Kiến thức

Ứng dụng số phức giải toán khai triển, tính tổng nhị thức Niutơn

Phương pháp
Ta nhắc lại công thức khai triển nhị thức Niutơn:
${left( {a + b} right)^n} = sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n – k}}{b^k}$ $ = C_n^o{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + C_n^1{a^{n – 2}}{b^2}$ $ + … + C_n^{n – 1}a{b^{n – 1}} + C_n^n{b^n}.$
Ta lưu ý rằng $forall m in {N^*}$ thì ${i^{4m}} = 1$, ${i^{4m + 1}} = i$, ${i^{4m + 2}} = – 1$, ${i^{4m + 3}} = – i.$

Các ví dụ điển hình thường gặp
Ví dụ 1.
Tính tổng:
a. ${S_1} = 1 – C_n^2 + C_n^4 – C_n^6 + … .$
b. ${S_2} = C_n^1 – C_n^3 + C_n^5 – C_n^7 + … .$

Ta có:
${left( {1 + i} right)^n}$ $ = 1 + C_n^1i + C_n^2{i^2} + … + C_n^n{i^n}$
$ = left( {1 – C_n^2 + C_n^4 – C_n^6 + …} right)$ $ + ileft( {C_n^1 – C_n^3 + C_n^5 – C_n^7 + …} right) (1).$
${left( {1 + i} right)^n}$ $ = sqrt {{2^n}} c{rm{os}}frac{{npi }}{4} + isqrt {{2^n}} {rm{sin}}frac{{npi }}{4} (2).$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra:
${{rm{S}}_1} = sqrt {{2^n}} c{rm{os}}frac{{npi }}{4}.$
${S_2} = sqrt {{2^n}} {rm{sin}}frac{{npi }}{4}.$

Ví dụ 2. Chứng minh rằng: $C_{100}^0 – C_{100}^2 + C_{100}^4 – C_{100}^6$ $ + … – C_{100}^{98} + C_{100}^{100} = – {2^{50}}.$

${left( {1 + i} right)^{100}}$ $ = C_{100}^0 + C_{100}^1i + C_{100}^2{i^2} + … + C_{100}^{100}{i^{100}}$
$ = left( {C_{100}^0 – C_{100}^2 + C_{100}^4 – … + C_{100}^{100}} right)$ $ + left( {C_{100}^1 – C_{100}^3 + C_{100}^5 + … – C_{100}^{99}} right)i.$
${left( {1 + i} right)^2} = 2i$ $ Rightarrow {left( {1 + i} right)^{100}} = {left( {2i} right)^{50}} = – {2^{50}}.$
Vậy: $C_{100}^0 – C_{100}^2 + C_{100}^4 – … + C_{100}^{100} = – {2^{50}}.$

Ví dụ 3. Tính các tổng sau:
$A = C_{15}^0 – 3C_{15}^2 + 5C_{15}^4 – 7C_{15}^6$ $ + …. + 13C_{15}^{12} – 15C_{15}^{14}.$
$B = 2C_{15}^1 – 4C_{15}^3 + 6C_{15}^5 – 8C_{15}^7$ $ + …. + 14C_{15}^{13} – 16C_{15}^{15}.$

Xét khai triển:
${left( {1 + x} right)^{15}}$ $ = C_{15}^0 + C_{15}^1x + C_{15}^2{x^2} + C_{15}^3{x^3}$ $ + … + C_{15}^{12}{x^{12}} + C_{15}^{13}{x^{13}} + C_{15}^{14}{x^{14}} + C_{15}^{15}{x^{15}}$
$ Rightarrow x{left( {1 + x} right)^{15}}$ $ = C_{15}^0x + C_{15}^1{x^2} + C_{15}^2{x^3} + C_{15}^3{x^4}$ $ + … + C_{15}^{12}{x^{13}} + C_{15}^{13}{x^{14}} + C_{15}^{14}{x^{15}} + C_{15}^{15}{x^{16}}.$
Lấy đạo hàm hai vế:
${left( {1 + x} right)^{15}} + 15x{left( {1 + x} right)^{14}}$
$ = C_{15}^0 + 2C_{15}^1x + 3C_{15}^2{x^2} + 4C_{15}^3{x^3}$ $ + … + 13C_{15}^{12}{x^{12}} + 14C_{15}^{13}{x^{13}}$ $ + 15C_{15}^{14}{x^{14}} + 16C_{15}^{15}{x^{15}}.$
Thay $x$ bởi $i$ ta được:
${left( {1 + i} right)^{15}} + 15i{left( {1 + i} right)^{14}}$ $ = C_{15}^0 + 2C_{15}^1i + 3C_{15}^2{i^2} + 4C_{15}^3{i^3}$ $ + … + 13C_{15}^{12}{i^{12}} + 14C_{15}^{13}{i^{13}}$ $ + 15C_{15}^{14}{i^{14}} + 16C_{15}^{15}{i^{15}}$
= (${C_{15}^0 – 3C_{15}^2 + 5C_{15}^4 – 7C_{15}^6}$ ${ + …. + 13C_{15}^{12} – 15C_{15}^{14}}$) + (${2C_{15}^1 – 4C_{15}^3 + 6C_{15}^5 – 8C_{15}^7}$ ${ + …. + 14C_{15}^{13} – 16C_{15}^{15}}$)$i.$
Mặt khác:
${left( {1 + i} right)^{15}} + 15i{left( {1 + i} right)^{14}}$ $ = sqrt {{2^{15}}} {left( {c{rm{os}}frac{pi }{4} + {rm{i}}sin frac{pi }{4}} right)^{15}}$ $ + 15isqrt {{2^{14}}} {left( {c{rm{os}}frac{pi }{4} + {rm{i}}sin frac{pi }{4}} right)^{14}}$
$ = sqrt {{2^{15}}} left( {frac{{sqrt 2 }}{2} – frac{{sqrt 2 }}{2}i} right) + 15i{.2^7}left( { – i} right)$ $ = {2^7} – {2^7}i + {15.2^7}$ $ = {16.2^7} – {2^7}i = {2^{11}} – {2^7}i.$
Vậy:
$A = C_{15}^0 – 3C_{15}^2 + 5C_{15}^4 – 7C_{15}^6$ $ + …. + 13C_{15}^{12} – 15C_{15}^{14} = {2^{11}}.$
$B = 2C_{15}^1 – 4C_{15}^3 + 6C_{15}^5 – 8C_{15}^7$ $ + …. + 14C_{15}^{13} – 16C_{15}^{15} = – {2^7}.$

Ví dụ 4. Chứng minh rằng:
${S_1} = C_n^0 – C_n^2 + C_n^4 – C_n^6 + C_n^8 – …$ $ = {left( {sqrt 2 } right)^n}cos frac{{npi }}{4}.$
${S_2} = C_n^1 – C_n^3 + C_n^5 – C_n^7 + C_n^9 – …$ $ = {left( {sqrt 2 } right)^n}sin frac{{npi }}{4}.$

Xét khai triển nhị thức Newton:
${left( {1 + i} right)^n}$ $ = C_n^0 + iC_n^1 + {i^2}C_n^2 + {i^3}C_n^3 + {i^4}C_n^4$ $ + … + {i^{n – 1}}C_n^{n – 1} + {i^n}C_n^n.$
Vì ${i^k} = left{ begin{array}{l}
1, (k = 4m)\
i, (k = 4m + 1)\
– 1, (k = 4m + 2)\
– i, (k = 4m + 3)
end{array} right.$ với $m in {{rm Z}^ + }$, nên ta có:
${left( {1 + i} right)^n}$ $ = C_n^0 – C_n^2 + C_n^4 – …$ $ + ileft( {C_n^1 – C_n^3 + C_n^5 – ….} right).$
Mặt khác, theo công thức Moivre thì:
${left( {1 + i} right)^n}$ $ = {left( {sqrt 2 } right)^n}{left( {cos frac{pi }{4} + isin frac{pi }{4}} right)^n}$ $ = {left( {sqrt 2 } right)^n}left( {cos frac{{npi }}{4} + isin frac{{npi }}{4}} right).$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 5. Tính tổng $S = frac{1}{2}C_{2n}^1 – frac{1}{4}C_{2n}^3 + frac{1}{6}C_{2n}^5 – frac{1}{8}C_{2n}^7 + …$

Chú ý rằng $frac{1}{{2k}}C_{2n}^{2k – 1} = frac{1}{{2n + 1}}C_{2n + 1}^{2k}$ nên:
$S = frac{1}{2}C_{2n}^1 – frac{1}{4}C_{2n}^3 + frac{1}{6}C_{2n}^5 – frac{1}{8}C_{2n}^7 + …$
$ = frac{1}{{2n + 1}}C_{2n + 1}^2 – frac{1}{{2n + 1}}C_{2n + 1}^4$ $ + frac{1}{{2n + 1}}C_{2n + 1}^6 – frac{1}{{2n + 1}}C_{2n + 1}^8 + …$
$ = frac{1}{{2n + 1}}$.$left( {C_{2n + 1}^2 – C_{2n + 1}^4 + C_{2n + 1}^6 – C_{2n + 1}^8 + …} right).$
Vì ${left( {1 + i} right)^{2n + 1}}$ $ = left( {C_{2n + 1}^0 – C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 – …} right)$ $ + ileft( {C_{2n + 1}^1 – C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5 – …} right).$
Và ${left( {1 + i} right)^{2n + 1}}$ $ = {left( {sqrt 2 } right)^{2n + 1}}$ $left( {cos frac{{2n + 1}}{4}pi + isin frac{{2n + 1}}{4}pi } right)$ nên:
$C_{2n + 1}^0 – C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 – C_{2n + 1}^6$ $ + … = {left( {sqrt 2 } right)^{2n + 1}}cos frac{{2n + 1}}{4}pi .$
Vậy ta có $S = frac{1}{{2n + 1}}$ $left[ {1 – {{left( {sqrt 2 } right)}^{2n + 1}}cos frac{{2n + 1}}{4}pi } right].$

Ví dụ 6. Tính tổng: $(n in {{rm Z}^ + }).$
$A = C_n^0cos a + C_n^1cos 2a + C_n^2cos 3a$ $ + … + C_n^{n – 1}cos na + C_n^ncos (n + 1)a.$
$B = C_n^0sin a + C_n^1sin 2a + C_n^2sin 3a$ $ + … + C_n^{n – 1}sin na + C_n^nsin (n + 1)a.$

Đặt $z = cos a + isin a$ thì ${z^n} = cos na + isin na.$
Do đó ta có:
$A + iB = C_n^0left( {cos a + isin a} right)$ $ + C_n^1left( {cos 2a + isin 2a} right)$ $ + C_n^2left( {cos 3a + isin 3a} right)$
$ + … + C_n^{n – 1}left( {cos na + isin na} right)$ $ + C_n^nleft( {cos (n + 1)a + isin (n + 1)a} right)$
$ = zleft( {C_n^0 + C_n^1z + C_n^2{z^2} + C_n^3{z^3} + … + C_n^n{z^n}} right)$ $ = z{left( {1 + z} right)^n}.$
Vì $1 + z = 1 + cos a + isin a$ $ = 2cos frac{a}{2}left( {cos frac{a}{2} + isin frac{a}{2}} right).$
Nên: $A + iB = left( {cos a + isin a} right)$.${left[ {2cos frac{a}{2}left( {cos frac{a}{2} = isin frac{a}{2}} right)} right]^n}$
$ = {2^n}{cos ^n}frac{a}{2}left( {cos a + isin a} right)$.$left( {cos frac{{na}}{2} + isin frac{{na}}{2}} right)$
$ = {2^n}{cos ^n}frac{a}{2}$.$left( {cos frac{{n + 2}}{2}a + isin frac{{n + 2}}{2}a} right)$
Vậy $A = {2^n}{cos ^n}frac{a}{2}cos frac{{n + 2}}{2}a$, $B = {2^n}{cos ^n}frac{a}{2}sin frac{{n + 2}}{2}a.$
Nhận xét: Cho $n$ là giá trị cụ thể, suy ra được nhiều biểu thức lượng giác đẹp.
Ví dụ: $cos a + 5cos 2a + 10cos 3a$ $ + 10cos 4a + 5cos 5a + cos 6a$ $ = {2^5}{cos ^5}frac{a}{2}cos frac{{7a}}{2}.$

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button