Kiến thức

Tích phân từng phần

I. Phương pháp
Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b], thì ta có :
$intlimits_a^b {udv = left. {left[ {uv} right]} right|_a^b – intlimits_a^b {vdu} } $
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :

  • Ưu tiên 1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u = ln(x) hay u = log$_a$x.
  • Ưu tiên 2 : Đặt u = ?? mà có thể hạ bậc.

II. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tính các tích phân sau :
a) ${I_1} = intlimits_0^1 {x.{e^x}dx} $
b) ${I_2} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{x^2}.cos xdx}$
c) ${I_3} = intlimits_1^e {ln xdx}$

Giải

a) Đặt: $left{ begin{array}{l}
u = x to du = dx\
dv = {e^x}dx to v = {e^x}
end{array} right.quad $
${I_1} = intlimits_0^1 {x.{e^x}dx} = left. {x.{e^x}} right|_0^1 – intlimits_0^1 {{e^x}} dx = e – left. {{e^x}} right|_0^1 = e – left( {e – 1} right) = 1$

b) Đặt: $left{ begin{array}{l}
u = {x^2} to du = 2xdx\
dv = cos xdx to v = sin x
end{array} right.quad $

Vậy: $intlimits_0^1 {x.{e^x}dx} = left. { – x.cos x} right|_0^{frac{pi }{2}} – 2intlimits_0^{frac{pi }{2}} {x.sin xdx} = {left( {frac{pi }{2}} right)^2} – 2intlimits_0^{frac{pi }{2}} {x.sin xdx} ,,,,left( 1 right)$

Ta đi tính tích phân $intlimits_0^{frac{pi }{2}} {x.sin xdx} quad$

Đặt: $left{ begin{array}{l}
u = x to du = dx\
dv = sin xdx to v = – cos x
end{array} right.quad $
Vậy: $intlimits_0^{frac{pi }{2}} {x.sin xdx} = left. { – x.cos x} right|_0^{frac{pi }{2}} + intlimits_0^{frac{pi }{2}} {cos xdx} = left. { – x.cos x} right|_0^{frac{pi }{2}} + left. {sin } right|_0^{frac{pi }{2}} = 1$
Thế vào (1) ta được: ${I_1} = intlimits_0^1 {x.{e^x}dx} = frac{{{pi ^2} – 8}}{4}$

c) Đặt:
$left{ begin{array}{l}
u = cos left( {ln x} right) to du = – frac{1}{x}sin left( {ln x} right)dx\
dv = dx to v = x
end{array} right.quad $

Vậy: ${I_3} = intlimits_1^e {ln xdx} = left. {x.ln x} right|_1^e – intlimits_1^e {dx} = left. {x.ln x} right|_1^e – left. x right|_0^e = 1$

Bài tập 2: Tính các tích phân sau
a) ${I_1} = intlimits_0^pi {{e^x}.sin xdx}$
b) ${I_2} = intlimits_0^{frac{pi }{4}} {frac{x}{{{{cos }^2}x}}dx}$
c) ${I_3} = intlimits_1^{{e^pi }} {cos left( {ln x} right)dx} $

Giải

a) Đặt: $left{ begin{array}{l}
u = {e^x} to du = {e^x}dx\
dv = sin xdx to v = – cos x
end{array} right.quad $
Vậy: ${I_1} = intlimits_0^pi {{e^x}.sin xdx} = left. { – {e^x}.cos x} right|_0^pi + intlimits_0^pi {{e^x}.cos xdx = {e^pi } + 1 + Jquad left( 1 right)} $

Đặt: $left{ begin{array}{l}
u = {e^x} to du = {e^x}dx\
dv = cos xdx to v = sin x
end{array} right.quad $
Vậy: $J = intlimits_0^pi {{e^x}.cos xdx} = left. {{e^x}.sin x} right|_0^pi – intlimits_0^pi {{e^x}.sin xdx} = – I$
Thế vào (1) ta được: $2{I_1} = {e^pi } + 1 to {I_1} = frac{{{e^pi } + 1}}{2}$

b) Đặt: $left{ begin{array}{l}u = x to du = dx\dv = frac{1}{{{{cos }^2}x}}dx to v = tan xend{array} right.quad$
Vậy: ${I_2} = intlimits_0^{frac{pi }{4}} {frac{x}{{{{cos }^2}x}}dx} = left. {x.tan x} right|_0^{frac{pi }{4}} – intlimits_0^{frac{pi }{4}} {tan xdx = } frac{pi }{4} + left. {ln left( {cos x} right)} right|_0^{frac{pi }{4}} = frac{pi }{4} + ln frac{{sqrt 2 }}{2}$

c) Đặt: $left{ begin{array}{l}u = cos left( {ln x} right) to du = – frac{1}{x}sin left( {ln x} right)dx\dv = dx to v = xend{array} right.quad $

Vậy: ${I_3} = intlimits_1^{{e^pi }} {cos left( {ln x} right)dx} = left. {x.cos left( {ln x} right)} right|_1^{{e^pi }} + intlimits_1^{{e^pi }} {sin left( {ln x} right)dx} = – left( {{e^pi } + 1} right) + J$

Đặt:
$left{ begin{array}{l}
u = sin left( {ln x} right) to du = frac{1}{x}cos left( {ln x} right)dx\
dv = dx to v = x
end{array} right.quad $

Vậy: ${I_3} = intlimits_1^{{e^pi }} {sin left( {ln x} right)dx} = left. {x.sin left( {ln x} right)} right|_1^{{e^pi }} – intlimits_1^{{e^pi }} {cos left( {ln x} right)dx} = 0 – {I_3}$
Thế vào (1) ta được: $2{I_3} = – left( {{e^pi } + 1} right)quad Rightarrow quad {I_3} = – frac{{{e^pi } + 1}}{2}$

III. Bạn đọc tự làm :
a) ${I_1} = intlimits_0^{ln 2} {x.{e^{ – x}}dx}$
b) ${I_2} = intlimits_1^e {{{left( {1 – ln x} right)}^2}dx}$
c) ${I_3} = intlimits_e^2 {left( {frac{1}{{{{ln }^2}x}} – frac{1}{{ln x}}} right)dx}$
d) ${I_4} = intlimits_0^1 {ln left( {x + sqrt {1 + {x^2}} } right)dx}$
e) ${I_5} = intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{3}} {sin x.ln left( {tan x} right)dx} $
f) ${I_6} = intlimits_1^e {{{cos }^2}left( {ln x} right)dx} $
g) ${I^ * }_7 = intlimits_0^{frac{pi }{4}} {{x^2}cos 2x}$
h) ${I^ * }_7 = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {frac{{1 + sin x}}{{1 + cos x}}{e^x}dx} $

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button