Kiến thức

Trắc nghiệm về Khoảng Cách Và Góc Trong Không Gian

Câu 1:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho (A(2; – 1;6);,B( – 1;2;4);,I( – 1; – 3;2)). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ I đến (P) lớn nhất.
A. (3x + 7y – 6z + 35 = 0)
B. (3x – 7y + 6z + 35 = 0)
C. (3x + 7y + 6z – 35 = 0)
D. (- 3x + 7y + 6z – 35 = 0)

Hướng dẫn​

Ta có:
(begin{array}{l} IA = sqrt {{3^2} + {2^2} + {4^2}} = sqrt {29} \ IB = sqrt {{0^2} + {5^2} + {2^2}} = sqrt {29} end{array})
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Vì IA=IB nên (IM bot AB).
Ta có: (M = left( {frac{1}{2};frac{1}{2};5} right);IM = frac{{sqrt {94} }}{2})
[​IMG]
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P).
Nếu H, M là hai điểm phân biệt thì tam giác IHM vuông tại H, IH<IM hay (IH < frac{{sqrt {94} }}{2})
Nếu H trùng với M thì (IH = IM = frac{{sqrt {94} }}{2}).
Vậy (IH le frac{{sqrt {94} }}{2}), IH lớn nhất khi (H equiv M).
Khi đó: (P) có vectơ pháp tuyến là (overrightarrow {{n_P}} = overrightarrow {IH} = overrightarrow {IM} = left( {frac{3}{2};frac{7}{2};3} right))
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: (frac{3}{2}(x – 2) + frac{7}{2}(y + 1) + 3(z – 6) = 0)
Hay: (3x + 7y + 6z – 35 = 0)

Câu 2:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ({d_1}:frac{{x + 7}}{3} = frac{{y – 5}}{{ – 1}} = frac{{z – 9}}{4},,{d_2}:frac{x}{3} = frac{{y + 4}}{{ – 1}} = frac{{z + 18}}{4}). Tính khoảng cách giữa d1 và d2.
A. (dleft( {{d_1};{d_2}} right) = 25.)
B. (dleft( {{d_1};{d_2}} right) = 20.)
C. (dleft( {{d_1};{d_2}} right) = 15.)
D. (dleft( {{d_1};{d_2}} right) = sqrt {15} .)

Hướng dẫn​

Ta dễ dàng kiểm tra được d1 và d2 là hai đường thẳng song song, nên ta chỉ việc lấy một điểm bất kì thuộc d1, và tính khoảng cách từ điểm đó đến d2.
Gọi (M( – 7;5;9) in {d_1}), (H(0; – 4; – 18) in {d_2}).
Ta có:
(overrightarrow {MH} = left( {7; – 9; – 27} right))
(VTCP,{d_2}:overrightarrow {{u_{{d_2}}}} = left( {3; – 1;4} right),)
(Rightarrow left[ {overrightarrow {MH} ;overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } right] = ( – 63; – 109;20))
Vậy: (d({d_1};{d_2}) = d(M,{d_2}) = frac{{left| {left[ {overrightarrow {MH} ,overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } right]} right|}}{{left| {overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } right|}} = 25)

Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính số đo góc tạo bởi đường thẳng d: $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {x = 1 + 2t}\ {y = 1 + t}\ {z = – 1 + t} end{array}} right.$. và mặt phẳng $left( alpha right)$: 3x + 4y + 5z + 8 = 0.
A. (60^0)
B. (30^0)
C. (45^0)
D. (90^0)

Hướng dẫn​

Đường thẳng d có VTCP: (overrightarrow u = left( {2;1;1} right))
Mặt phẳng (left ( alpha right )) có VTPT (overrightarrow n = left( {3;4;5} right))
Gọi (varphi) là góc giữa d và (left ( alpha right )) ta có:
(sin varphi = left| {cos left( {overrightarrow u ;overrightarrow n } right)} right| = frac{{left| {overrightarrow u .overrightarrow n } right|}}{{left| {overrightarrow u } right|.left| {overrightarrow n } right|}} = frac{{sqrt 3 }}{2} Rightarrow varphi = {60^0})

Câu 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính số đo góc tạo bởi hai đường thẳng ({d_1}:left{ begin{array}{l} x = – 1 + t\ y = 2\ z = 2 + t end{array} right.) và ({d_2}:left{ begin{array}{l} x = 8 – 2t\ y = t\ z = 2t end{array} right.).
A. (45^0)
B. (60^0)
C. (30^0)
D. (90^0)

Hướng dẫn​

d1 có VTCP: (overrightarrow {{u_1}} = left( {1;0;1} right))
d2 có VTCP: (overrightarrow {{u_2}} = left( { – 2;1;2} right))
Ta có: (overrightarrow {{u_1}} .overrightarrow {{u_2}} = 0 Rightarrow {d_1} bot {d_2})
Vậy góc giữa d1 và d2 là (90^0)

Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${Delta _1}:left{ {begin{array}{*{20}{l}} {x = – 1 + t}\ {y = sqrt 2 t}\ {z = 2 + t} end{array}} right.,{mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {mkern 1mu} {Delta _2}:left{ {begin{array}{*{20}{l}} {x = 2 + t}\ {y = 1 + sqrt 2 t}\ {z = 2 + mt} end{array}} right.$ Với giá trị nào của m thì góc giữa Delta_1 và Delta_2 bằng 60$^0$?
A. m=1
B. m=-1
C. (m=frac{1}{2})
D. (m=-frac{3}{2})

Hướng dẫn​

({Delta _1}) có VTCP (overrightarrow {{u_1}} = left( {1;sqrt 2 ;1} right))
({Delta _2}) có VTCP (overrightarrow {{u_2}} = left( {1;sqrt 2 ;m} right))
Ta có:
(begin{array}{l} cos {60^0} = left| {cos left( {overrightarrow {{u_1}} ;overrightarrow {{u_2}} } right)} right| = frac{1}{2}\ Leftrightarrow frac{{left| {overrightarrow {{u_1}} .overrightarrow {{u_2}} } right|}}{{left| {overrightarrow {{u_1}} } right|.left| {overrightarrow {{u_2}} } right|}} = frac{1}{2} Leftrightarrow left| {m + 3} right| = sqrt {{m^2} + 3} Leftrightarrow m = – 1 end{array})

Câu 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ({d_1}:frac{{x + 7}}{3} = frac{{y – 5}}{{ – 1}} = frac{{z – 9}}{4},,) ({d_2}:frac{x}{3} = frac{{y + 4}}{{ – 1}} = frac{{z + 18}}{4}) . Tính khoảng cách d giữa (d_1) và (d_2).
A. d=20
B. d=25
C. d=15
D. d=30

Hướng dẫn​

(d_1) có (left{ begin{array}{l} VTCP,,,,overrightarrow {{u_1}} = left( {3; – 1;4} right)\ Qua,,,,,M( – 7;5;9) end{array} right.)
(d_2) có (left{ begin{array}{l} VTCP,,,overrightarrow {{u_2}} = left( {3; – 1;4} right)\ Qua,,,,N(0; – 4; – 18) end{array} right.)
Ta có: (overrightarrow {{u_1}} = overrightarrow {{u_2}} ,,,M notin {d_2} Rightarrow {d_1}//{d_2})
(overrightarrow {MN} = left( {7; – 9; – 27} right))
Vậy (dleft( {{d_1};{d_2}} right) = dleft( {M,{d_2}} right) = frac{{left| {left[ {overrightarrow {MN} ,overrightarrow {{u_2}} } right]} right|}}{{left| {overrightarrow {{u_2}} } right|}} = 25)

Câu 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho hai đường thẳng {d_1}:frac{{x + 1}}{1} = frac{y}{{ – 1}} = frac{{z + 2}}{3} và {d_2}:frac{{x – 5}}{{ – 2}} = frac{{y + 4}}{1} = frac{{z – 6}}{{ – 1}}. Tính khoảng cách d từ giao điểm của hai đường thẳng (d_1;d_2) đến mặt phẳng (P):y – 3x + z + 1 = 0.
A. (d = frac{{12}}{{sqrt {11} }})
B. (d =0)
C. (d = sqrt {11})
D. (d = frac{{3}}{{sqrt {11} }})

Hướng dẫn​

Phương trình thàm số của ({d_1};,{d_2}) là:
({d_1}:left{ begin{array}{l} x = t – 1\ y = – t\ z = 3t – 2 end{array} right.;,,{d_2}:left{ begin{array}{l} x = – 2t’ + 5\ y = t’ – 4\ z = – t’ + 6 end{array} right.)
Ta lập hệ phương trình: (left{ begin{array}{l} t – 1 = – 2t’ + 5\ – t = t’ – 4\ 3t – 2 = – t’ + 6 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} t = 2\ t’ = 2 end{array} right.)
Vậy giao điểm của ({d_1};,{d_2}) là I(1;-2;4)
.(Rightarrow I in left( P right) Rightarrow dleft( {I,(P)} right) = 0)

Câu 8:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${d_1}:left{ {begin{array}{*{20}{l}} {x = – 3t}\ {y = – 1 + 2t}\ {z = – 2 + t} end{array}} right.,,va,{d_2}:left{ {begin{array}{*{20}{l}} {x = t}\ {y = 3 + 4t}\ {z = 5 – 5t} end{array}} right.$. Tìm alpha là số đo góc giữa hai đường thẳng d1 và d2.
A. (alpha = {30^0})
B. (alpha = {45^0})
C. (alpha = {60^0})
D. (alpha = {90^0})

Hướng dẫn​

Đường thẳng (d_1) có VTCP: (overrightarrow {{u_1}} = ( – 3;2;1))
Đường thẳng (d_2) có VTCP: (overrightarrow {{u_2}} = (1;4; – 5))
Dễ thấy (overrightarrow {{u_1}} .overrightarrow {{u_2}} = 0)
Suy ra (d_1) và (d_1)vuông góc nhau nên (alpha = {90^0}.)

Câu 9:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm (Mleft( {1;0;0} right),Nleft( {0;2;0} right),Pleft( {0;0;3} right).) Tính khoảng cách d từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (MNP).
A. (d = frac{3}{7})
B. (d = frac{6}{7})
C. (d = frac{5}{7})
D. (d = frac{9}{7})

Hướng dẫn​

(begin{array}{l} Mleft( {1;0;0} right),Nleft( {0;2;0} right),Pleft( {0;0;3} right)\ Rightarrow left( {MNP} right):frac{x}{1} + frac{y}{2} + frac{z}{3} = 1 Leftrightarrow 6x + 3y + 2z – 6 = 0\ Rightarrow dleft( {O,MNP} right) = frac{{left| { – 6} right|}}{{sqrt {36 + 9 + 4} }} = frac{6}{7} end{array})

Câu 10:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;2;3), B(1;3;3), C(1;2;4). Chọn phát biểu đúng?
A. Tam giác ABC là tam giác đều
B. Tam giác ABC là tam giác vuông
C. Các điểm A, B, C thẳng hàng
D. Tam giác ABC là tam giác vuông cân

Hướng dẫn​

Ta có:
(begin{array}{l} A(2;2;3),B(1;3;3),C(1;2;4) Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {overrightarrow {AB} = ( – 1;1;0)}\ {overrightarrow {AC} = ( – 1;0;1)}\ {overrightarrow {BC} = (0; – 1;1)} end{array}} right.\ Rightarrow AB = BC = AC end{array})
Nên ABC là tam giác đều.

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Check Also
Close
Back to top button
444 live app 444 live 444 live app 444live kisslive kiss live yy live yylive