Kiến thức

Công thức tích phân từng phần và 4 dạng toán liên quan-ToanHoc.org

Công thức tích phân từng phần và 4 dạng toán liên quan

Khi luyện đề, rất nhiều bạn mới ngộ ra có nhiều bài tập tích phân chỉ cần sử dụng

công thức tích phân

căn bản là ra, nhưng nhiều bài áp dụng hoài không ra. Đúng vậy, muốn giải nó bạn cần phải có một phương pháp hiệu quả. Hôm nay, ToanHoc sẽ giới thiệu với bạn phương pháp tích phân từng phần khá hiệu quả, nó dựa trên

tích phân

cơ bản được học ở bài trước (nên xem lại). Chúng ta cùng nhau bắt đầu vào bài viết này

Mục lục

ẩn

1. Công thức tích phân từng phần

2. Phương pháp tính tích phân từng phần

Dạng 1: Tích phân có chứa hàm số logarit

Dạng 2: Tích phân có chứa hàm số mũ

Dạng 3: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm đa thức

Dạng 4: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm số mũ

3. Ví dụ

1. Công thức tích phân từng phần

Công thức tích phân từng phần

công thức tích phân từng phần

2. Phương pháp tính tích phân từng phần

Dựa theo nội dung học từ sách giáo khoa, câu trắc nghiệm trong đề thi chính thức của BGD&ĐT mà bài viết này chia tích phân từng phần thành 4 dạng quan trọng sau đây:

Bạn đang xem: Công thức tích phân từng phần và 4 dạng toán liên quan-ToanHoc.org

Dạng 1: Tích phân có chứa hàm số logarit

Tính tích phân $intlimits_m^n {fleft( x right)ln left( {ax + b} right)dx} $ ( Trong đó f(x) là hàm số đa thức)

Hướng dẫn

Khi gặp dạng 2 này, bạn cần làm theo 2 bước sau:

phương pháp tích phân từng phần

Dạng 2: Tích phân có chứa hàm số mũ

Tính tích phân $intlimits_m^n {fleft( x right){e^{ax + b}}dx} {rm{ }}$ (trong đó f(x) là hàm số đa thức)

Hướng dẫn

Khi gặp dạng 2 này, bạn cần làm theo 2 bước sau:

cách tính tích phân từng phần

Dạng 3: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm đa thức

Tính tích phân $intlimits_m^n {fleft( x right)sin left( {ax + b} right)dx} $ hoặc $intlimits_m^n {fleft( x right)cos left( {ax + b} right)dx} $. (trong đó f(x) là hàm số đa thức)

Hướng dẫn

Khi gặp dạng 3 này, bạn cần làm theo 2 bước sau:

tính tích phân từng phần

Dạng 4: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm số mũ

Tính tích phân $intlimits_m^n {{e^{ax + b}}sin left( {cx + d} right)dx} $ hoặc $intlimits_m^n {{e^{ax + b}}cos left( {cx + d} right)dx} $

Hướng dẫn

Khi gặp dạng 4 này, bạn cần làm theo 2 bước sau:

công thức tính tích phân từng phần

– Đối với dạng toán này, ta cần thực hiện hai lần tích phân từng phần.

– Ở bước 1, ta cũng có thể đặt $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {u = {e^{ax + b}}}\ {dv = sin left( {cx + d} right)dx} end{array}} right.$ hay $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {u = {e^{ax + b}}}\ {dv = cos left( {cx + d} right)dx} end{array}} right.$

3. Ví dụ

Hãy tính tích phân sau

a) $I = intlimits_0^1 {left( {x – 2} right){e^{2x}}dx} $

b) $I = intlimits_0^1 {{x^3}{e^{{x^2}}}dx} $

c) $I = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{x^2}c{rm{osxdx}}} $

d) $I = intlimits_1^2 {frac{{ln left( {x + 1} right)}}{{{x^2}}}dx} $

Lời giải

a)

Bước 1: Đặt $left{ begin{array}{l} u = x – 2\ dv = {e^{2x}}dx end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l} du = dx\ v = frac{1}{2}{e^{2x}} end{array} right.$ .

Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng phân, ta có :
$begin{array}{l} I = frac{1}{2}left( {x – 2} right){e^{2x}}left| {begin{array}{*{20}{c}} 1\ 0 end{array} – frac{1}{2}intlimits_0^1 {{e^{2x}}dx} } right.\ = frac{1}{2}left( { – {e^2} + 2} right) – frac{1}{4}{e^{2x}}left| {begin{array}{*{20}{c}} 1\ 0 end{array} = frac{{5 – 3{e^2}}}{4}} right. end{array}$

b)

Ta đặt $t = {x^2} Rightarrow left{ begin{array}{l} dt = 2xdx;x = 0 to t = 0,x = 1 to t = 1\ f(x)dx = t{e^t}dt end{array} right.$

Do đó: $begin{array}{l} I = intlimits_0^1 {t.{e^t}dt} = frac{1}{2}intlimits_0^1 {t.dleft( {{e^t}} right)} \ = frac{1}{2}left( {t.{e^t} – {e^t}} right)left| {begin{array}{*{20}{c}} 1\ 0 end{array} = frac{1}{2}} right. end{array}$

c)

Ta đặt: $left{ begin{array}{l} u = {x^2}\ dv = c{rm{osxdx}} end{array} right. to left{ begin{array}{l} du = 2xdx\ {rm{v = sinx}} end{array} right.$

Khi đó:

$begin{array}{l} I = {x^2}.{mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}left| {begin{array}{*{20}{c}} {frac{pi }{2}}\ 0 end{array} – intlimits_0^{frac{pi }{2}} {2x.{mathop{rm s}nolimits} {rm{inxdx}}} } right.\ = frac{{{pi ^2}}}{4} + intlimits_0^{frac{pi }{2}} {x.dleft( {c{rm{osx}}} right)} \ = frac{{{pi ^2}}}{4} + left( {x.c{rm{osx}}left| {begin{array}{*{20}{c}} {frac{pi }{2}}\ {rm{0}} end{array} – intlimits_0^{frac{pi }{2}} {c{rm{osxdx}}} } right.} right)\ = frac{{{pi ^2}}}{4} + left( {0 – {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}left| {begin{array}{*{20}{c}} {frac{pi }{2}}\ {rm{0}} end{array}} right.} right) = frac{{{pi ^2} – 4}}{4} end{array}$

d)

$begin{array}{l} intlimits_1^2 {frac{{ln left( {x + 1} right)}}{{{x^2}}}dx} = – frac{{ln left( {x + 1} right)}}{x} + intlimits_1^2 {frac{1}{{xleft( {x + 1} right)}}dx} \ = ln 2 – frac{{ln 3}}{2} + intlimits_1^2 {left( {frac{1}{x} – frac{1}{{x + 1}}} right)dx} \ = ln 2 – frac{{ln 3}}{2} + ln left( {frac{x}{{x + 1}}} right)left| {begin{array}{*{20}{c}} 2\ 1 end{array}} right.\ = ln 2 – frac{{ln 3}}{2} – ln 3\ = frac{{ln 2 – 3ln 3}}{2} end{array}$

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button