Kiến thức

Tìm cực trị của hàm số lũy thừa-Mũ-Logarit

Toán học

Mũ – Logarit

Toán học 12

Bài 3.5 – Tìm cực trị của hàm số lũy thừa – Mũ – Logarit

by

AdminTLH

26/12/2020

Tìm cực trị của hàm số lũy thừa – Mũ – Logarit

Ví dụ 1. Phát biểu nào sau đây đúng khi nói về hàm số  ( y=frac{{{e}^{x}}}{x+1} )?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ( left( -infty ;0 right) )

B. Hàm số đồng biến trên khoảng  ( left( 0;+infty right) )

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 0

D. Hàm số có hai điểm cực trị

Đáp án B

Tập xác định:  ( D=mathbb{R}backslash left{ -1 right} ).

Ta có:  ( {y}’=frac{{{e}^{x}}(x+1)-{{e}^{x}}}{{{(x+1)}^{2}}}=frac{x{{e}^{x}}}{{{(x+1)}^{2}}} );

 ( {y}’=0Leftrightarrow x=0 )

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra B đúng

Ví dụ 2. Cho hàm số  ( y=frac{ln x}{x} ). Trong các phát biểu sau, đâu là phát biểu đúng?

A. Hàm số có 1 cực tiểu

B. Hàm số có 1 cực đại

C. Hàm số không có cực trị

D. Hàm số có 1 cực đại và 1 cực tiểu

Đáp án B

Tập xác định:  ( D=left( 0;+infty  right) )

Ta có:  ( {y}’=frac{frac{1}{x}.x-ln x}{{{x}^{2}}}=frac{1-ln x}{{{x}^{2}}} ),  ( {y}’=0Leftrightarrow frac{1-ln x}{{{x}^{2}}}=0  )   ( Leftrightarrow ln x=1Leftrightarrow x=e )

Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số có 1 cực đại là  ( x=e ).

Ví dụ 3. Hàm số  ( y=left( {{x}^{2}}+1 right){{e}^{x}} ) có bao nhiêu cực trị?

A. 0

B. 1                                   

C. 2                                   

D. 3

Đáp án A

Ta có: ({y}’=2x{{e}^{x}}+left( {{x}^{2}}+1 right){{e}^{x}})(=left( {{x}^{2}}+2x+1 right){{e}^{x}}) (={{left( x+1 right)}^{2}}{{e}^{x}}ge 0,forall xin mathbb{R})

Suy ra hàm số đồng biến trên (mathbb{R}), khi đó hàm số không có cực trị

Ví dụ 4. Hàm số  ( y={{left( x+1 right)}^{2}}{{e}^{x}} ) có bao nhiêu cực trị?

A. 0

B. 1

C. 2                                   

D. 3

Đáp án C

Ta có:  ( {y}’=2left( x+1 right){{e}^{x}}+{{left( x+1 right)}^{2}}{{e}^{x}} )  ( =left( x+1 right)left( x+2 right){{e}^{x}} )

 ( {y}’=0Leftrightarrow left[ begin{align}& x=-1 \& x=-2 \end{align} right. )  đều là các nghiệm đơn phân biệt ( ( y’ ) đổi dấu qua nó)

Suy ra hàm số có 2 cực trị

Ví dụ 5. Hàm số  ( y={{e}^{x}}+{{e}^{-x}} ) có bao nhiêu cực trị?

A. 0

B. 1

C. 2                                   

D. 3

Đáp án B

Ta có:  ( {y}’={{e}^{x}}-{{e}^{-x}} );  ( {y}’=0Leftrightarrow {{e}^{x}}={{e}^{-x}} )  ( Leftrightarrow x=-xLeftrightarrow x=0 )

Do ( {y}”={{e}^{x}}+{{e}^{-x}}>0,forall xin mathbb{R} ), suy ra  ( x=0 ) là điểm cực tiểu hay hàm số có cực trị

Ví dụ 6. Cho hàm số  ( y={{x}^{2}}-ln left( 1+2x right) ). Trong các kết luận sau, đâu là kết luận không đúng?

A. Hàm số có hai cực trị

B. Hàm số đạt cực tiểu tại  ( x=frac{1}{2} )

C. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng  ( frac{1}{4}-ln 2 )

D. Hàm số đồng biến trên khoảng  ( left( frac{1}{2};+infty right) )

Đáp án A

Tập xác định: ( D=left( -frac{1}{2};+infty  right) )

Ta có:  ( {y}’=2x-frac{2}{1+2x}=frac{2left( 2{{x}^{2}}+x-1 right)}{{{left( 1+2x right)}^{2}}} )

Khi đó: ( {y}’=0Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+x-1=0 ) ( Leftrightarrow left[ begin{align}& x=-1 \& x=frac{1}{2} \end{align} right. ) ( xrightarrow{D=left( -frac{1}{2};+infty  right)}x=frac{1}{2} )

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra A sai.

Ví dụ 7. Cho hàm số  ( y=frac{1}{2}left( m-1 right){{x}^{2}}-mx+ln x ). Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1.

A.  ( mle 2 )

B.  ( mle 1 )

C.  ( m<2  )                    

D.  ( min mathbb{R} )

Đáp án C

Tập xác định:  ( D=left( 0;+infty  right) )

Ta có:  ( {y}’=(m-1)x-m+frac{1}{x} ) và ( {y}”=m-1-frac{1}{{{x}^{2}}} )

Ta có:  ( {y}”(1)=m-1-1=m-2 )

+ Xét  ( {y}”(1)=0Leftrightarrow m=2 ), khi đó  ( {y}’=x-2+frac{1}{x}=frac{{{(x-1)}^{2}}}{x} ) không đổi dấu qua  ( x=1 ), suy ra hàm số không đạt cực trị tại  ( x = 1 ).

+ khi đó hàm số đạt cực đại tại (x=1) (Rightarrow {y}”(1)<0 )  ( Leftrightarrow m-2<0Leftrightarrow m<2 )  

0 comment

0

Facebook

Twitter

Pinterest

Email

Related Posts

Leave a Comment

Cancel Reply

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button