Kiến thức

Toán 12-Tính chẵn lẻ của hàm số

Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) xác định trên tập D.
+ Hàm f(x) gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc D, ta luôn có f(x) = f(-x)

+ Hàm f(x) gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc D, ta luôn có f(x) = -f(-x)

Nếu không thỏa mãn hai điều trên thì f(x) không chẵn cũng không lẻ.

Tính chất: 2 tính chất quan trọng cần phải nhớ về đồ thị hàm chẵn lẻ:

+ Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
Đây là điểm mấu chốt quan trọng để làm nhiều bài toán vận dụng cao về đồ thị.

Phương pháp xét tính chẵn lẻ:
Từ định nghĩa ta suy ra rất đơn giản: tính f(-x) . Và so sánh xem có bằng f(x) hoặc -f(x) hay không, rồi kết luận.

Ngoài ra, từ câu điều kiện: “với mọi x thuộc D”, ta cũng có thể suy ra ngay : nếu tập D không đối xứng ( nói ngắn gọn của việc với x thuộc D thì -x cũng thuộc D ), thì mặc định là hàm số không chẵn không lẻ.

Ví dụ tập D = (-1;3) thì không đối xứng, nếu ta lấy x=2 thì -x=-2 không thuộc D, không thỏa mãn.
Tập D=(-5;5), hay D=R….. là các tập đối xứng.

Ví dụ :

Xét tính chẵn lẻ :
1) [tex]f(x)=frac{x^3}{|x|-1}[/tex]

Ta có tập xác định D=R{-1;1} nên tập D có sự đối xứng.
[tex]f(-x)=frac{-x^3}{|-x|-1}=frac{-x^3}{|x|-1}=f-(x)[/tex]

Vậy hàm f(x) là hàm lẻ.
2) [tex]f(x)=sinx.tanx[/tex]
Tập xác định D có sự đối xứng.
Ta có: [tex]f(-x)=sin(-x).tan(-x)=(-1)sinx.(-1)tanx=sinx.tanx=f(x)[/tex]
Vậy hàm f(x) là hàm chẵn.

3) [tex]f(x)= x^2-3x+1[/tex]
Tập xác định D=R
Ta có: [TEX]f(-x)=(-x)^2-3(-x)+1=x^2+3x+1 neq f(x)[/TEX]
Vậy hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Bài tập mức độ vận dụng:

Bài 1: Tìm m để hàm số: [tex]f(x)=frac{x^2-1+(m^2-16)x}{sqrt{x^2+2}-m}[/tex] là hàm số chẵn.

Lời giải: ĐKXĐ: [TEX]sqrt{x^2+2}-m neq 0 [/TEX]

Ta thấy với mọi x thỏa mãn ĐKXĐ thì -x cũng thỏa mãn ĐKXĐ, nên TXĐ D luôn có sự đối xứng với mọi m

Để f(x) là hàm chẵn, ta phải có f(x)=f(-x)

<=> [tex]frac{(-x)^2-1+(m^2-16)(-x)}{sqrt{(-x)^2+2}-m}=frac{x^2-1+(m^2-16)x}{sqrt{x^2+2}-m}[/tex]

<=> [tex]frac{x^2-1-(m^2-16)x}{sqrt{x^2+2}-m}=frac{x^2-1+(m^2-16)x}{sqrt{x^2+2}-m}[/tex]

<=> [tex]frac{(m^2-16)x}{sqrt{x^2+2}-m}=frac{-(m^2-16)x}{sqrt{x^2+2}-m}[/tex]

<=>[tex](m^2-16)x=-(m^2-16)x<=>2x(m^2-16)=0<=>m=4;m=-4[/tex]

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.

Bài 2 : Tìm m để đồ thị hàm số sau nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng: [TEX]y=x^3+3(m^2-1)x^2+mx+m-1[/TEX]

Lời giải: đồ thị nhận gốc O làm tâm đối xứng chỉ khi hàm f(x) là hàm lẻ.

Như vậy ta phải tìm m sao cho f(x) là hàm lẻ

Tập xác định: R

Ta có: [tex]f(x)=-f(-x)[/tex] <=> [tex]-(x^3+3(m^2-1)x^2+mx+m-1)=(-x)^3+3(m^2-1)(-x)^2+m(-x)+m-1[/tex]

<=>[tex]6(m^2-1)x^2+2(m-1)=0<=>left{begin{matrix} m^2-1=0\ m-1=0 end{matrix}right.[/tex]

<=>m=1

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button