Kiến thức

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức-Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Toán 8

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức

Tải về

Bản in

92 116.088

Tải về

Bài viết đã được lưu

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức lớp 8

  • A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

  • B. Các bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức

được

VnDoc

sưu tầm và đăng tải. Tài liệu này giúp các bạn nắm rõ khái niệm cũng như phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức. Mời các bạn tham khảo tài liệu dưới đây

  • Giải bài tập SGK Toán lớp 8 bài 5: Diện tích hình thoi

  • Giải bài tập SGK Toán lớp 8 bài 6: Diện tích đa giác

  • Giải bài tập SGK Toán lớp 8: Ôn tập chương 2 – Đa giác. Diện tích đa giác

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 8, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 8 sau:

Nhóm Tài liệu học tập lớp 8

. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Bạn đang xem: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức-Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Toán 8

A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

1. Khái niệm

– Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên.

2. Phương pháp

a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần:

+ Chứng minh A ≥ k với k là hằng số

+ Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến

b) Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần:

+ Chứng minh A ≤ k với k là hằng số

+ Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến

Kí hiệu: min A là giá trị nhỏ nhất của A; max A là giá trị lớn nhất của A

B. Các bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

I. Dạng 1: Tam thức bậc hai

Phương pháp: Đối với dạng tam thức bậc hai ta đưa biểu thức đã cho về dạng bình phương một tổng (hoặc hiệu) cộng (hoặc trừ) đi một số tự do.

Tổng quát: 

  • d – (a ± b)2 ≤ d Ta tìm được giá trị lớn nhất
  • (a ± b)2± c ≥ ± c  Ta tìm được giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 1:

a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x2 – 8x + 1

b, Tìm giá trị lớn nhất của B = -5x2 – 4x + 1

Lời giải:

a, A = 2(x2 – 4x + 4) – 7 = 2(x – 2)2 – 7 ≥ -7

min A = -7 khi và chỉ khi x = 2

b, B = - 5left( {{x^2} + frac{4}{5}x} right) + 1 = - 5left( {{x^2} - 2.x.frac{2}{5} + frac{4}{{25}}} right) + frac{9}{5} = frac{9}{5} - 5{left( {x + frac{2}{5}} right)^2} le frac{9}{5}

maxB = frac{9}{5} Leftrightarrow x = - frac{2}{5}

Ví dụ 2: Cho tam thức bậc hai P(x) = ax2 + bx + c

a, Tìm min P nếu a > 0

b, Tìm max P nếu a < 0

Lời giải:

Ta có P = aleft( {{x^2} + frac{b}{a}x} right) + c = a{left( {x + frac{b}{{2a}}} right)^2} + left( {c - frac{{{b^2}}}{{4a}}} right)

Đặt k = c - frac{{{b^2}}}{{4a}}. Do {left( {x + frac{b}{{2a}}} right)^2} ge 0nên:

a, Nếu a > 0 thì a{left( {x + frac{b}{{2a}}} right)^2} ge 0do đó  P ≥ k ⇒ min P = k

b, Nếu a < 0 thì a{left( {x + frac{b}{{2a}}} right)^2} le 0do đó P ≤ k ⇒ max P = k ⇒ x = frac{{ - b}}{{2a}}

Bài tập vận dụng

Bài tập: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây:

a, A = -x2 + x + 1 b, B = x2 + 3x + 4
c, C = x2 – 11x + 30 d, D = x2 – 2x + 5
e, E = 3x2 – 6x + 4 f, F = -3x2 – 12x – 25

II. Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp: Có hai cách để giải bài toán này:

Cách 1: Dựa vào tính chất |x| ≥ 0. Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng A ≥ a (với a là số đã biết) để suy ra giá trị nhỏ nhất của A là a hoặc biến đổi về dạng A ≤ b (với b là số đã biết) từ đó suy ra giá trị lớn nhất của A là b.

Cách 2: Dựa vào biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối. Ta sẽ sử dụng tính chất:

∀x, y ∈ mathbb{Q} ta có: 

  • left | x+y right |leqleft | xright | +left | yright |
  • left | x-y right |leqleft | xright | -left | yright |

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a. A = (3x – 1)2 – 4|3x – 1| + 5

b. B = |x – 2| + |x – 3|

Lời giải:

a, A = {left( {3x - 1} right)^2} - 4left| {3x - 1} right| + 5

Đặt y = left| {3x - 1} right| Rightarrow A = {y^2} - 4y + 5 = {left( {y - 2} right)^2} + 1 ge 1

min A = 1Leftrightarrow y = 2 Leftrightarrow left| {3x - 1} right| = 2 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}3x - 1 = 2\3x - 1 = - 2end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = 1\x = dfrac{{ - 1}}{3}end{array} right.

b, B = left| {x - 2} right| + left| {x - 3} right|

B = left| {x - 2} right| + left| {x + 3} right| ge left| {x - 2 + 3 - x} right| = 1

Rightarrow min B = 1 Leftrightarrow left( {x - 2} right)left( {3 - x} right) ge 0 Leftrightarrow 2 le x le 3

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của C = |x2 – x + 1| + |x2 – x – 2|

Hướng dẫn giải

Ta có:

C = |x2 – x + 1| + |x2 – x – 2| ≥ |x2 – x + 1 + 2 + x – x2| = 3

MinC = 3 ⇔ (x2 – x + 1)(2 + x – x2) ≥ 0 ⇔ (x + 1)(x – 2) ≤ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 2

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của T = |x – 1| + |x – 2| + |x – 3| + |x – 4|

Hướng dẫn giải

Ta có |x – 1| + |x – 4| ≥ |x – 1 + 4 – x| = 3 (1)

Và |x – 2| + |x – 3| ≥ |x – 2 +3 – x| = 1(2)

Vậy T ≥ 1 + 3 = 4

Từ (1) suy ra dấu bằng xảy ra khi 1 ≤ x ≤ 4

Từ (2) suy ra dấu bằng xảy ra khi 2 ≤ x ≤ 3

Vậy T có giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi 2 ≤ x ≤ 3

Bài tập vận dụng: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây:

A = |x – 2004| + |x – 2005|

B = |x – 2| + |x – 9| + 1945

C = -|x – 7| – |y + 13| + 1945

III. Dạng 3: Đa thức bậc cao

  • Dạng phân thức
  • Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai
  • Các phân thức có dạng khác

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:

a. A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7)

b. B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + 3

c. C = x2 + xy + y2 – 3x – 3

Lời giải:

a, A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) = (x2 – 7x)(x2 – 7x + 12)

Đặt y = x2 – 7x + 6 thì A = (y – 6)(y + 6) = y2 – 36 ≥ -36

MinA = - 36 Leftrightarrow y = 0 Leftrightarrow {x^2} + 7x + 6 = 0 Leftrightarrow left( {x - 1} right)left( {x - 6} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = 1\ x = 6 end{array} right.

b, B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + 3 = (x2 – 2xy + y2) + (x2 – 2x + 1) + 2

= {left( {x - y} right)^2} + {left( {x - 1} right)^2} + 2 ge 2 Leftrightarrow left{ begin{array}{l} x - y = 0\ x - 1 = 0 end{array} right. Leftrightarrow x = y = 1

c, C = x2 + xy + y2 – 3x – 3 = x2 – 2x + y2 – 2y + xy – x – y

Ta có C + 3 = left( {{x^2} - 2x + 1} right) + left( {{y^2} - 2y + 1} right) + left( {xy - x - y + 1} right)

= {left( {x - 1} right)^2} + {left( {y - 1} right)^2} + left( {x - 1} right)left( {y - 1} right) Đặt a = x - 1;b = y - 1 thì

C + 3 = {a^2} + {b^2} + ab = left( {{a^2} + 2.a.frac{b}{2} + frac{{{b^2}}}{4}} right) + frac{{3{b^2}}}{4} = {left( {a + frac{b}{2}} right)^2} + frac{{3{b^2}}}{4} ge 0

Vậy Min(C + 3) = 0 hay min C = -3⇔ a = b = 0 ⇔ x = y = 1

Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a, A = 2{x^2} + 2xy + {y^2} - 2x + 2y + 2

b, B = {x^4} - 8xy + {x^3}y + {x^2}{y^2} - x{y^3} + {y^4} + 200

c, C = {x^2} + xy + {y^2} - 3x - 3y

d, D = xleft( {x + 1} right)left( {{x^2} + x - 4} right)

Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A = - {x^2} - {y^2} + xy + 2x + 2y

——————————————————————————– 

Ngoài

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức

. Mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các

đề thi học học kì 1 lớp 8

,

đề thi học học kì 2 lớp 8

các

môn Toán

,

Văn

,

Anh

,

Hóa

, Lý, Địa, Sinh mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với đề thi học kì 2

lớp 8

này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn ôn thi tốt

Mời bạn đọc tham khảo thêm một số bài học bổ trợ liên quan:

  • Các dạng bài tập Toán lớp 8

  • Bài tập tổng hợp hình học lớp 8

  • 20 chuyên đề bồi dưỡng Toán lớp 8

  • 50 đề ôn tập Toán lớp 8 cơ bản

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button