Kiến thức

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

A. Nguyên tắc chung

Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau:
• Xác định ẩn phụ .
• Từ giả thiết, tìm miền giá trị của .
• Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một hàm biến trên miền giá trị của.

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1.
Cho , y ≥ 0 thỏa mãn x + y = 4. Tìm GTLN, GTNN của $S = left( {{x^3} – 1} right)left( {{y^3} – 1} right)$.


Giải

Đặt t = xy, suy ra $0 le t le frac{{{{left( {x + y} right)}^2}}}{4} = 4$. Ta có
${left( {xy} right)^3} – left( {x + y} right)left[ {{{left( {x + y} right)}^2} – 3xy} right] + 1 = {t^3} – 4left[ {{4^2} – 3t} right] + 1 = {t^3} + 12t – 63$
Xét hàm $fleft( t right) = {t^3} + 12t – 63$, với t ∈ [0; 4]. Ta có $f’left( t right) = 3{t^2} + 12 > 0$ ∀t ∈ [0;4] → f(t) đồng biến trên [0;4]. Do đó
• $min S = mathop {min }limits_{t in left[ {0;4} right]} fleft( t right) = fleft( 0 right) = – 63$, đạt được khi và chỉ khi
$left{ begin{array}{l}x + y = 4\xy = 0end{array} right. leftrightarrow left[ begin{array}{l}left( {x;y} right) = left( {4;0} right)\left( {x;y} right) = left( {0;4} right)end{array} right.$
• $max S = mathop {max }limits_{t in left[ {0;4} right]} fleft( t right) = fleft( 4 right) = 49$, đạt được khi và chỉ khi
$left{ begin{array}{l}x + y = 4\xy = 4end{array} right. leftrightarrow left( {x;y} right) = left( {2;2} right)$

Ví dụ 2. Cho x, y ≥ 0 thỏa mãn ${x^2} + {y^2} = 2$. Tìm GTLN, GTNN của S = x + y – xy.

Giải

Đặt t = x + y → t > 0. Ta có
${t^2} = {left( {x + y} right)^2} le 2left( {{x^2} + {y^2}} right) = 4 to t le 2,$
${t^2} = {left( {x + y} right)^2} = {x^2} + {y^2} + 2xy ge {x^2} + {y^2} = 2 to t ge sqrt 2 $
Suy ra $t in left[ {sqrt 2 ;2} right]$. Lại có
$xy = frac{{{{left( {x + y} right)}^2} – left( {{x^2} + {y^2}} right)}}{2} = frac{1}{2}{t^2} – 1 to S = fleft( t right) = – frac{1}{2}{t^2} + t + 1$
Ta có f’(t) = – t + 1 > 0 với mọi $t in left( {sqrt 2 ;2} right)$, f(2) = 1, f(1) = 1,5. Do đó
• Min S = f(2) = 1, đạt được $ leftrightarrow left{ begin{array}{l}x + y = 2\{x^2} + {y^2} = 2end{array} right. leftrightarrow left{ begin{array}{l}x = 1\y = 1end{array} right.$
• Max S = f(1) = 1,5 đạt được $left{ begin{array}{l}x + y = 1\{x^2} + {y^2} = 2end{array} right. leftrightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}x = frac{{1 – sqrt 3 }}{2}\y = frac{{1 + sqrt 3 }}{2}end{array} right.\left{ begin{array}{l}x = frac{{1 + sqrt 3 }}{2}\y = frac{{1 – sqrt 3 }}{2}end{array} right.end{array} right.$

Ví dụ 3. Cho x, y ≥ 0 thỏa mãn ${x^2} + {y^2} = 8$. Tìm GTLN, GTNN của $S = frac{x}{{y + 1}} + frac{y}{{x + 1}}$.


Giải.

Đặt t = x + y, ta có
${left( {x + y} right)^2} le 2left( {{x^2} + {y^2}} right) = 2 cdot 8 = 16 to t le 4,$
${left( {x + y} right)^2} = {x^2} + {y^2} + 2xy ge {x^2} + {y^2} = 8 to t ge 2sqrt 2 $
Suy ra $2sqrt 2 le t le 4$. Lại có
$x cdot y = frac{{{{left( {x + y} right)}^2} – left( {{x^2} + {y^2}} right)}}{2} = frac{{{t^2} – 8}}{2}$.
Ta có biến đổi sau đây
$S = frac{{xleft( {x + 1} right) + yleft( {y + 1} right)}}{{left( {y + 1} right)left( {x + 1} right)}} = frac{{{{left( {x + y} right)}^2} + left( {x + y} right) – 2xy}}{{x + y + xy + 1}} = frac{{{t^2} + t – left( {{t^2} – 8} right)}}{{t + frac{{{t^2} – 8}}{2} + 1}} = 2 cdot frac{{t + 8}}{{{t^2} + 2t – 6}}$.
Xét hàm $fleft( t right) = frac{{t + 8}}{{{t^2} + 2t – 6}}$ với $2sqrt 2 le t le 4$.
Ta có $f’left( t right) = frac{{left( {{t^2} + 2t – 6} right) – left( {t + 8} right)left( {2t + 2} right)}}{{{{left( {{t^2} + 2t – 6} right)}^2}}} = frac{{ – {t^2} – 16t – 22}}{{{{left( {{t^2} + 2t – 6} right)}^2}}} < 0,,forall t:2sqrt 2 le t le 4$
Suy ra f nghịch biến trên $left[ {2sqrt 2 ;4} right]$. Do đó $mathop {min }limits_{t in left[ {2sqrt 2 ;4} right]} fleft( t right) = fleft( 4 right) = frac{2}{3};,max fleft( t right) = fleft( {2sqrt 2 } right) = sqrt 2 $
+) $S ge 2 cdot mathop {min }limits_{t in left[ {2sqrt 2 ;4} right]} fleft( t right) = frac{4}{3}$, dấu bằng xảy ra $ leftrightarrow left{ begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 8\x + y = 4end{array} right. leftrightarrow x = y = 2$. Vậy min S = 4/3, đạt được ↔ x = y =2
+) $S le 2 cdot mathop {max }limits_{t in left[ {2sqrt 2 ;4} right]} fleft( t right) = 4sqrt 2 $, dấu bằng xảy ra $left{ begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 8\x + y = 2sqrt 2 end{array} right. leftrightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}x = 0\y = 2sqrt 2 end{array} right.\left{ begin{array}{l}x = 2sqrt 2 \y = 0end{array} right.end{array} right.$
Vậy max S = 4/3 đạt được $leftrightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}x = 0\y = 2sqrt 2 end{array} right.\left{ begin{array}{l}x = 2sqrt 2 \y = 0end{array} right.end{array} right.$

Ví dụ 4. Cho x, y ≥ 0 thỏa mãn x + y + xy = 3. Tìm GTLN, GTNN của
$S = frac{{{x^2}}}{{y + 1}} + frac{{{y^2}}}{{x + 1}} – frac{1}{{x + y + 3}}$.


Giải

Đặt $t = x + y to left{ begin{array}{l}xy = 3 – t ge 0\3 le t + frac{{{t^2}}}{4}end{array} right. leftrightarrow left{ begin{array}{l}xy = 3 – t\2 le t le 3end{array} right.$
Ta có $S = frac{{{x^3} + {y^3} + {x^2} + {y^2}}}{{left( {x + 1} right)left( {y + 1} right)}} – frac{1}{{x + y + 3}} = frac{{{{left( {x + y} right)}^3} – 3xyleft( {x + y} right) + {{left( {x + y} right)}^2} – 2xy}}{{xy + left( {x + y} right) + 1}} – frac{1}{{x + y + 3}}$
$ = frac{{{t^3} – 3left( {3 – t} right)t + {t^2} – 2left( {3 – t} right)}}{{left( {3 – t} right) + t + 1}} – frac{1}{{t + 3}} = frac{{{t^3}}}{4} + {t^2} – frac{{7t}}{4} – frac{1}{{t + 3}} – frac{3}{2}$
Xét hàm $fleft( t right) = frac{{{t^3}}}{4} + {t^2} – frac{{7t}}{4} – frac{1}{{t + 3}} – frac{3}{2},,t in left[ {2;3} right]$
Ta có $f’left( t right) = frac{{3{t^2}}}{4} + 2t – frac{7}{4} + frac{1}{{{{left( {t + 3} right)}^2}}} > 0;,forall t in left[ {2;3} right]$ → f(1) đồng biến trên [2;3].
Do đó
* S = f(t) ≥ f(2) = 4/5. Dấu “=” xảy ra $left{ begin{array}{l}x + y + xy = 3\x + y = 2end{array} right. leftrightarrow x = y = 1$
→ min S = 4/5, Đạt được: x = y = 1.
* S = f(t) ≤ f(3) = 35/6. Dấu “=” xảy ra:
$left{ begin{array}{l}x + y + xy = 3\x + y = 3end{array} right. leftrightarrow left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}x = 0\y = 3end{array} right.\left{ begin{array}{l}x = 3\y = 0end{array} right.end{array} right.$
→ max S = 35/6, Đạt được: $left[ begin{array}{l}left{ begin{array}{l}x = 0\y = 3end{array} right.\left{ begin{array}{l}x = 3\y = 0end{array} right.end{array} right.$

Ví dụ 5. Cho x, y thỏa mãn ${x^2} + xy + {y^2} = 1$. Tìm GTLN, GTNN của $S = {x^2} – xy + {y^2}$.

Giải

Cách 1. Từ giả thiết suy ra $1 = {left( {x + y} right)^2} – xy ge {left( {x + y} right)^2} – frac{{{{left( {x + y} right)}^2}}}{4} = frac{{3{{left( {x + y} right)}^2}}}{4}$. Do đó, nếu đặt t = x + y thì $frac{3}{4}{t^2} le 1$, hay $t in left[ { – frac{{2sqrt 3 }}{3};frac{{2sqrt 3 }}{3}} right]$.
Ta có $xy = {left( {x + y} right)^2} – 1 = {t^2} – 1$, suy ra
$S = {left( {x + y} right)^2} – 3xy = {t^2} – 3left( {{t^2} – 1} right) = – 2{t^2} + 3$.
Xét hàm $fleft( t right) = – 2{t^2} + 3$ với $t in left[ { – frac{{2sqrt 3 }}{3};frac{{2sqrt 3 }}{3}} right]$. Ta có f’(t) = – 4t, f’(t) có nghiệm duy nhất $t = 0 in left( { – frac{{2sqrt 3 }}{3};frac{{2sqrt 3 }}{3}} right)$.
Ta có $fleft( 0 right) = 3,,,fleft( {frac{{2sqrt 3 }}{3}} right) = fleft( { – frac{{2sqrt 3 }}{3}} right) = frac{1}{3}$
Do đó
• Min S = 1/3, đạt được chẳng hạn khi
$left{ begin{array}{l}x + y = frac{{2sqrt 3 }}{3}\{x^2} + xy + {y^2} = 1end{array} right. leftrightarrow left{ begin{array}{l}x + y = frac{{2sqrt 3 }}{3}\{left( {x + y} right)^2} – xy = 1end{array} right. leftrightarrow left{ begin{array}{l}x + y = frac{{2sqrt 3 }}{3}\xy = frac{1}{3}end{array} right. leftrightarrow left( {x;y} right) = left( {frac{1}{{sqrt 3 }};frac{1}{{sqrt 3 }}} right)$
• Max S = 3, đạt được khi và chỉ khi
$left{ begin{array}{l}x + y = 0\{x^2} + xy + {y^2} = 1end{array} right. leftrightarrow left{ begin{array}{l}x + y = 0\{left( {x + y} right)^2} – xy = 1end{array} right. leftrightarrow left{ begin{array}{l}x + y = 0\{left( {x + y} right)^2} – xy = 1end{array} right. leftrightarrow left[ begin{array}{l}left( {x;y} right) = left( {1; – 1} right)\left( {x;y} right) = left( { – 1;1} right)
end{array} right.$
Cách 2. Ta có $S = frac{{{x^2} – xy + {y^2}}}{{{x^2} + xy + {y^2}}}$.
• Xét y = 0. Khi đó S = 1
• Xét y ≠ 0. Chia cả tử và mẫu của S cho ${y^2}$ và đặt t = x/y, ta được
$S = frac{{{t^2} – t + 1}}{{{t^2} + t + 1}} = 1 – frac{{2t}}{{{t^2} + t + 1}}$.
Xét hàm $fleft( t right) = 1 – frac{{2t}}{{{t^2} + t + 1}}$, ta có $f’left( t right) = frac{{2left( {{t^2} – 1} right)}}{{{{left( {{t^2} + t + 1} right)}^2}}}$.
Bảng biến thiên của hàm f(t):
12-5-2014 10-49-37 AM.png
$mathop {lim }limits_{t to pm infty } fleft( t right) = mathop {lim }limits_{t to pm infty } left( {1 – frac{{frac{2}{t}}}{{1 + frac{1}{t} + frac{1}{{{t^2}}}}}} right) = 1$
+) minS = 1/3, đạt được khi và chỉ khi
$left{ begin{array}{l}frac{x}{y} = 1\{x^2} + xy + {y^2} = 1end{array} right. leftrightarrow left[ begin{array}{l}left( {x;y} right) = left( {frac{1}{{sqrt 3 }};frac{1}{{sqrt 3 }}} right)\left( {x;y} right) = left( { – frac{1}{{sqrt 3 }}; – frac{1}{{sqrt 3 }}} right)end{array} right.$
+) max S = 3. Đạt được khi và chỉ khi
$left{ begin{array}{l}frac{x}{y} = – 1\{x^2} + xy + {y^2} = 1end{array} right. leftrightarrow left[ begin{array}{l}left( {x;y} right) = left( {1; – 1} right)\left( {x;y} right) = left( { – 1;1} right)end{array} right.$

Ví dụ 6. [ĐHB09] Cho x, y thỏa mãn ${left( {x + y} right)^3} + 4xy ge 2$. Tìm GTNN của
$A = 3left( {{x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2}} right) – 2left( {{x^2} + {y^2}} right) + 1$.

Giải

Áp dụng bất đẳng thức $left( {{a^2} + {b^2} + ab} right) ge frac{3}{4}{left( {a + b} right)^2}$ với $a = {x^2},b = {y^2}$ ta được
$left( {{x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2}} right) ge frac{3}{4}{left( {{x^2} + {y^2}} right)^2} to A ge frac{9}{4}{left( {{x^2} + {y^2}} right)^2} – 2left( {{x^2} + {y^2}} right) + 1$Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức $4xy le {left( {x + y} right)^2}$, ta có
${left( {x + y} right)^3} + {left( {x + y} right)^2} ge 2 leftrightarrow left( {x + y – 1} right)left[ {{{left( {x + y} right)}^2} + 2left( {x + y} right) + 2} right] ge 0 leftrightarrow x + y ge 1$
(do ${left( {x + y} right)^2} + 2left( {x + y} right) + 2 = {left( {x + y + 1} right)^2} + 1 > 0$ ∀x, ).
Đặt $t = {x^2} + {y^2} to left{ begin{array}{l}t ge frac{{{{left( {x + y} right)}^2}}}{2} = frac{1}{2}\A ge fleft( t right) = frac{9}{4}{t^2} – 2t + 1end{array} right.$
Xét hàm $fleft( t right) = frac{9}{4}{t^2} – 2t + 1;,t ge frac{1}{2}$. Ta có $f’left( t right) = frac{9}{2}t – 2 > 0;,forall t ge frac{1}{2}$ đồng biến trên $left[ {frac{1}{2}; + infty } right) to fleft( t right) ge fleft( {frac{1}{2}} right) = frac{9}{{16}};,forall t ge frac{1}{2}$
Như vậy S ≥ 9/16, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
$left{ begin{array}{l}x = y\{x^2} + {y^2} = frac{1}{2}end{array} right. leftrightarrow left[ begin{array}{l}left( {x;y} right) = left( {frac{1}{2};frac{1}{2}} right)\left( {x;y} right) = left( { – frac{1}{2}; – frac{1}{2}} right)end{array} right.$
Vậy min S = 9/16, đạt được $ leftrightarrow left[ begin{array}{l}left( {x;y} right) = left( {frac{1}{2};frac{1}{2}} right)\left( {x;y} right) = left( { – frac{1}{2}; – frac{1}{2}} right)end{array} right.$

Ví dụ 7. [ĐHB12] Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 0 và ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = {x^5} + {y^5} + {z^5}$.

Giải

Từ x + y + z = 0 suy ra z = – (x + y), thay z = – (x + y) vào đẳng thức thứ hai của giả thiết, ta được
$1 = {x^2} + {y^2} + {left( {x + y} right)^2} = 2{left( {x + y} right)^2} – 2xy ge 2{left( {x + y} right)^2} – frac{1}{2}{left( {x + y} right)^2} = frac{3}{2}{left( {x + y} right)^2}$
Do đó, nếu đặt t = x + y thì ta có
$frac{3}{2}{t^2} le 1 leftrightarrow t in left[ { – frac{{sqrt 6 }}{3};frac{{sqrt 6 }}{3}} right],,xy = frac{{2{t^2} – 1}}{2}$
Biến đổi $begin{array}{l}P = {x^5} + {y^5} – {left( {x + y} right)^5}\ = left( {{x^3} + {y^3}}right)left( {{x^2} + {y^2}} right) – {x^2}{y^2}left( {x + y} right) – {left( {x + y} right)^5}\ = left[ {{t^3} – 3 cdot frac{{2{t^2} – 1}}{2} cdot t} right]left[ {{t^2} – 2 cdot frac{{2{t^2} – 1}}{2}} right] – {left({frac{{2{t^2} – 1}}{2}} right)^2}t – {t^5}\ = – frac{5}{4}left( {2{t^3} – t} right)end{array}$
Xét hàm $fleft( t right) = – frac{5}{4}left( {2{t^3} – t} right)$, với $t in left[ { – frac{{sqrt 6 }}{3};frac{{sqrt 6 }}{3}} right]$. Ta có $f’left( t right) = – frac{5}{4}left( {6{t^2} – 1} right)$ có hai nghiệm là $t = pm frac{{sqrt 6 }}{6} in left[ { – frac{{sqrt 6 }}{3};frac{{sqrt 6 }}{3}} right]$.
Ta có: $fleft( { – frac{{sqrt 6 }}{3}} right) = frac{{5sqrt 6 }}{{36}};,fleft( { – frac{{sqrt 6 }}{6}} right) = – frac{{5sqrt 6 }}{{36}};,fleft( {frac{{sqrt 6 }}{6}} right) = frac{{5sqrt 6 }}{{36}};,fleft( {frac{{sqrt 6 }}{3}} right) = – frac{{5sqrt 6 }}{{36}}$
Vậy $min P = – frac{{5sqrt 6 }}{{36}}$, đạt được chẳng hạn khi $x = y = frac{{sqrt 6 }}{6};,z = – frac{{sqrt 6 }}{3}$

Ví dụ 8. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z $ le $1,5. Tìm GTNN của biểu thức
$S = {x^2} + {y^2} + {z^2} + frac{1}{{{x^2}y}} + frac{1}{{{y^2}z}} + frac{1}{{{z^2}x}}$.

Giải

Đặt $t = sqrt[3]{{xyz}}$. Ta có t > 0 và
$frac{3}{2} ge x + y + z ge 3sqrt[3]{{xyz}} to t le frac{1}{2}$
Suy ra $t in left( {0;frac{1}{2}} right]$.
Lại có
${x^2} + {y^2} + {z^2} ge 3sqrt[3]{{{x^2}{y^2}{z^2}}} = 3{t^2};frac{1}{{{x^2}y}} + frac{1}{{{y^2}z}} + frac{1}{{{z^2}x}} ge 3sqrt[3]{{frac{1}{{{x^2}y}} cdot frac{1}{{{y^2}z}} cdot frac{1}{{{z^2}x}}}} = frac{3}{{xyz}} = frac{3}{{{t^3}}}, to S ge 3left( {{t^2} + frac{1}{{{t^3}}}} right)$
Xét hàm $fleft( t right) = {t^2} + frac{1}{{{t^3}}}$ với $t in left( {0;frac{1}{2}} right]$. Ta có $f’left( t right) = 2t – frac{3}{{{t^4}}} = frac{{2{t^5} – 3}}{{{t^4}}} < 0;,forall t in left( {0;frac{1}{2}} right]$, suy ra f nghịch biến trên $left( {0;frac{1}{2}} right]$. Vậy $min S = 3fleft( {frac{1}{2}} right) = frac{{99}}{4}$, đạt được khi và chỉ khi
$left{ begin{array}{l}x = y = z\sqrt[3]{{xyz}} = frac{1}{2}end{array} right. leftrightarrow x = y = z = frac{1}{2}$

Ví dụ 9. [ĐHA03] Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z $ le $ 1. Chứng minh rằng:
$sqrt {{x^2} + frac{1}{{{x^2}}}} + sqrt {{y^2} + frac{1}{{{y^2}}}} + sqrt {{z^2} + frac{1}{{{z^2}}}} ge sqrt {82} $.
Giải.
Xét $overrightarrow a left( {x;frac{1}{x}} right);overrightarrow b left( {y;frac{1}{y}} right);,,overrightarrow c left( {z;frac{1}{z}} right)$ ta có $overrightarrow a + overrightarrow b + overrightarrow c = left( {x + y + z;frac{1}{x} + frac{1}{y} + frac{1}{z}} right)$.
Từ $left| {overrightarrow a } right| + left| {overrightarrow b } right| + left| {overrightarrow c } right|, ge ,left| {overrightarrow a + overrightarrow b + overrightarrow c } right|$ suy ra
$sqrt {{x^2} + frac{1}{{{x^2}}}} + sqrt {{y^2} + frac{1}{{{y^2}}}} + sqrt {{z^2} + frac{1}{{{z^2}}}} ge ,sqrt {{{left( {x + y + z} right)}^2} + {{left( {frac{1}{x} + frac{1}{y} + frac{1}{z}} right)}^2}} $
Đến đây ta có hai cách đi tiếp:
Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
$x + y + z ge 3sqrt[3]{{xyz}};,frac{1}{x} + frac{1}{y} + frac{1}{z} ge 3sqrt[3]{{frac{1}{{xyz}}}}$
Do đó
$VTleft( 1 right) ge sqrt {9t + frac{9}{t}} $, với $t = {left( {sqrt[3]{{xyz}}} right)^2}$.
Ta có
$0 < t le {left( {frac{{x + y + z}}{3}} right)^2} le frac{1}{9}$.
Xét $fleft( t right) = 9t + frac{9}{t}$ với $t in left( {0;frac{1}{9}} right]$. Ta có
$f’left( t right) = 9 – frac{9}{{{t^2}}} < 0;,forall t in left( {0;frac{1}{9}} right] to fleft( x right)$ nghịch biến trên $left( {0;frac{1}{9}} right]$.
$fleft( t right) ge fleft( {frac{1}{9}} right) = 82 to VTleft( 1 right) ge sqrt {f(t)} ge sqrt {82} $ (ĐPCM).
Cách 2. ${left( {x + y + z} right)^2} + {left( {frac{1}{x} + frac{1}{y} + frac{1}{z}} right)^2} = 81{left( {x + y + z} right)^2} + {left( {frac{1}{x} + frac{1}{y} + frac{1}{z}} right)^2} – 80{left( {x + y + z} right)^2}$
$ge 2sqrt {81{{left( {x + y + z} right)}^2}{{left( {frac{1}{x} + frac{1}{y} + frac{1}{z}} right)}^2}} – 80{left( {x + y + z} right)^2}$
$ ge 18left( {x + y + z} right)left( {frac{1}{x} + frac{1}{y} + frac{1}{z}} right) – 80{left( {x + y + z} right)^2} ge 18.9–80 = 82$

C. Bài tập rèn luyện

  1. [ĐHD09] Cho x, y ≥ 0 thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTLN, GTNN của $S = left( {4{x^2} + 3y} right)left( {4{y^2} + 3x} right) + 25xy$.
  2. Cho x, y ≥ 0 thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTLN, GTNN của $S = frac{x}{{y + 1}} + frac{y}{{x + 1}}$.
  3. Cho x, y ≥ 0 thỏa mãn x + y = 1. Tìm GTLN, GTNN của $S = left( {{x^2} – 1} right)left( {{y^2} – 1} right) – sqrt {{x^2} + {y^2} + 1} $.
  4. Cho x, y ≥ 0 thỏa mãn x + y + xy = 3. Tìm GTLN, GTNN của $S = frac{x}{{x + 2}} + frac{y}{{y + 2}} + frac{6}{{x + y + 1}}$.
  5. Cho x, y thỏa mãn ${x^2} + {y^2} = 1 + xy$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức $S = {x^4} + {y^4} – x{}^2{y^2}$.
  6. Cho x, y thỏa mãn ${x^2} + {y^2} = 1$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức $S = sqrt {1 + x} + sqrt {1 + y} $.
  7. [ĐHD12] Cho x, y thỏa mãn ${left( {x – 4} right)^2} + {left( {y – 4} right)^2} + 2xy le 32$. Tìm GTNN của $A = {x^3} + {y^3} + 3left( {xy – 1} right)left( {x + y – 2} right)$.
  8. [ĐHA06] Cho x ≠ 0, y ≠ 0 thỏa mãn $left( {x + y} right)xy = {x^2} + {y^2} – xy$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = frac{1}{{{x^3}}} + frac{1}{{{y^3}}}$.
  9. [ĐHB08] Cho x, y thỏa mãn ${x^2} + {y^2} = 1$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức $P = frac{{2left( {{x^2} + 6xy} right)}}{{1 + 2xy + 2{y^2}}}$.
  10. Cho x, y thỏa mãn ${x^2} + {y^2} + xy = 1$. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức $S = {x^2} + 2xy – {y^2}$.
  11. Cho x, y thỏa mãn $2{x^2} + {y^2} + xy ge 1$. Tìm GTNN của biểu thức $S = {x^2} + {y^2}$.
  12. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn $x + y + z le frac{3}{2}$. Tìm GTNN của biểu thức $S = x + y + z + frac{1}{x} + frac{1}{y} + frac{1}{z}$.
  13. [ĐHB10] Cho a, b, c ≥ 0 thỏa mãn a + b + c =1. Tìm GTNN của biểu thức $M = 3left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} right) + 3left( {ab + bc + ca} right) + 2sqrt {{a^2} + {b^2} + {a^2}} $.
  14. Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z ≤ 3/2. Tìm GTNN của biểu thức $P = frac{x}{{{y^2}z}} + frac{y}{{{z^2}x}} + frac{x}{{{x^2}y}} + frac{{{x^5}}}{y} + frac{{{y^5}}}{z} + frac{{{z^5}}}{x}$.
 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button