Kiến thức

Toán 12-Tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp tạo bình phương

* Lý thuyết:
+ Với hàm f(x) bất kì liên tục trên [a;b] ( [a;b] là đoạn mà ta sẽ lấy tích phân ), ta có [tex]f^2(x)geq 0[/tex], với mọi x thuộc [a;b] nên [tex]int_{a}^{b}f^2(x)dxgeq 0[/tex]. Dấu “=” khi và chỉ khi f(x)=0.

+ Vận dụng: từ lý thuyết trên, ta cố gắng biến đổi giả thiết đề cho, về dạng: [tex]int_{a}^{b}(f(x)-g(x))^2dx=0[/tex] , với [TEX]g(x)[/TEX] là một hàm tường minh. Từ đó ta suy ra f(x) = g(x). Ta sẽ có f(x) tường minh để tính nguyên hàm.

* Bài tập :
1.
Cho hàm f(x) liên tục, có đạo hàm trên [3;6], thỏa mãn: [tex]int_{3}^{6}f^2(x)dx=63,int_{3}^{6}xf(x)dx=63[/tex] . Tính [tex]I=int_{3}^{6}f(x)dx[/tex]

Giải: ta kì vọng biến đổi về dạng: [tex]int_{3}^{6}(f(x)-g(x))^2dx=0<=>int_{3}^{6}f^2(x)dx-int_{3}^{6}2f(x)g(x)dx+int_{3}^{6}g^2(x)dx=0[/tex]

Ở đề ta đã có [TEX]int_{3}^{6}xf(x)dx=63<=>int_{3}^{6}2xf(x)dx=126[/TEX]., như vậy ta dự đoán [TEX]g(x)=x[/TEX], vậy ta có : [tex]int_{3}^{6}g^2(x)dx=[/tex] [tex]int_{3}^{6}x^2dx[/tex]

+ Tính được : [tex]int_{3}^{6}x^2dx=63[/tex]
=>[tex]int_{3}^{6}f^2(x)-2int_{3}^{6}xf(x)dx+int_{3}^{6}x^2dx=63-126+63=0[/tex]
<=>[tex]int_{3}^{6}(f(x)-x)^2dx=0<=>f(x)=x[/tex]

Vậy [tex]I=int_{3}^{6}f(x)dx=int_{3}^{6}xdx=27/2[/tex]

2. Cho hàm f(x) liên tục, có đạo hàm trên [3,4] thỏa mãn [tex]int_{3}^{4}f^2(x)dx=frac{7029}{5}[/tex],
[tex]int_{3}^{4}f(x)x^2dx=frac{2343}{5}[/tex]. Tính [tex]I=int_{3}^{4}f(x)dx[/tex] .

Giải: tương tự với suy nghĩ ở bài 1, ta đoán là [TEX]f(x)=x^2[/TEX], do đó ta tính:
[tex]int_{3}^{4}g^2(x)dx=int_{3}^{4}x^4dx=frac{781}{5}[/tex]

Tuy nhiên khi cộng vào thì lại không hợp bằng 0:
[tex]int_{3}^{4}f^2(x)dx-2int_{3}^{4}f(x)x^2dx+int_{3}^{4}x^4dx=frac{7029}{5}-2.frac{2343}{5}+frac{781}{5}neq 0[/tex]

Vậy ta cần phải nghĩ lại, [TEX]f(x)=ax^2[/TEX], với hệ số a tùy ý và cần tìm ra nó, chứ không nhất thiết a=1.

+ Tìm a: [tex]int_{3}^{4}(f(x)-ax^2)^2dx=0<=>int_{3}^{4}f^2(x)dx-2aint_{3}^{4}f(x)x^2dx+int_{3}^{4}a^2x^4dx=0[/tex]

<=>[tex]frac{7029}{5}-2a.frac{2343}{5}+a^2.frac{781}{5}=0<=>a^2-6a+9=0<=>a=3[/tex]

=> [TEX]f(x)=3x^2[/TEX].

+ Chú ý: nếu trong 1 bài toán tự luận, ta không viết bước tìm a, mà tìm ra nháp. Còn khi viết vào thì chỉ viết thẳng: [tex]int_{3}^{4}(f^2(x)-6f(x)x^2+9x^2)dx=0<=>f(x)=3x^2[/tex]

Vậy [tex]I=int_{3}^{4}3x^2dx=37[/tex]

3. Cho hàm f(x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn: [tex]int_{0}^{1}[f'(x)]^2dx=frac{4}{3}[/tex] , [tex]int_{0}^{1}f(x)dx=frac{1}{3}[/tex] , f(1)=1. Tính [tex]I=int_{0}^{1}f^3(x)dx[/tex]

Giải: ở bài này ta có biểu thức bình phương là : [tex][f'(x)]^2[/tex] , nhưng lại không có [tex]int_{0}^{1}f'(x).g(x)dx[/tex] trong dữ kiện, do đó ta nghĩ đến sử dụng tích phân từng phần để làm xuất hiện [TEX]f'(x)[/TEX]

+ Đặt u=f(x)=>u’=f'(x)
v’=1 chọn v = x
=>[tex]int_{0}^{1}f(x)dx=frac{1}{3}<=>xf(x)|^1_0-int_{0}^{1}xf'(x)=frac{1}{3}<=>int_{0}^{1}xf'(x)=frac{2}{3}[/tex]

( Ở trên đã dùng đến dữ kiện f(1)=1 thay vào để tính)

Vậy đến đây sử dụng phương pháp tìm a như bài 2, ta có a=2: [tex]int_{0}^{1}[f'(x)]^2-4int_{0}^{1}xf'(x)dx+int_{0}^{1}4x^2dx=frac{4}{3}-frac{8}{3}+frac{4}{3}=0[/tex]

<=>[TEX]f'(x)=2x<=>f(x)=x^2+C[/TEX]
Do f(1)=1 nên C=0 => [TEX]f(x)=x^2[/TEX]

Vậy [tex]I=int_{0}^{1}x^6dx=frac{1}{7}[/tex]

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button