Kiến thức

Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Phương pháp: Để xét tính liên tục của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x = x_0$, ta thực hiện theo các bước sau:
Cách 1:
+ Tính $fleft( {{x_0}} right).$
+ Tìm $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right).$
+ Nếu $mathop {lim }limits_{x to {x_0}} fleft( x right) = fleft( {{x_0}} right)$ thì hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_0 .$
Cách 2:
+ Tìm $mathop {lim }limits_{x to x_0^ – } fleft( x right).$
+ Tìm $mathop {lim }limits_{x to x_0^ + } fleft( x right).$
+ Nếu $mathop {lim }limits_{x to x_0^ + } fleft( x right) = mathop {lim }limits_{x to x_0^ – } fleft( x right) = fleft( {{x_0}} right)$ thì hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0}.$

Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm $x = – 2.$
a) $fleft( x right) = frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}}.$
b) $gleft( x right) = left{ begin{array}{l}
frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}}:với:x ne – 2\
– 4:với:x = – 2
end{array} right.$

a) Vì $fleft( { – 2} right)$ không xác định, suy ra hàm số không liên tục tại $x = – 2.$
b) Ta có: $mathop {lim }limits_{x to – 2} gleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to – 2} frac{{left( {x + 2} right)left( {x – 2} right)}}{{x + 2}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to – 2} left( {x – 2} right)$ $ = – 4 = fleft( { – 2} right).$
Do đó hàm số liên tục tại $x = – 2.$

Ví dụ 2. Cho hàm số: $y = fleft( x right) = left{ begin{array}{l}
frac{{3 – sqrt {{x^2} + 5} }}{{{x^2} – 4}} : với 😡 ne pm 2\
– frac{1}{6}:với:x = 2
end{array} right.$
a) Tính $mathop {lim }limits_{x to 2} fleft( x right).$
b) Xét tính liên tục của hàm số $fleft( x right)$ tại $x = 2$; $x = – 2.$

a) Ta có $mathop {lim }limits_{x to 2} fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to 2} frac{{3 – sqrt {{x^2} + 5} }}{{{x^2} – 4}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 2} frac{{9 – {x^2} – 5}}{{left( {{x^2} – 4} right)left( {3 + sqrt {{x^2} + 5} } right)}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 2} frac{{ – 1}}{{3 + sqrt {{x^2} + 5} }}$ $ = – frac{1}{6}.$
b) Từ câu a suy ra $mathop {lim }limits_{x to 2} fleft( x right) = fleft( 2 right).$ Vậy hàm số đã cho liên tục tại $x = 2.$ Hàm số đã cho không xác định tại $x = – 2.$ do đó hàm số không liên tục tại $x = – 2.$

Ví dụ 3. Xét tính liên tục tại giá trị ${x_0}$ của các hàm số sau:
a) $fleft( x right) = left{ begin{array}{l}
frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 2}}:với:x ne 2\
1:với:x = 2
end{array} right.$ tại ${x_0} = 2$ và tại ${x_0} = 4.$
b) $fleft( x right) = left{ begin{array}{l}
frac{{sqrt {x + 3} – 2}}{{x – 1}}:với:x ne 1\
frac{1}{4}:với:x = 1
end{array} right.$ tại ${x_0} = 1.$
c) $fleft( x right) = left{ begin{array}{l}
frac{{1 – sqrt {cos x} }}{{{x^2}}}:với:x ne 0\
frac{1}{4}:với:x = 0
end{array} right.$ tại ${x_0} = 0$ và tại ${x_0} = frac{pi }{3}.$
d) $fleft( x right) = left{ begin{array}{l}
frac{{2 – 7x + 5{x^2} – {x^3}}}{{{x^2} – 3x + 2}}:với:x ne 2\
1:với:x = 2
end{array} right.$ tại ${x_0} = 2$ và tại ${x_0} = 5.$
e) $fleft( x right) = left{ begin{array}{l}
frac{{x – 5}}{{sqrt {2x – 1} – 3}}:với:x > 5\
{left( {x – 5} right)^2} + 3:với:x le 5
end{array} right.$ tại ${x_0} = 5$, tại ${x_0} = 6$ và tại ${x_0} = 4.$
f) $fleft( x right) = left{ begin{array}{l}
frac{{sqrt {2x + 3} – 1}}{{x + 1}}:với:x > – 1\
frac{{sqrt {3 – x} }}{2}:với:x le – 1
end{array} right.$ tại ${x_0} = – 1.$
g) $fleft( x right) = left{ begin{array}{l}
frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{{x^2} – 1}}:với:x > 1\
frac{1}{2}:với:x = 1\
x – frac{3}{2}:với:x < 1
end{array} right.$ tại ${x_0} = 1.$

a)
• Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = 2:$
Ta có:
$fleft( {{x_0}} right) = fleft( 2 right) = 1.$
$mathop {lim }limits_{x to 2} fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to 2} frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 2}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 2} frac{{left( {x – 2} right)left( {x – 1} right)}}{{x – 2}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 2} (x – 1) = 1.$
Vì $mathop {lim }limits_{x to 2} fleft( x right) = fleft( 2 right)$ suy ra hàm số liên tục tại ${x_0} = 2.$
• Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = 4:$
Ta có: $mathop {lim }limits_{x to 4} fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to 4} frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 2}}$ $ = frac{{{4^2} – 3.4 + 2}}{{4 – 2}}$ $ = 3 = fleft( 4 right)$, suy ra hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 4.$
b) Ta có:
$fleft( {{x_0}} right) = fleft( 1 right) = frac{1}{4}.$
$mathop {lim }limits_{x to 1} fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{sqrt {x + 3} – 2}}{{x – 1}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{x + 3 – 4}}{{left( {sqrt {x + 3} + 2} right)left( {x – 1} right)}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{{x – 1}}{{left( {sqrt {x + 3} + 2} right)left( {x – 1} right)}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 1} frac{1}{{sqrt {x + 3} + 2}}$ $ = frac{1}{4}.$
Vì $mathop {lim }limits_{x to 1} fleft( x right) = fleft( 1 right)$ suy ra hàm số liên tục tại $x = 1.$
c)
• Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = 0:$
Ta có:
$fleft( {{x_0}} right) = fleft( 0 right) = frac{1}{4}.$
$mathop {lim }limits_{x to 0} fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{1 – sqrt {cos x} }}{{{x^2}}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{1 – cos x}}{{{x^2}left( {1 + sqrt {cos x} } right)}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{2{{sin }^2}frac{x}{2}}}{{{x^2}left( {1 + sqrt {cos x} } right)}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{1}{2}{left( {frac{{sin frac{x}{2}}}{{frac{x}{2}}}} right)^2}frac{1}{{1 + sqrt {cos x} }}$ $ = frac{1}{4}.$
Vì $mathop {lim }limits_{x to 0} fleft( x right) = fleft( 0 right)$ suy ra hàm số liên tục tại ${x_0} = 0.$
• Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = frac{pi }{3}:$
Ta có: $mathop {lim }limits_{x to frac{pi }{3}} fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to frac{pi }{3}} frac{{1 – sqrt {cos x} }}{{{x^2}}}$ $ = frac{{1 – sqrt {cos frac{pi }{3}} }}{{{{left( {frac{pi }{3}} right)}^2}}}$ $ = fleft( {frac{pi }{3}} right)$, suy ra hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = frac{pi }{3}.$
d)
• Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = 2:$
Ta có:
$fleft( x right) = fleft( 2 right) = 1.$
$mathop {lim }limits_{x to 2} fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to 2} frac{{2 – 7x + 5{x^2} – {x^3}}}{{{x^2} – 3x + 2}}$ $ = frac{{left( {x – 2} right)left( { – {x^2} + 3x – 1} right)}}{{left( {x – 2} right)left( {x – 1} right)}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 2} frac{{ – {x^2} + 3x – 1}}{{x – 1}}$ $ = 1.$
Vì $mathop {lim }limits_{x to 2} fleft( x right) = fleft( 2 right)$ suy ra hàm số liên tục tại ${x_0} = 2.$
• Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = 5:$
Ta có: $mathop {lim }limits_{x to 5} fleft( x right)$ $ = frac{{2 – 7.5 + {{5.5}^2} – {5^3}}}{{{5^2} – 3.5 + 2}}$ $ = fleft( 5 right)$, suy ra hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 5.$
e)
• Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = 5:$
Ta có:
$mathop {lim }limits_{x to {5^ + }} fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to {5^ + }} frac{{x – 5}}{{sqrt {2x – 1} – 3}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to {5^ + }} frac{{left( {x – 5} right)left( {sqrt {2x – 1} + 3} right)}}{{2x – 1 – 9}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to {5^ + }} frac{{left( {x – 5} right)left( {sqrt {2x – 1} + 3} right)}}{{2x – 10}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to {5^ + }} frac{{left( {x – 5} right)left( {sqrt {2x – 1} + 3} right)}}{{2left( {x – 5} right)}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to {5^ + }} frac{{left( {sqrt {2x – 1} + 3} right)}}{2}$ $ = frac{{sqrt {2.5 – 1} + 3}}{2}$ $ = 3.$
$mathop {lim }limits_{x to {5^ – }} fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to {5^ – }} left[ {{{left( {x – 5} right)}^2} + 3} right]$ $ = 0 + 3 = 3$ $ = fleft( 5 right).$
Vì $mathop {lim }limits_{x to {5^ + }} fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to {5^ – }} fleft( x right)$ $ = fleft( 5 right)$, suy ra hàm số liên tục tại ${x_0} = 5.$
• Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = 6.$
Ta có: $mathop {lim }limits_{x to 6} fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to 6} frac{{x – 5}}{{sqrt {2x – 1} – 3}}$ $ = frac{{6 – 5}}{{sqrt {2.6 – 1} – 3}}$ $ = frac{1}{{sqrt {11} – 3}}$ $ = fleft( 6 right).$
Vậy hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 6.$
• Xét tính liên tục của hàm số tại ${x_0} = 4.$
Ta có: $mathop {lim }limits_{x to 4} fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to 4} left[ {{{left( {x – 5} right)}^2} + 3} right]$ $ = {left( {4 – 5} right)^2} + 3$ $ = 4 = fleft( 4 right)$, suy ra hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 4.$
f) Ta có:
$mathop {lim }limits_{x to – {1^ + }} fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to – {1^ + }} frac{{sqrt {2x + 3} – 1}}{{x + 1}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to – {1^ + }} frac{{2x + 3 – 1}}{{left( {sqrt {2x + 3} + 1} right)left( {x + 1} right)}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to – {1^ + }} frac{{2left( {x + 1} right)}}{{left( {sqrt {2x + 3} + 1} right)left( {x + 1} right)}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to – {1^ + }} frac{2}{{sqrt {2x + 3} + 1}}$ $ = frac{2}{{sqrt {2.left( { – 1} right) + 3} + 1}}$ $ = 1.$
$mathop {lim }limits_{x to – {1^ – }} fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to – {1^ – }} frac{{sqrt {3 – x} }}{2}$ $ = frac{{sqrt {3 – left( { – 1} right)} }}{2}$ $ = 1.$
$fleft( { – 1} right) = frac{{sqrt {3 – ( – 1)} }}{2} = 1.$
Vì $mathop {lim }limits_{x to – {1^ + }} fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to – {1^ – }} fleft( x right)$ $ = fleft( { – 1} right)$, suy ra hàm số liên tục tại ${x_0} = – 1.$
g) Ta có:
$fleft( {{x_0}} right) = fleft( 1 right) = frac{1}{2}.$
$mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{{x^2} – 1}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{left( {x – 1} right)left( {x – 2} right)}}{{left( {x – 1} right)left( {x + 1} right)}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to {1^ + }} frac{{x – 2}}{{x + 1}}$ $ = frac{{1 – 2}}{{1 + 1}}$ $ = – frac{1}{2}.$
$mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to {1^ – }} left( {x – frac{3}{2}} right)$ $ = 1 – frac{3}{2}$ $ = – frac{1}{2}.$
Vì $fleft( 1 right) ne mathop {lim }limits_{x to – 1} fleft( x right)$, suy ra hàm số không liên tục tại ${x_0} = 1.$

Ví dụ 4. Cho hàm số $fleft( x right) = left{ begin{array}{l}
frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 2}}:với:x ne 2\
a:với:x = 2
end{array} right.$. Với giá trị nào của $a$ thì hàm số đã cho liên tục tại điểm $x = 2?$

Ta có: $mathop {lim }limits_{x to 2} fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to 2} frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 2}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 2} frac{{left( {x – 1} right)left( {x – 2} right)}}{{x – 2}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 2} left( {x – 1} right)$ $ = 1.$
Hàm số liên tục tại $x = 2$ khi và chỉ khi $mathop {lim }limits_{x to 2} fleft( x right) = fleft( 2 right)$ $ Leftrightarrow a = 1.$
Vậy hàm số đã cho liên tục tại $x = 2$ khi $a = 1.$

Ví dụ 5. Cho hàm số $y = fleft( x right) = left{ begin{array}{l}
frac{{left| {2{x^2} – 7x + 6} right|}}{{x – 2}}:khi 😡 < 2\
{rm{a + }}frac{{1 – x}}{{2 + x}}:khi:x ge 2
end{array} right. .$ Xác định $a$ để hàm số $f(x)$ liên tục tại ${x_0} = 2.$

Ta có:
$mathop {lim }limits_{x to {2^ – }} fleft( x right)$ $ = frac{{left| {2{x^2} – 7x + 6} right|}}{{x – 2}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to {2^ – }} frac{{left| {left( {x – 2} right)left( {2x – 3} right)} right|}}{{x – 2}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to {2^ – }} frac{{left( {2 – x} right)left( {2x – 3} right)}}{{x – 2}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to {2^ – }} left( {3 – 2x} right)$ $ = – 1.$
$mathop {lim }limits_{x to {2^ + }} fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to {2^ + }} left( {{rm{a + }}frac{{1 – x}}{{2 + x}}} right)$ $ = a – frac{1}{4} = fleft( 2 right).$
Hàm số liên tục tại ${x_0} = 2$ $ Leftrightarrow mathop {lim }limits_{x to {2^ – }} fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to {2^ + }} fleft( x right)$ $ = fleft( 2 right)$ $ Leftrightarrow a – frac{1}{4}$ $ = – 1$ $ Leftrightarrow a = – frac{3}{4}.$

Ví dụ 6. Cho các hàm số $f(x)$ sau đây. Có thể định nghĩa $fleft( 0 right)$ để hàm số $fleft( x right)$ trở thành hàm liên tục tại $x = 0$ được không?
a) $fleft( x right) = frac{{7{x^2} – 5x}}{{12x}}$ với $x ne 0.$
b) $fleft( x right) = frac{{3x}}{{sqrt {x + 4} – 2}}$ với $x ne 0.$
c) $fleft( x right) = frac{3}{{2x}}$ với $x ne 0.$
d) $fleft( x right) = frac{{sqrt {x + 2} – sqrt {2 – x} }}{{3x}}$ với $x ne 0.$

a) Ta có: $mathop {lim }limits_{x to 0} fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{xleft( {7x – 5} right)}}{{12x}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{7x – 5}}{{12}}$ $ = – frac{5}{{12}}.$
Hàm số liên tục tại $x = 0$ khi và chỉ khi $mathop {lim }limits_{x to 0} fleft( x right) = fleft( 0 right).$
Vậy nếu bổ sung $fleft( 0 right) = – frac{5}{{12}}$ thì hàm số liên tục tại $x = 0.$
b) Ta có: $mathop {lim }limits_{x to 0} fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{3x}}{{sqrt {x + 4} – 2}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{3xleft( {sqrt {x + 4} + 2} right)}}{{x + 4 – 4}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 0} 3left( {sqrt {x + 4} + 2} right)$ $ = 12.$
Hàm số liên tục tại $x = 0$ khi và chỉ khi $mathop {lim }limits_{x to 0} fleft( x right) = fleft( 0 right).$
Vậy nếu bổ sung $fleft( 0 right) = 12$ thì hàm số liên tục tại $x = 0.$
c) Ta có $mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to {0^ + }} frac{3}{{2x}} = + infty .$
Hàm số không có giới hạn hữu hạn tại $x = 0$, do đó hàm không thể liên tục tại $x = 0.$
d) Ta có $mathop {lim }limits_{x to 0} fleft( x right)$ $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{x + 2 – 2 + x}}{{3xleft( {sqrt {x + 2} + sqrt {2 – x} } right)}}$ $ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{2}{{3left( {sqrt {x + 2} + sqrt {2 – x} } right)}}$ $ = frac{2}{{6sqrt 2 }}$ $ = frac{1}{{3sqrt 2 }}.$
Hàm số liên tục tại $x = 0$ khi và chỉ khi $mathop {lim }limits_{x to 0} fleft( x right) = fleft( 0 right).$
Vậy nếu bổ sung $fleft( 0 right) = frac{1}{{3sqrt 2 }}$ thì hàm số liên tục tại $x = 0.$

 

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button