Kiến thức

Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

A. PHƯƠNG PHÁP XÉT TÍNH CHẴN – LẺ CỦA HÀM SỐ
1. Khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số $y=fleft( x right)$ có tập xác định $D.$
• Hàm số $f$ được gọi là hàm số chẵn nếu với $forall xin D$ thì $-xin D$ và $fleft( x right)=fleft( x right).$
• Hàm số $f$ được gọi là hàm số lẻ nếu với $forall xin D$ thì $-xin D$ và $fleft( x right)=-fleft( x right).$
Chú ý: Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ.
2. Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ
• Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
• Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
3. Phương pháp xét tính chẵn, lẻ của hàm số
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $D.$
• $f$ là hàm số chẵn $Leftrightarrow left{ begin{align}
& forall xin DRightarrow -xin D \
& f(-x)=f(x) \
end{align} right.$
• $f$ là hàm số lẻ $Leftrightarrow left{ begin{align}
& forall xin DRightarrow -xin D \
& f(-x)=-f(x) \
end{align} right.$
Các bước xét tính chẵn, lẻ của hàm số:
• Bước 1. Tìm tập xác định $D$ của hàm số.
• Bước 2. Kiểm tra:
+ Nếu $forall xin D$ $Rightarrow -xin D$ thì chuyển qua bước 3.
+ Nếu tồn tại ${{x}_{0}}in D$ mà $-{{x}_{0}}notin D$ thì kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.
• Bước 3. Xác định $fleft( -x right)$ và so sánh với $fleft( x right):$
+ Nếu $fleft( -x right)$ = $fleft( x right)$ thì kết luận hàm số là chẵn.
+ Nếu $fleft( -x right)$ = $-fleft( x right)$ thì kết luận hàm số là lẻ.

B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1
. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) $f(x)=3{{x}^{3}}+2sqrt[3]{x}.$
b) $f(x)={{x}^{4}}+sqrt{{{x}^{2}}+1}.$
c) $fleft( x right)=sqrt{x+5}+sqrt{5-x}.$
d) $f(x)=sqrt{2+x}+frac{1}{sqrt{2-x}}.$

a) Tập xác định của hàm số: $text{D}=mathbb{R}.$
Với mọi $xin mathbb{R}$ ta có $-xin mathbb{R}$ và $f(-x)$ $=3{{left( -x right)}^{3}}+2sqrt[3]{-x}$ $=-left( 3{{x}^{3}}+2sqrt[3]{x} right)$ $=-f(x).$
Do đó $f(x)=3{{x}^{3}}+2sqrt[3]{x}$ là hàm số lẻ.
b) Tập xác định của hàm số: $text{D}=mathbb{R}.$
Với mọi $xin mathbb{R}$ ta có $-xin mathbb{R}$ và $f(-x)$ $={{left( -x right)}^{4}}+sqrt{{{left( -x right)}^{2}}+1}$ $={{x}^{4}}+sqrt{{{x}^{2}}+1}$ $=f(x).$
Do đó $f(x)={{x}^{4}}+sqrt{{{x}^{2}}+1}$ là hàm số chẵn.
c) Điều kiện xác định: $left{ begin{matrix}
x+5ge 0 \
5-xge 0 \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
xge -5 \
xle 5 \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow -5le xle 5.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $text{D}=left[ -5;5 right].$
Với mọi $xin left[ -5;5 right]$ ta có $-xin left[ -5;5 right]$ và $f(-x)$ $=sqrt{left( -x right)+5}+sqrt{5-left( -x right)}$ $=sqrt{x+5}+sqrt{5-x}$ $=f(x).$
Do đó $fleft( x right)=sqrt{x+5}+sqrt{5-x}$ là hàm số chẵn.
d) Điều kiện xác định: $left{ begin{matrix}
2+xge 0 \
2-x>0 \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
xge -2 \
x<2 \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow -2le x<2.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $text{D}=left[ -2;2 right).$
Ta có ${{x}_{0}}=-2in left[ -2;2 right)$ nhưng $-{{x}_{0}}=2notin left[ -2;2 right).$
Vậy hàm số $f(x)=sqrt{2+x}+frac{1}{sqrt{2-x}}$ không chẵn và không lẻ.

Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) $f(x)={{x}^{4}}-4x+2.$
b) $fleft( x right)=left| left| x+2 right|-left| x-2 right| right|.$
c) $f(x)=frac{x+sqrt{{{x}^{2}}+1}}{sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}-2{{x}^{2}}-1.$
d) $f(x)=left{ begin{matrix}
-1:khi:x<0 \
0:khi:x=0 \
1:khi:x>0 \
end{matrix} right.$

a) Tập xác định của hàm số: $D=mathbb{R}.$
Ta có $fleft( -1 right)=7$, $fleft( 1 right)=-1$ $Rightarrow left{ begin{matrix}
fleft( -1 right)ne fleft( 1 right) \
fleft( -1 right)ne -fleft( 1 right) \
end{matrix} right.$
Vậy hàm số không chẵn và không lẻ.
b) Tập xác định của hàm số: $text{D}=mathbb{R}.$
Với mọi $xin mathbb{R}$ ta có $-xin mathbb{R}$ và $f(-x)=left| left| left( -x right)+2 right|-left| left( -x right)-2 right| right|$ $=left| left| x-2 right|-left| x+2 right| right|.$
Suy ra $fleft( -x right)=fleft( x right).$
Do đó $fleft( x right)=left| left| x+2 right|-left| x-2 right| right|$ là hàm số chẵn.
c) Ta có $sqrt{{{x}^{2}}+1}>sqrt{{{x}^{2}}}=left| x right|ge x$ $Rightarrow sqrt{{{x}^{2}}+1}-xne 0$ với mọi $x.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $D=mathbb{R}.$
Mặt khác $sqrt{{{x}^{2}}+1}>sqrt{{{x}^{2}}}=left| x right|ge -x$ $Rightarrow sqrt{{{x}^{2}}+1}+xne 0$, do đó $f(x)=frac{{{left( x+sqrt{{{x}^{2}}+1} right)}^{2}}}{left( sqrt{{{x}^{2}}+1}+x right)left( sqrt{{{x}^{2}}+1}-x right)}-2{{x}^{2}}-1$ $=2xsqrt{{{x}^{2}}+1}.$
Với mọi $xin mathbb{R}$ ta có $-xin mathbb{R}$ và $f(-x)$ $=2left( -x right)sqrt{{{left( -x right)}^{2}}+1}$ $=-2xsqrt{{{x}^{2}}+1}$ $=-fleft( x right).$
Do đó $f(x)=frac{x+sqrt{{{x}^{2}}+1}}{sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}-2{{x}^{2}}-1$ là hàm số lẻ.
d) Tập xác định của hàm số: $D=mathbb{R}.$
Dễ thấy với mọi $xin mathbb{R}$ ta có $-xin mathbb{R}.$
Với mọi $x>0$ ta có $-x<0$ suy ra $fleft( -x right)=-1$, $fleft( x right)=1$ $Rightarrow fleft( -x right)=-fleft( x right).$
Với mọi $x<0$ ta có $-x>0$ suy ra $fleft( -x right)=1$, $fleft( x right)=-1$ $Rightarrow fleft( -x right)=-fleft( x right).$
Và $fleft( -0 right)=-fleft( 0 right)=0.$
Do đó với mọi $xin mathbb{R}$ ta có $fleft( -x right)=-fleft( x right).$
Vậy hàm số $f(x)=left{ begin{matrix}
-1:khi:x<0 \
0:khi:x=0 \
1:khi:x>0 \
end{matrix} right.$ là hàm số lẻ.

Ví dụ 3. Tìm $m$ để hàm số $fleft( x right)=frac{{{x}^{2}}left( {{x}^{2}}-2 right)+left( 2{{m}^{2}}-2 right)x}{sqrt{{{x}^{2}}+1}-m}$ là hàm số chẵn.

Điều kiện xác định: $sqrt{{{x}^{2}}+1}ne m.$
Giả sử hàm số $f(x)$ là hàm số chẵn suy ra $fleft( -x right)=fleft( x right)$ với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện $sqrt{{{x}^{2}}+1}ne m.$
Ta có $fleft( -x right)=frac{{{x}^{2}}left( {{x}^{2}}-2 right)-left( 2{{m}^{2}}-2 right)x}{sqrt{{{x}^{2}}+1}-m}.$
Suy ra $fleft( -x right)=fleft( x right)$ $⇔ frac{{{x}^{2}}left( {{x}^{2}}-2 right)-left( 2{{m}^{2}}-2 right)x}{sqrt{{{x}^{2}}+1}-m}$ $=frac{{{x}^{2}}left( {{x}^{2}}-2 right)+left( 2{{m}^{2}}-2 right)x}{sqrt{{{x}^{2}}+1}-m}$ $Leftrightarrow 2left( 2{{m}^{2}}-2 right)x=0$ với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện xác định $Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-2=0$ $Leftrightarrow m=pm 1.$
+ Với $m=1$ ta có hàm số là $fleft( x right)=frac{{{x}^{2}}left( {{x}^{2}}-2 right)}{sqrt{{{x}^{2}}+1}-1}.$
Điều kiện xác định: $sqrt{{{x}^{2}}+1}ne 1Leftrightarrow xne 0.$
Suy ra tập xác định của hàm số là: $text{D}=mathbb{R}backslash left{ 0 right}.$
Dễ thấy với mọi $xin mathbb{R}backslash left{ 0 right}$ ta có $-xin mathbb{R}backslash left{ 0 right}$ và $fleft( -x right)=fleft( x right).$
Do đó $fleft( x right)=frac{{{x}^{2}}left( {{x}^{2}}-2 right)}{sqrt{{{x}^{2}}+1}-1}$ là hàm số chẵn.
+ Với $m=-1$ ta có hàm số là $fleft( x right)=frac{{{x}^{2}}left( {{x}^{2}}-2 right)}{sqrt{{{x}^{2}}+1}+1}.$
Tập xác định của hàm số: $text{D}=mathbb{R}.$
Dễ thấy với mọi $xin mathbb{R}$ ta có $-xin mathbb{R}$ và $fleft( -x right)=fleft( x right).$
Do đó $fleft( x right)=frac{{{x}^{2}}left( {{x}^{2}}-2 right)}{sqrt{{{x}^{2}}+1}+1}$ là hàm số chẵn.
Vậy $m=pm 1$ là giá trị cần tìm.

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Đề bài

Bài toán 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) $fleft( x right)=frac{{{x}^{3}}+5x}{{{x}^{2}}+4}.$
b) $fleft( x right)=frac{{{x}^{2}}+5}{{{x}^{2}}-1}.$
c) $fleft( x right)=sqrt{x+1}-sqrt{1-x}.$
d) $fleft( x right)=frac{x-5}{x-1}.$
e) $fleft( x right)=3{{x}^{2}}-2x+1.$
f) $fleft( x right)=frac{{{x}^{3}}}{left| x right|-1}.$
g) $f(x)=frac{left| x-1 right|+left| x+1 right|}{left| 2x-1 right|+left| 2x+1 right|}.$
h) $f(x)=frac{left| x+2 right|+left| x-2 right|}{left| x-1 right|-left| x+1 right|}$

Bài toán 2. Tìm $m$ để hàm số: $y=fleft( x right)$ $=frac{xleft( {{x}^{2}}-2 right)+2m-1}{x-2m+1}$ là hàm số chẵn.

Bài toán 3. Cho hàm số $y=fleft( x right)$, $y=gleft( x right)$ có cùng tập xác định $D$. Chứng minh rằng:
a) Nếu hai hàm số trên lẻ thì hàm số $y=fleft( x right)+gleft( x right)$ là hàm số lẻ.
b) Nếu hai hàm số trên một chẵn, một lẻ thì hàm số $y=fleft( x right)gleft( x right)$ là hàm số lẻ.

Bài toán 4.
a) Tìm $m$ để đồ thị hàm số sau nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng: $y={{x}^{3}}-({{m}^{2}}-9){{x}^{2}}+(m+3)x+m-3.$
b) Tìm $m$ để đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng: $y={{x}^{4}}-({{m}^{2}}-3m+2){{x}^{3}}+{{m}^{2}}-1.$

Bài toán 5. Chứng minh rằng đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng: $y={{x}^{2}}+sqrt{3-x}+sqrt{3+x}$.

2. Hướng dẫn giải và đáp số
Bài toán 1
.
a) Hàm số lẻ.
b) Hàm số chẵn.
c) Tập xác định của hàm số là $D=left[ -1;1 right]$ nên $forall xin D$ $Rightarrow -xin D.$
Ta có: $fleft( -x right)$ $=sqrt{1-x}-sqrt{1+x}$ $=-fleft( x right)$, $forall xin D.$
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
d) Tập xác định của hàm số là: $D=mathbb{R}backslash left{ 1 right}.$
Ta có $x=-1in D$ nhưng $-x=1notin D.$
Do đó hàm số không chẵn và không lẻ.
e) Tập xác định của hàm số là: $D=mathbb{R}$.
Ta có $fleft( 1 right)=2$, $fleft( -1 right)=6.$
Suy ra $fleft( -1 right)ne fleft( 1 right)$, $fleft( -1 right)ne -fleft( 1 right).$
Do đó hàm số không chẵn và không lẻ.
f) Tập xác định của hàm số là $D=left( -infty -1 right)cup left( -1;1 right)cup left( 1;+infty right)$ nên $forall xin D$ $Rightarrow -xin D.$
Ta có: $fleft( -x right)$ $=frac{{{left( -x right)}^{3}}}{left| -x right|-1}$ $=-frac{{{x}^{3}}}{left| x right|-1}$ $=-fleft( x right)$, $forall xin D.$
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
g) Tập xác định của hàm số là $D=mathbb{R}$ nên $ forall xin D$ $Rightarrow -xin D.$
Ta có: $f(-x)$ $=frac{left| -x-1 right|+left| -x+1 right|}{left| -2x-1 right|+left| -2x+1 right|}$ $=fleft( x right)$, $forall xin D.$
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
h) Điều kiện xác định: $left| x-1 right|ne left| x+1 right|$ $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
x-1ne x+1 \
x-1ne -left( x+1 right) \
end{matrix} right.$ $Leftrightarrow xne 0.$
Suy ra tập xác định của hàm số là $D=mathbb{R}backslash left{ 0 right}$, do đó $ forall xin D$ $Rightarrow -xin D.$
Ta có: $f(-x)=frac{left| -x+2 right|+left| -x-2 right|}{left| -x-1 right|-left| -x+1 right|}$ $=-fleft( x right)$, $forall xin D.$
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Bài toán 2. Đáp số $m = frac{1}{2}.$

Bài toán 3.
a) Ta có hàm số $y=fleft( x right)+gleft( x right)$ có tập xác định $text{D}$.
Do hàm số $y=fleft( x right)$, $y=gleft( x right)$ lẻ nên $forall xin D$ $Rightarrow -xin D$ và $fleft( -x right)=-fleft( x right)$, $gleft( -x right)=-gleft( x right)$ suy ra $yleft( -x right)=fleft( -x right)+gleft( -x right)$ $=-left[ fleft( x right)+gleft( x right) right]$ $=-yleft( x right).$
Suy ra hàm số $y=fleft( x right)+gleft( x right)$ là hàm số lẻ.
b) Giả sử hàm số $y=fleft( x right)$ chẵn, $y=gleft( x right)$ lẻ.
Khi đó hàm số $y=fleft( x right)gleft( x right)$ có tập xác định là $D$ nên $forall xin D$ $Rightarrow -xin D.$
Ta có $yleft( -x right)$ $=fleft( -x right)gleft( -x right)$ $=fleft( x right)left[ -gleft( x right) right]$ $=-fleft( x right)gleft( x right)$ $=-yleft( x right).$
Do đó hàm số $y=fleft( x right)gleft( x right)$ lẻ.

Bài toán 4.
a) Tập xác định của hàm số: $D=mathbb{R}$, suy ra $forall xin D$ $Rightarrow -xin D.$
Đồ thị hàm số đã cho nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số lẻ $Leftrightarrow fleft( -x right)=-fleft( x right)$ $Leftrightarrow {{left( -x right)}^{3}}-({{m}^{2}}-9){{left( -x right)}^{2}}+(m+3)left( -x right)+m-3$ $ = – left[ {{x^3} – ({m^2} – 9){x^2} + (m + 3)x + m – 3} right]$ $ Leftrightarrow 2({m^2} – 9){x^2} – 2left( {m – 3} right) = 0$, $forall x in mathbb{R}$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{{m^2} – 9 = 0}\
{m – 3 = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow m = 3.$
b) Tập xác định của hàm số: $D=mathbb{R}$, suy ra $forall xin D$ $Rightarrow -xin D.$
Đồ thị hàm số đã cho nhận trục tung làm trục đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số chẵn $Leftrightarrow fleft( -x right)=fleft( x right)$ $Leftrightarrow {{left( -x right)}^{4}}-({{m}^{2}}-3m+2){{left( -x right)}^{3}}+{{m}^{2}}-1$ $={{x}^{4}}-({{m}^{2}}-3m+2){{x}^{3}}+{{m}^{2}}-1$ $Leftrightarrow 2({{m}^{2}}-3m+2){{x}^{3}}=0$, $forall xin mathbb{R}$ $Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m+2=0$ $Leftrightarrow left[ begin{matrix}
m=1 \
m=2 \
end{matrix} right.$

Bài toán 5. Tập xác định của hàm số: $D=mathbb{R}.$
Với mọi $xin D$ $Rightarrow -xin D.$
Ta có: $yleft( -x right)$ $={{left( -x right)}^{2}}+sqrt{3-left( -x right)}+sqrt{3+left( -x right)}$ $={{x}^{2}}+sqrt{3+x}+sqrt{3-x}$ $=yleft( x right).$
Do đó hàm số $y={{x}^{2}}+sqrt{3-x}+sqrt{3+x}$ là hàm số chẵn, nên nhận trục tung làm trục đối xứng.

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button