Kiến thức

Xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau

Bài toán: Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau, xác định góc giữa $2$ đường thẳng a và b.

Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau, ta sử dụng các cách sau:

Cách 1: Chọn hai đường thẳng cắt nhau a’ và b’ lần lượt song song với a và b. Khi đó $(widehat {a,b}) = (widehat {a’,b’})$.

Xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau.png

Cách 2: Chọn một điểm $A$ bất kỳ thuộc $a$, rồi từ đó kẻ một đường thẳng $b’$ qua $A$ và song song với $b$. Khi đó $(widehat {a,b}) = (widehat {a,b’})$.

Xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau.png

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, $SA = asqrt 3 ,SA bot BC$. Tính góc giữa hai đường thẳng $SD$ và $BC$?

Xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau.png
Ta có: $BC//AD.$
Do đó $(SD,BC) = (SD,AD) = widehat {SDA}.$
Vì $left. begin{array}{l}
BC||AD\
SA bot BC
end{array} right}$ $ Rightarrow SA bot AD Rightarrow widehat {SAD} = {90^0}.$
Xét tam giác $ΔSAD$ vuông tại $A$ ta có:
$tan widehat {SDA} = frac{{SA}}{{AD}} = sqrt 3 $ $ Rightarrow widehat {SDA} = {60^0}.$
Vậy góc giữa hai đường thẳng $SD$ và $BC$ bằng $60$ độ.

Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = CD = 2a$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AD$, $MN = asqrt 3 $. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$?

Xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau.png

Gọi $I$ là trung điểm của $BD.$
Ta có: $left. begin{array}{l}
IN//AB\
IM//CD
end{array} right}$ $ Rightarrow (AB,CD) = (IM,IN).$
Xét tam giác $IMN$ có:
$IM = IN = a,MN = asqrt 3 .$
Do đó $cos widehat {MIN} = frac{{2{a^2} – 3{a^2}}}{{2{a^2}}} = – frac{1}{2}$ $ Rightarrow widehat {MIN} = {120^0}.$
Vậy $(widehat {AB,CD}) = {180^0} – {120^0} = {60^0}$.

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ có độ dài cạnh bên bằng $2a$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $AB = a,AC = asqrt 3$. Hình chiếu vuông góc của $A’$ lên $mp(ABC)$ là trung điểm của $BC$. Tính $cosin$ của góc giữa hai đường thẳng $AA’$ và $B’C’$?

Xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau.png
Gọi $H$ là trung điểm của $BC.$
Ta có: $left. begin{array}{l}
AA’//BB’\
B’C’//BH
end{array} right}$ $ Rightarrow (AA’,B’C’) = (BB’,BH).$
Hay $cos (AA’,B’C’) = cos (BB’,BH)$ $ = left| {cos widehat {HBB’}} right|.$
Xét tam giác $A’B’H$ có:
$widehat {A’} = {90^0},A’B’ = a.$
$A’H = sqrt {AA{‘^2} – A{H^2}} $ $ = sqrt {AA{‘^2} – {{left( {frac{{BC}}{2}} right)}^2}} = asqrt 3 .$
Suy ra $HB’ = sqrt {A'{H^2} + A’B{‘^2}} = 2a.$
Do đó $cos widehat {HBB’} = frac{{B{H^2} + BB{‘^2} – HB{‘^2}}}{{2.BH.BB’}} = frac{1}{4}.$
Vậy $cos (AA’,B’C’) = left| {cos widehat {HBB’}} right| = frac{1}{4}$.

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button