Kiến thức

Tích phân lượng giác

Trong đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN của hàng năm bài toán tích phân hầu như không thể thiếu, bài toán về tích phân là một trong những bài toán khó vì vậy nó đòi hỏi người học phải có phương pháp giải đối với một số bài.

Chuyên đề này hy vọng sẽ góp phần giúp các em học sinh luyện thi đại học hiểu sâu hơn vận dụng phương pháp tích phân lượng giác.

I. Phương pháp

Dạng 1:
$I = intlimits_alpha ^beta {sin mx.cos nxdx}$
Cách làm:
biến đổi tích sang tổng.

Dạng 2: $I = intlimits_alpha ^beta {{{sin }^m}x.{{cos }^n}x.dx} $
Cách làm:

  • Nếu m, n chẵn . Đặt t = tan(x)
  • Nếu m chẵn n lẻ . Đặt t = sin(x) (trường hợp còn lại thì ngược lại)

Dạng 3: $I = intlimits_alpha ^beta {frac{{dx}}{{a.sin x + b.cos x + c}}} $
Cách làm:

Đặt: $t = tan frac{x}{2}quad Rightarrow quad left{ begin{array}{l}
sin x = frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\
cos x = frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}}
end{array} right.$

Dạng 4:
$I = intlimits_alpha ^beta {frac{{a.sin x + b.cos x}}{{c.sin x + d.cos x}}.dx} $

Cách làm
:
Đặt: $frac{{a.sin x + b.cos x}}{{c.sin x + d.cos x}} = A + frac{{B(c.cos x – d.sin x)}}{{c.sin x + d.cos x}}$
Sau đó dùng đồng nhất thức.

Dạng 5: $I = intlimits_alpha ^beta {frac{{a.sin x + b.cos x + m}}{{c.sin x + d.cos x + n}}.dx} $

Cách làm:

Đặt: $frac{{a.sin x + b.cos x + m}}{{c.sin x + d.cos x + n}} = A + frac{{B(c.cos x – d.sin x)}}{{c.sin x + d.cos x + n}} + frac{C}{{c.sin x + d.cos x + n}}$
Sau đó dùng đồng nhất thức.

II. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tính tích phân :
a) ${I_1} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {frac{{cos xdx}}{{{{(sin x + 1)}^4}}}} $
b) ${I_2} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{{cos }^5}xdx} $
c) ${I_3} = intlimits_0^{frac{pi }{4}} {{{tan }^6}xdx} $

Giải

a) Đặt : t = sin(x) + 1 → dt = cos(x)dx
Đổi cận: $left{ begin{array}{l}
x = 0 to t = 1\
x = frac{pi }{2} to t = 2
end{array} right.$
Vậy: ${I_1} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {frac{{cos xdx}}{{{{(sin x + 1)}^4}}}} = intlimits_1^2 {frac{{dt}}{{{t^4}}}} = left. { – frac{1}{{3{t^3}}}} right|_1^2 = frac{7}{{24}}$

b) Đặt: t = sin(x) → dt = cos(x)dx
Đổi cận: $left{ begin{array}{l}x = 0 to t = 0\x = frac{pi }{2} to t = 1
end{array} right.$
Vậy : ${I_2} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{{cos }^5}xdx} = intlimits_0^1 {{{left( {1 – {t^2}} right)}^2}dt = intlimits_0^1 {left( {1 + {t^4} – 2{t^2}} right)} } dt = intlimits_0^1 {left. {left( {frac{{{t^5}}}{5} – frac{2}{3}{t^3} + t} right)} right|_0^1} = frac{8}{{15}}$

c) Đặt: t = tan(x) → dt = (tan$^2$(x) + 1)dx
Đổi cận: $left{ begin{array}{l}x = 0 to t = 0\x = frac{pi }{4} to t = 1end{array} right.$
Vậy : ${I_3} = intlimits_0^{frac{pi }{4}} {{{tan }^6}xdx} = intlimits_0^1 {frac{{{t^6}dt}}{{{t^2} + 1}} = intlimits_0^1 {left( {{t^4} – {t^2} + 1 – frac{1}{{{t^2} + 1}}} right)} } dt = left. {left( {frac{{{t^5}}}{5} – frac{{{t^3}}}{3} + t} right)} right|_0^1 – intlimits_0^{frac{pi }{4}} {du = frac{{13}}{{15}}} – frac{pi }{4}$

Bài tập 2: Tính các tích phân sau :
a) ${I_1} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {frac{{sin x.cos x}}{{sqrt {{a^2}.{{sin }^2}x + {b^2}.{{cos }^2}x} }}dx} $

b) ${I_2} = intlimits_0^{frac{pi }{3}} {frac{{cos x}}{{sqrt {2 + cos 2x} }}dx} $

Giải

a) Đặt: $t = {a^2}.{sin ^2}x + {b^2}.{cos ^2}xquad Rightarrow quad dt = 2( – {b^2} + {a^2})sin x.cos xdxquad $
Đổi cận: $left{ begin{array}{l}
x = 0 to t = {a^2}\
x = frac{pi }{2} to t = {b^2}
end{array} right.$

Nếu |a| ≠ |b|
Vậy: ${I_1} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {frac{{sin x.cos x}}{{sqrt {{a^2}.sin x + {b^2}.cos x} }}dx = frac{1}{{2left( {{b^2} – {a^2}} right)}}intlimits_{{a^2}}^{{b^2}} {frac{{dt}}{{sqrt t }}} } = left. {frac{1}{{{b^2} – {a^2}}}sqrt t } right|_{{a^2}}^{{b^2}} = frac{{left| a right| – left| b right|}}{{{b^2} – {a^2}}} = frac{1}{{left| a right| + left| b right|}}$

Nếu |a| = |b|
Vậy: ${I_1} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {frac{{sin x.cos x}}{{sqrt {{a^2}.{{sin }^2}x + {b^2}.{{cos }^2}x} }}dx = } intlimits_0^{frac{pi }{2}} {frac{{sin x.cos xdx}}{{left| a right|}}} = frac{1}{{2left| a right|}}intlimits_0^{frac{pi }{2}} {sin 2xdx = – } left. {frac{1}{{4left| a right|}}cos 2x} right|_0^{frac{pi }{2}} = frac{1}{{2left| a right|}}$

b) Đặt: t = sin(x) → dt = cos(x)dx
Đổi cận: $left{ begin{array}{l}
x = 0 to t = 0\
x = frac{pi }{3} to t = frac{{sqrt 3 }}{2}
end{array} right.$
Vậy: ${I_2} = intlimits_0^{frac{pi }{3}} {frac{{cos x}}{{sqrt {2 + cos 2x} }}dx} = intlimits_0^{frac{{sqrt 3 }}{2}} {frac{{dt}}{{sqrt {3 – 2{t^2}} }}} = frac{1}{{sqrt 2 }}intlimits_0^{frac{{sqrt 3 }}{2}} {frac{{dt}}{{sqrt {frac{3}{2} – {t^2}} }}} $

Đặt: $t = sqrt {frac{3}{2}} cos uquad Rightarrow quad dt = – sqrt {frac{3}{2}} sin udu$
Đổi cận: $left{ begin{array}{l}t = 0 to u = frac{pi }{2}\t = frac{{sqrt 3 }}{2} to u = frac{pi }{4}
end{array} right.$

Vậy: ${I_2} = frac{1}{{sqrt 2 }}intlimits_0^{frac{{sqrt 3 }}{2}} {frac{{dt}}{{sqrt {frac{3}{2} – {t^2}} }}} = frac{1}{{sqrt 2 }}intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}} {frac{{frac{{sqrt 3 }}{2}sin udu}}{{sqrt {frac{3}{2}left( {1 – {{cos }^2}u} right)} }}} = frac{1}{{sqrt 2 }}intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{4}} {du = left. {frac{1}{{sqrt 2 }}u} right|} _{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}} = frac{pi }{{4sqrt 2 }}$

Bài tập 3:Tính các tích phân sau :
a) ${I_1} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {frac{1}{{4sin x + 3cos x + 5}}dx} $
b) ${I_2} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {frac{{sin x + 7cos x + 6}}{{4sin x + 3cos x + 5}}dx} $

Giải

a) Đặt: $t = tan frac{x}{2}quad Rightarrow quad dt = left( {{{tan }^2}frac{x}{2} + 1} right)dxquad Rightarrow quad dx = frac{{2dt}}{{{t^2} + 1}}$
Đổi cận: $left{ begin{array}{l}x = 0 to t = 0\x = frac{pi }{2} to t = 1end{array} right.$
Vậy: ${I_1} = intlimits_0^1 {frac{{frac{2}{{1 + {t^2}}}}}{{4frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + 3frac{{1 – {t^2}}}{{1 + {t^2}}} + 5}}dt} = intlimits_0^1 {frac{{dt}}{{{{left( {t + 1} right)}^2}}}} = left. { – frac{1}{{t + 2}}} right|_0^1 = frac{1}{6}$

b)Đặt: $frac{{sin x + 7cos x + 6}}{{4sin x + 3cos x + 5}} = A + Bfrac{{4cos x – 3sin x}}{{4sin x + 3cos x + 5}} + frac{C}{{4sin x + 3cos x + 5}}$
Dùng đồng nhất thức ta được: A = 1; B = 1; C = 1
Vậy:
$begin{array}{l}{I_2} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {frac{{sin x + 7cos x + 6}}{{4sin x + 3cos x + 5}}dx} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {left( {1 + frac{{4cos x – 3sin x}}{{4sin x + 3cos x + 5}} + frac{1}{{4sin x + 3cos x + 5}}} right)} dx\left. {quad = left( {x + ln left| {4sin x + 3cos x + 5} right|} right)} right|_0^{frac{pi }{2}} + {I_1} = frac{pi }{2} + ln frac{9}{8} + frac{1}{6}
end{array}$

III. Bài tập rèn luyện
a) ${I_1} = intlimits_{frac{pi }{6}}^{frac{pi }{2}} {frac{{{{cos }^3}x}}{{sin {}^2x}}dx} $
b) ${I_2} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{{cos }^3}x.sin xdx} $
c) ${I_3} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {frac{{dx}}{{sin x + 2}}} $
d) ${I_3} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {frac{{4{{sin }^3}x}}{{cos x + 1}}dx}$
e) ${I_5} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {frac{1}{{sin x + 2cos x + 3}}dx} $
f) ${I_6} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {frac{{sin x – cos x + 1}}{{sin x + 2cos x + 3}}dx} $

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button