Kiến thức

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (Oxy)

Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng $Δ$ ta cần xác định:
+ Điểm $A({x_0};{y_0}) in Delta $.
+ Một vectơ pháp tuyến $overrightarrow n left( {a;b} right)$ của $Δ.$
Khi đó phương trình tổng quát của $Δ$ là $aleft( {x – {x_0}} right) + bleft( {y – {y_0}} right) = 0$.
Chú ý:
a. Đường thẳng $Δ$ có phương trình tổng quát là: $ax + by + c = 0$, ${a^2} + {b^2} ne 0$ nhận $overrightarrow n left( {a;b} right)$ làm vectơ pháp tuyến.
b. Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT đường thẳng này cũng là VTPT của đường thẳng kia.
c. Phương trình đường thẳng $Δ$ qua điểm $Mleft( {{x_0};{y_0}} right)$ có dạng $Δ$: $aleft( {x – {x_0}} right) + bleft( {y – {y_0}} right) = 0$ với ${a^2} + {b^2} ne 0$. Đặc biệt:
+ Nếu đường thẳng $Δ$ song song với trục $Oy:$ $Δ:$ $x = {x_0}$.
+ Nếu đường thẳng $Δ$ cắt trục $Oy:$ $Δ:$ $y – {y_0} = kleft( {x – {x_0}} right)$.
d. Phương trình đường thẳng đi qua $Aleft( {a;0} right), Bleft( {0;b} right)$ với $ab ne 0$ có dạng $frac{x}{a} + frac{y}{b} = 1$.

Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$ biết $Aleft( {2;0} right), Bleft( {0;4} right), C(1;3)$. Viết phương trình tổng quát của:
a. Đường cao $AH$.
b. Đường trung trực của đoạn thẳng $BC$.
c. Đường thẳng $AB$.
d. Đường thẳng qua $C$ và song song với đường thẳng $AB$.

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (Oxy).png

a. Vì $AH bot BC$ nên $overrightarrow {BC} $ là vectơ pháp tuyến của $AH.$
Ta có $overrightarrow {BC} left( {1; – 1} right)$ suy ra đường cao $AH$ đi qua $A$ và nhận $overrightarrow {BC} $ là vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là $1.left( {x – 2} right) – 1.left( {y – 0} right) = 0$ hay $x – y – 2 = 0$.
b. Đường trung trực của đoạn thẳng $BC$ đi qua trung điểm $BC$ và nhận vectơ $overrightarrow {BC} $ làm vectơ pháp tuyến.
Gọi $I$ là trung điểm $BC$ khi đó ${x_I} = frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = frac{1}{2}$, ${y_I} = frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = frac{7}{2}$ $ Rightarrow Ileft( {frac{1}{2};frac{7}{2}} right)$.
Suy ra phương trình tổng quát của đường trung trực $BC$ là:
$1.left( {x – frac{1}{2}} right) – 1.left( {y – frac{7}{2}} right) = 0$ hay $x – y + 3 = 0$.
c. Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ có dạng $frac{x}{2} + frac{y}{4} = 1$ hay $2x + y – 4 = 0$.
d. Giải bằng 2 cách sau:
Cách 1: Đường thẳng $AB$ có VTPT là $overrightarrow n left( {2;1} right)$ do đó vì đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng $AB$ nên nhận $overrightarrow n left( {2;1} right)$ làm VTPT do đó có phương trình tổng quát là $2.left( {x – 1} right) + 1.left( {y – 3} right) = 0$ hay $2x + y – 5 = 0$.
Cách 2: Đường thẳng $Δ$ song song với đường thẳng $AB$ có dạng $2x + y + c = 0$.
Điểm $C$ thuộc $Δ$ suy ra $2.1 + 3 + c = 0$ $ Rightarrow c = – 5$.
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình tổng quát là $2x + y – 5 = 0$.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng $d:x – 2y + 3 = 0$ và điểm $Mleft( { – 1;2} right)$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $Δ$ biết:
a. $Δ$ đi qua điểm $M$ và có hệ số góc $k = 3$.
b. $Δ$ đi qua $M$ và vuông góc với đường thẳng $d$.
c. $Δ$ đối xứng với đường thẳng $d$ qua $M$.

a. Đường thẳng $Δ$ có hệ số góc $k = 3$ có phương trình dạng $y = 3x + m$.
Mặt khác $M in Delta $ $ Rightarrow 2 = 3.left( { – 1} right) + m$ $ Rightarrow m = 5$.
Suy ra phương trình tổng quát đường thẳng $Δ$ là $y = 3x + 5$ hay $3x – y + 5 = 0$.
b. Ta có $x – 2y + 3 = 0$ $ Leftrightarrow y = frac{1}{2}x + frac{3}{2}$ do đó hệ số góc của đường thẳng $d$ là ${k_d} = frac{1}{2}$.
Vì $Delta bot d$ nên hệ số góc của $Δ$ là ${k_Delta }$ thì ${k_d}.{k_Delta } = – 1 Rightarrow {k_Delta } = – 2$.
Do đó $Delta :y = – 2x + m$, $M in Delta $ $ Rightarrow 2 = – 2.( – 1) + m$ $ Rightarrow m = – 2$.
Suy ra phương trình tổng quát đường thẳng $Delta $ là $y = – 2x – 2$ hay $2x + y + 2 = 0$.
c. Giải bằng 2 cách sau:
Cách 1: Ta có $ – 1 – 2.2 + 3 ne 0$ do đó $M notin d$ vì vậy đường thẳng $Δ$ đối xứng với đường thẳng $d$ qua $M$ sẽ song song với đường thẳng $d$ suy ra đường thẳng $Δ$ có VTPT là $overrightarrow n left( {1; – 2} right)$.
Ta có $Aleft( {1;2} right) in d$, gọi $A’$ đối xứng với $A$ qua $M$ khi đó $A’ in Delta $.
Ta có $M$ là trung điểm của $AA’$.
$ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{{x_M} = frac{{{x_A} + {x_{A’}}}}{2}}\
{{y_M} = frac{{{y_A} + {y_{A’}}}}{2}}
end{array}} right.$ ${ Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{A’}} = 2{x_M} – {x_A} = – 3}\
{{y_{A’}} = 2{y_M} – {y_A} = 2}
end{array}} right.}$ $ Rightarrow A’left( { – 3;2} right)$.
Vậy phương trình tổng quát đường thẳng $Δ$ là $1.left( {x + 3} right) – 2left( {y – 2} right) = 0$ hay $x – 2y + 7 = 0$.
Cách 2: Gọi $Aleft( {{x_0};{y_0}} right)$ là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng $d$, $A’left( {x;y} right)$ là điểm đối xứng với $A$ qua $M$.
Khi đó $M$ là trung điểm của $AA’$, suy ra:
$left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{{x_M} = frac{{{x_0} + x}}{2}}\
{{y_M} = frac{{{y_0} + y}}{2}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{ – 1 = frac{{{x_0} + x}}{2}}\
{2 = frac{{{y_0} + y}}{2}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{{x_0} = – 2 – x}\
{{y_0} = 4 – y}
end{array}} right.$
Ta có $A in d$ $ Rightarrow {x_0} – 2{y_0} + 3 = 0$, suy ra:
$left( { – 2 – x} right) – 2.left( {4 – y} right) + 3 = 0$ $ Leftrightarrow x – 2y + 7 = 0$.
Vậy phương trình tổng quát của $Δ$ đối xứng với đường thẳng $d$ qua $M$ là $x – 2y + 7 = 0$.

Ví dụ 3: Biết hai cạnh của một hình bình hành có phương trình $x – y = 0$ và $x + 3y – 8 = 0$, tọa độ một đỉnh của hình bình hành là $left( { – 2;2} right)$. Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành.

Đặt tên hình bình hành là $ABCD$ với $Aleft( { – 2;2} right)$, do tọa độ điểm $A$ không là nghiệm của hai phương trình đường thẳng trên nên ta giả sử $BC: x – y = 0$, $CD:x + 3y – 8 = 0$.
Vì $ABparallel CD$ nên cạnh $AB$ nhận $overrightarrow {{n_{CD}}} left( {1;3} right)$ làm VTPT do đó có phương trình là $1.left( {x + 2} right) + 3.left( {y – 2} right) = 0$ hay $x + 3y – 4 = 0$.
Tương tự cạnh $AD$ nhận $overrightarrow {{n_{BC}}} left( {1; – 1} right)$ làm VTPT do đó có phương trình là $1.left( {x + 2} right) – 1.left( {y – 2} right) = 0$ hay $x – y + 4 = 0$.

Ví dụ 4: Cho điểm $Mleft( {1;4} right)$. Viết phương trình đường thẳng qua $M$ lần lượt cắt hai tia $Ox$, tia $Oy$ tại $A$ và $B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích nhỏ nhất.

Giả sử $Aleft( {a;0} right), Bleft( {0;b} right)$ với $a > 0, b > 0$. Khi đó đường thẳng đi qua $A, B$ có dạng $frac{x}{a} + frac{y}{b} = 1$. Do $M in AB$ nên $frac{1}{a} + frac{4}{b} = 1$.
Mặt khác ${S_{OAB}} = frac{1}{2}OA.OB = frac{1}{2}ab$.
Áp dụng BĐT Côsi, ta có: $1 = frac{1}{a} + frac{4}{b} ge 2sqrt {frac{4}{{ab}}} $ $ Rightarrow ab ge 16 Rightarrow {S_{OAB}} ge 8$.
Suy ra ${S_{OAB}}$ nhỏ nhất khi $frac{1}{a} = frac{4}{b}$ và $frac{1}{a} + frac{4}{b} = 1$ do đó $a = 2; b = 8$.
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $frac{x}{2} + frac{y}{8} = 1$ hay $4x + y – 8 = 0$.

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button