Kiến thức

Tính thể tích vật thể tròn xoay dạng 2

Phương pháp: Ta có hai dạng sau:
+ Dạng 1: Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền $left( D right)$ giới hạn bởi $y = fleft( x right)$, $y = gleft( x right)$, $x = a$, $x = b$ quay quanh trục $Ox$: $V = pi intlimits_a^b {left| {{f^2}(x) – {g^2}(x)} right|dx} .$
+ Dạng 2: Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi miền $left( D right)$ giới hạn bởi $x = fleft( y right)$, $x = gleft( y right)$, $y = a$, $y = b$ quay quanh trục $Oy$: $V = pi intlimits_a^b {left| {{f^2}(y) – {g^2}(y)} right|dy} .$

Ví dụ 5: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi:
a. Quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = {x^2}$ và $y = 2 – {x^2}.$
b. Quay quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = x$ và $y = 2 – {x^2}.$

a. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
${x^2} = 2 – {x^2}$ $ Leftrightarrow {x^2} = 1$ $ Leftrightarrow x = pm 1.$
Thể tích vật tròn xoay cần tính là:
$V = pi intlimits_{ – 1}^1 {left| {{x^4} – {{(2 – {x^2})}^2}} right|dx} $ $ = pi intlimits_{ – 1}^1 {left| {4{x^2} – 4} right|dx} $ $ = 4pi intlimits_{ – 1}^1 {(1 – {x^2})dx} $ $ = 4pi left( {x – frac{{{x^3}}}{3}} right)left| {_{ – 1}^1} right.$ $ = frac{{16pi }}{3}.$
b. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
$x = 2 – {x^2}$ $ Leftrightarrow {x^2} + x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = 1 Rightarrow y = 1\
x = -2 Rightarrow y = -2
end{array} right.$
Thể tích vật thể được cho bởi:
$V = pi intlimits_{ – 2}^1 {left| {{y^2} – left( {2 – y} right)} right|dy} $ $ = frac{9}{2}pi .$

Ví dụ 6: Cho hình tròn $left( C right)$ tâm $Ileft( {0;2} right)$, bán kính $R = 1$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi:
a. Quay $left( C right)$ quanh trục $Ox$.
b. Quay $left( C right)$ quanh trục $Oy$.

Đường tròn $(C)$ có phương trình: $left( C right):{x^2} + {(y – 2)^2} = 1.$

Tính thể tích vật thể tròn xoay dạng 2.png

a. Ta có:
Ta chia đường tròn $(C)$ thành $2$ đường cong như sau:
+ Nửa $left( C right)$ ở trên ứng với $2 le y le 3$ có phương trình: $y = {f_1}left( x right) = 2 + sqrt {1 – {x^2}} $ với $x in left[ { – 1;{rm{ }}1} right]$.
+ Nửa $left( C right)$ ở dưới ứng với $1 le y le 2$ có phương trình: $y = {f_2}left( x right) = 2 – sqrt {1 – {x^2}} $ với $x in left[ { – 1;{rm{ }}1} right]$.
Khi đó, thể tích vật thể tròn xoay cần tính được sinh bởi hình tròn $(C)$ giới hạn bởi các đường: $y = {f_1}left( x right) = 2 + sqrt {1 – {x^2}} $, $y = {f_2}left( x right) = 2 – sqrt {1 – {x^2}} $, $x = -1$, $x = 1$ quay quanh $Ox$ được tính theo công thức: $V = pi intlimits_{ – 1}^1 {left| {f_1^2left( x right) – f_2^2left( x right)} right|} dx$ $ = 8pi intlimits_{ – 1}^1 {sqrt {1 – {x^2}} } dx$ $ = 4{pi ^2}.$
b. Khi quay $left( C right)$ quanh trục $Oy$ ta nhận được khối tròn xoay chính là hình cầu bán kính $R = 1$, do đó: $V = frac{4}{3}pi {R^3}$ $ = frac{4}{3}pi .$

Ví dụ 7: Tính thể tích vật thể tạo bởi hình elip $left( E right):frac{{{{left( {x – 4} right)}^2}}}{4} + frac{{{y^2}}}{{16}} le 1$ quay quanh trục $Oy.$

Elip $left( E right)$ có tâm $Ileft( {4,0} right)$, trục lớn có độ dài $2a = 8$, trục nhỏ có độ dài $2b = 4.$

Tính thể tích vật thể tròn xoay dạng 2.png

Ta chia đường biên của elip $(E)$ thành $2$ đường cong như sau:
+ Nửa biên $left( E right)$ ứng với $2 le x le 4$ có phương trình: $x = {f_1}left( y right) = 4 – 2sqrt {1 – frac{{{y^2}}}{{16}}} $ với $y in left[ { – 4;4} right].$
+ Nửa biên $left( E right)$ ứng với $4 le x le 6$ có phương trình: $x = {f_2}left( y right) = 4 + 2sqrt {1 – frac{{{y^2}}}{{16}}} $ với $y in left[ { – 4;4} right].$
Thể tích vật thể tròn xoay cần tính được sinh bởi miền $E$ giới hạn bởi các đường: $x = {f_1}left( y right) = 4 – 2sqrt {1 – frac{{{y^2}}}{{16}}} $, $x = {f_2}left( y right) = 4 + 2sqrt {1 – frac{{{y^2}}}{{16}}} $, $y = -4$, $y = 4$ quay quanh trục $Oy$ được tính theo công thức:
$V = pi intlimits_{ – 4}^4 {left( {f_2^2(y) – f_1^2(y)} right)} dy$ $ = 32pi intlimits_{ – 4}^4 {sqrt {1 – frac{{{y^2}}}{{16}}} } dy$ $ = 64{pi ^2}.$

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button