Kiến thức

Lớp 10-Xác định tập hợp và phép toán trên tập hợp

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tập hợp
• Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa.
• Cách xác định tập hợp:

  • Liệt kê các phần tử: Viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc $left{ {…} right}$.
  • Chỉ ra tính chất đăc trưng cho các phần tử của tập hợp.

• Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu $emptyset .$
2. Tập hợp con
$A subset B$ $ Leftrightarrow left( {forall x in A Rightarrow x in B} right).$
Các tính chất:

  • $A subset A,forall A .$
  • $emptyset subset A,forall A .$
  • $A subset B,B subset C$ $ Rightarrow A subset C .$

3. Tập hợp bằng nhau
$A = B$ $ Leftrightarrow (A subset B$ và $B subset A)$ $ Leftrightarrow left( {forall x,x in A Leftrightarrow x in B} right) .$

4. Một số tập con của tập hợp số thực

Xác định tập hợp và phép toán trên tập hợp.png
5. Các phép toán tập hợp

  • Giao của hai tập hợp: $A cap B$ $ Leftrightarrow left{ {x|x in A} right.$ và $left. {x in B} right} .$
  • Hợp của hai tập hợp: $A cap B$ $ Leftrightarrow left{ {x|x in A} right.$ hoặc $left. {x in B} right} .$
  • Hiệu của hai tập hợp: $Abackslash B$ $ Leftrightarrow left{ {x|x in A} right.$ và $left. {x notin B} right} .$
  • Phần bù: Cho $B subset A$ thì ${C_A}B = Abackslash B .$

B. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng:
$A = left{ {0;1;2;3;4} right}$
$B = left{ {0;4;8;12;16} right}$
$C = left{ {1;2;4;8;16} right}$

Giải

Ta có các tập hợp $A,B,C$ được viết dưới dạng nêu các tính chất đặc trưng là:
$A = left{ {x in N|x le 4} right}$
$B = { x in N| x vdots 4$ và $left. {x le 16} right}$
$C = left{ {{2^n}| n le 4} right.$ và $left. {n in N} right}$

Ví dụ 2: Cho tập hợp $A = left{ {x in {rm Z}|frac{{{x^2} + 2}}{x} in {rm Z}} right}.$
a. Hãy xác định tập $A$ bằng cách liệt kê các phần tử.
b. Tìm tất cả các tập con của tập hợp $A$ mà số phần tử của nó nhỏ hơn $3.$

Giải

a. Ta có $frac{{{x^2} + 2}}{x} = x + frac{2}{x} in {rm Z}$ với $x in {rm Z}$ khi và chỉ khi $x$ là ước của $2$ hay $x in left{ { – 2; – 1;1;2} right}.$
Vậy $A = left{ { – 2; – 1;1;2} right}.$
b. Tất cả các tập con của tập hợp $A$ mà số phần tử của nó nhỏ hơn $3$ là:
Tập không có phần tử nào: $emptyset .$
Tập có một phần tử: $left{ { – 2} right}, left{ { – 1} right}, left{ 1 right}, left{ 2 right}.$
Tập có hai phần tử: $left{ { – 2; – 1} right}, left{ { – 2;1} right},$ $left{ { – 2;2} right}, left{ { – 1;1} right},$ $left{ { – 1;2} right}, left{ {1;2} right} .$

Ví dụ 3: Cho $A = left{ { – 4; – 2; – 1;2;3;4} right}$ và $B = left{ {x in {rm Z}|left| x right| le 4} right}$. Tìm tập hợp $X$ sao cho:
a. $X subset Bbackslash A.$
b. $A subset X subset B .$
c. $A cup X = B$ với $X$ có đúng $4$ phần tử.

Giải

Ta có $left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{left| x right| le 4}\
{x in {rm Z}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{ – 4 le x le 4}\
{x in {rm Z}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow x in left{ { – 4; – 3; – 2; – 1;0;1;2;3;4} right}.$
Suy ra $B = left{ { – 4; – 3; – 2; – 1;0;1;2;3;4} right}.$
a. Ta có $Bbackslash A = left{ { – 3;0;1} right}.$
Suy ra $X subset Bbackslash A$ thì các tập hợp $X$ là: $emptyset ,left{ { – 3} right},left{ 0 right},left{ 1 right},left{ { – 3;0} right},$ $left{ { – 3;1} right},left{ {0;1} right},left{ { – 3;0;1} right} .$
b. Ta có $left{ { – 4; – 2; – 1;2;3;4} right}$ $ subset X subset $ $left{ { – 4; – 3; – 2; – 1;0;1;2;3;4} right}$ suy ra tập hợp $X$ là:
$left{ { – 4; – 2; – 1;2;3;4} right}$, $left{ { – 4; – 2; – 3; – 1;2;3;4} right}$, $left{ { – 4; – 2; – 1;0;2;3;4} right}$, $left{ { – 4; – 2; – 1;1;2;3;4} right}$, $left{ { – 4; – 2; – 3; – 1;0;2;3;4} right}$, $left{ { – 4; – 2; – 3; – 1;1;2;3;4} right}$, $left{ { – 4; – 2; – 1;0;1;2;3;4} right}$, $left{ { – 4; – 3; – 2; – 1;0;1;2;3;4} right} .$
c. Ta có $A cup X = B$ với $X$ có đúng $4$ phần tử khi đó tập hợp $X$ là: $left{ { – 4; – 3;0;1} right}$, $left{ { – 3; – 2;0;1} right}$, $left{ { – 3; – 1;0;1} right}$, $left{ { – 3;0;1;2} right}$ $left{ { – 3;0;1;3} right}$, $left{ { – 3;0;1;4} right} .$

Ví dụ 4: Cho các tập hợp:
$A = $ $left{ {x in R|left( {{x^2} + 7x + 6} right)left( {{x^2} – 4} right) = 0} right}$
$B = left{ {x in N|2x le 8} right}$
a. Hãy viết lại các tập hợp $A, B, C$ dưới dạng liệt kê các phần tử.
b. Tìm $A cup B$, $A cap B$, $Bbackslash C$, ${C_{A cup B}}left( {Bbackslash C} right) .$
c. Tìm $(A cup C)backslash B.$

Giải

a. Ta có: $left( {{x^2} + 7x + 6} right)left( {{x^2} – 4} right) = 0$
$ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
{x^2} + 7x + 6 = 0\
{x^2} – 4 = 0
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left[ begin{array}{l}
x = – 1\
x = – 6
end{array} right.$ hoặc $left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x = – 2}\
{x = 2}
end{array}} right.$
Vậy $A = left{ { – 6; – 2; – 1;2} right} .$
Ta có $left{ begin{array}{l}
x in N\
2x le 8
end{array} right.$ $ Leftrightarrow left{ begin{array}{l}
x in N\
x le 4
end{array} right.$ $ Leftrightarrow x in left{ {0,1,2,3,4} right} .$
Vậy $B = left{ {0;1;2;3;4} right}.$
Ta có $left{ begin{array}{l}
x in Z\
– 2 le x le 4
end{array} right.$ $ Leftrightarrow x in left{ { – 2, – 1,0,1,2,3,4} right} .$
Suy ra $C = left{ { – 3; – 1;1;3;5;7;9} right} .$
b. Ta có:
$A cup B = left{ { – 6; – 2; – 1;0;1;2;3;4} right}.$
$A cap B = left{ 2 right} .$
$Bbackslash C = left{ {0;2;4} right}.$
${C_{A cup B}}left( {Bbackslash C} right) = left( {A cup B} right)backslash left( {Bbackslash C} right)$ $ = left{ { – 6; – 2; – 1;1;3} right}.$
c. Ta có: $A cup C = left{ { – 6; – 3; – 2; – 1;1;2;3;5;7;9} right}.$
Suy ra $(A cup C)backslash B = left{ { – 6; – 3; – 2; – 1;5;7;9} right}.$

Ví dụ 5: Cho các tập hợp $E = { {rm{ }}x in N|1 le x < 7} $, $A = { {rm{ }}x in N|$ $left( {{x^2} – 9} right)left( {{x^2}-5x–6} right) = 0} $ và $B = {rm{{ }}x in N|x$ là số nguyên tố nhỏ hơn $left. 6 right}.$
a. Chứng minh rằng $A subset E$ và $B subset E .$
b. Tìm ${C_E}A$, ${C_E}B$, ${C_E}(A cup B).$
c. Chứng minh rằng: $Ebackslash (A cap B)$ $ = left( {Ebackslash A} right) cup left( {{rm{ }}Ebackslash B} right).$

Giải

a. Ta có ${rm{E}} = left{ {1;2;3;4;5;6} right}$, $A = left{ {3;6} right}$ và $B = left{ {2;3;5} right}.$
Suy ra $A subset E$ và $B subset E .$
b. Ta có:
${C_E}A = Ebackslash A = left{ {1;2;4;5} right}.$
${C_E}B = Ebackslash B = left{ {1;4;6} right}.$
$A cup B = left{ {2;3;5;6} right}$ $ Rightarrow {C_E}(A cup B) = Ebackslash left( {A cup B} right) = left{ {1;4} right}.$
c. Ta có: $A cap B = left{ 3 right}$ $ Rightarrow {C_E}(A cap B) = Ebackslash left( {A cap B} right)$ $ = left{ {1;2;4;5;6} right}.$
$Ebackslash A = left{ {1;2;4;5} right}$, $Ebackslash B = left{ {1;4;6} right}$ $ Rightarrow left( {Ebackslash A} right) cup left( {{rm{ }}Ebackslash B} right) = left{ {1;2;4;5;6} right}.$
Suy ra $Ebackslash (A cap B) = left( {Ebackslash A} right) cup left( {{rm{ }}Ebackslash B} right).$

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button
444 live app 444 live 444 live app 444live kisslive kiss live yy live yylive