ 0 ≤ y’ ∀x ∈ (2; +∞) ↔ 12m(x – 1) ≤ 3x$^2$ – 6x + 5 ∀x ∈ (2; +∞)
$ Leftrightarrow frac{{{x^2} – 6x + 5}}{{12(x – 1)}} ge m,$ ∀x ∈ (2; +∞)
f’(x) = $frac{{3x(x – 2) + 1}}{{12{{(x – 1)}^2}}}$ → f’(x) > 0 ∀x ∈ (2; +∞)
→ f(x) đồng biến trên (2; +∞) nên $f(x) > f(2) = frac{5}{{12}} Leftrightarrow m le frac{5}{{12}}$

Ví dụ 2: Tìm m để $y = frac{{m{x^2} + 6x – 2}}{{x + 2}}$ nghịch biến trên [1; + ∞).

Hàm nghich biến trên
[1; + ∞) ↔ y’ ≤ 0 ∀x ∈ [1; + ∞)↔mx$^2$ + 4mx + 14 ≤0; ∀x ∈[1; + ∞)
$begin{array}{l}
Leftrightarrow frac{{ – 14}}{{{x^2} + 4x}} ge m,,forall x in (2; + infty )\
f'(x) = frac{{12(2x + 4)}}{{{{(x + 2)}^2}}} > 0 Rightarrow f'(x) > 0,forall x in left[ {1; + infty } right)\
to f(x)dong,bien,,,tren,,left[ {1; + infty } right),,nen,,,f(x) > f(1) = frac{{ – 14}}{5} Leftrightarrow m le frac{{ – 14}}{5}
end{array}$

Ví dụ 3: Cho hàm số $y = frac{{ – 1}}{3}{x^3} + (m – 1){x^2} + (m + 3)x – 4$. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0;3).

(0; 3) ↔ y’ ≥ 0 ∀x ∈ [0; 3] ↔ -x$^2$ + 2(m – 1)x + m + 3 ≥ 0 ∀x ∈ [0; 3]
$ Leftrightarrow frac{{{x^2} + 2x – 3}}{{2x + 1}} le m,$ ∀x ∈ [0; 3]
f’(x) = $frac{{2{x^2} + 2x + 8}}{{{{(2x + 1)}^2}}} > 0$ → f’(x) > 0 ∀x ∈ [0; 3]
→ f(x) đồng biến trên [0;3] nên $Max,,f(x) = f(3) = frac{{12}}{7} le m$

Ví dụ 4:
Chứng minh rằng:
a) F(x) = cos2x – 2x + 3 nghịch biến trên R.
b) F(x) = x + cos$^2$x đồng biến trên R.

[​IMG][​IMG]

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button