Kiến thức

Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác (dạng vô định $frac{0}{0}$)-HangDangThuc

Bài tập

Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác (dạng vô định $frac{0}{0}$)

Mục lục

ẩn

1. Cơ sở phương pháp

2. Ví dụ minh họa

3. Bài tập rèn luyện

Bạn đang xem: Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác (dạng vô định $frac{0}{0}$)-HangDangThuc

1. Cơ sở phương pháp

Vận dụng các công thức lượng giác để biến đổi hàm số lượng giác thành dạng có thể sử dụng định lí:

$underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{sin x}{x}=1$ hoặc $underset{xto 0}{mathop{lim }},uleft( x right)=0Rightarrow underset{uleft( x right)to 0}{mathop{lim }},frac{sin uleft( x right)}{uleft( x right)}=1;underset{uleft( x right)to 0}{mathop{lim }},frac{uleft( x right)}{sin uleft( x right)}=1$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính các giới hạn của hàm số sau

a) $underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{tan x-sin x}{{{x}^{3}}}$

b) $underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{1-sin 2x-cos 2x}{1+sin 2x-cos 2x}$

c) $underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{1-{{cos }^{2}}2x}{xsin x}$

Hướng dẫn

a) $underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{tan x-sin x}{{{x}^{3}}}=underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{sin xleft( frac{1}{cos x}-1 right)}{{{x}^{3}}}=underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{2sin x{{sin }^{2}}frac{x}{2}}{{{x}^{3}}cos x}$

$text{ }=2underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{sin x}{x}.underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{{{sin }^{2}}frac{x}{2}}{{{left( frac{x}{2} right)}^{2}}}.underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{1}{cos x}=frac{1}{2}$

b) $underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{1-sin 2x-cos 2x}{1+sin 2x-cos 2x}=underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{2{{sin }^{2}}x-sin 2x}{2{{sin }^{2}}x+sin 2x}=underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{2sin xleft( sin x-cos x right)}{2sin xleft( sin x+cos x right)}=1$

c) $underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{1-{{cos }^{2}}2x}{xsin x}=underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{{{sin }^{2}}2x}{xsin x}=underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{4sin x{{cos }^{2}}x}{x}=4$

Ví dụ 2. Tính các giới hạn của hàm số sau:

a) $underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{sin 3x}{1-2cos x}$

b) $underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{1-cos 5xcos7x}{{{sin }^{2}}11x}$

c) $underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{cos 12x-cos 10x}{cos 8x-cos 6x}$

Hướng dẫn và Đáp số

a) Xét hàm số $fleft( x right)=frac{sin 3x}{1-cos x}$, đặt $x=frac{pi }{3}-t$

Lúc đó: $fleft( x right)=fleft( frac{pi }{3}-t right)=frac{sin left( pi -3t right)}{1-2left( cos frac{pi }{3}cos t+sin frac{pi }{3}sin t right)}=frac{sin 3t}{1-cos t-sqrt{3}sin t}$

$text{ }=frac{sin 3t}{1-{{sin }^{2}}frac{t}{2}-2sqrt{3}sin frac{t}{2}cos frac{t}{2}}=frac{sin 3t}{2sin frac{t}{2}left( sin frac{t}{2}-sqrt{3}cos frac{t}{2} right)}$

$underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{sin 3x}{1-cos x}=underset{tto 0}{mathop{lim }},frac{sin 3t}{2sin frac{t}{2}left( sin frac{t}{2}-sqrt{3}cos frac{t}{2} right)}=underset{tto 0}{mathop{lim }},frac{frac{6t}{2}.frac{sin 3t}{3t}}{2sin frac{t}{2}left( sin frac{t}{2}-sqrt{3}cos frac{t}{2} right)}=-sqrt{3}$

b) $underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{1-cos 5xcos 7x}{{{sin }^{2}}11x}=underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{1-cos 5x+cos 5x-cos 5xcos 7x}{{{sin }^{2}}11x}=underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{2{{sin }^{2}}frac{5x}{2}+cos 5xleft( 1-cos 7x right)}{{{sin }^{2}}11x}$

$begin{align}
& text{ }=underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{2{{sin }^{2}}frac{5x}{2}+2cos 5x{{sin }^{2}}frac{7x}{2}}{{{sin }^{2}}11x}=2underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{frac{frac{25}{4}{{sin }^{2}}frac{5x}{2}}{{{left( frac{5x}{2} right)}^{2}}}+cos 5xfrac{frac{49}{4}{{sin }^{2}}frac{7x}{2}}{{{left( frac{7x}{2} right)}^{2}}}}{{{11}^{2}}frac{{{sin }^{2}}11x}{{{left( 11x right)}^{2}}}} \
& text{ }=2.frac{frac{25}{4}+frac{49}{4}}{{{11}^{2}}}=frac{37}{121} \
end{align}$

c) $underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{cos 12x-cos 10x}{cos 8x-cos 6x}=underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{sin 11x}{sin 7x}=frac{11}{7}$

3. Bài tập rèn luyện

Bài 1. Tính các giới hạn sau

a) $underset{xto 0}{mathop{lim }},left( frac{2}{sin 2x}-cot x right)$

b) $underset{xto 1}{mathop{lim }},frac{sqrt{x+3}-2x}{tan left( x-1 right)}$

c) $underset{xto frac{pi }{4}}{mathop{lim }},left[ tan 2xtan left( frac{pi }{4}-x right) right]$

d) $underset{xto 0}{mathop{lim }},left[ frac{98}{83}left( frac{1-cos 3xcos 5xcos 7x}{{{sin }^{2}}7x} right) right]$

e) $underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{{{cos }^{4}}x-{{sin }^{4}}x-1}{sqrt{{{x}^{2}}+1}-1}$

f) $underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{sin left( sin x right)}{x}$

g) $underset{xto 1}{mathop{lim }},frac{sqrt{2x+1}-sqrt[3]{{{x}^{2}}+1}}{sin x}$

h) $underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{sqrt{cos x}-sqrt[3]{cos x}}{{{sin }^{2}}x}$

Đáp số:

a) 0

b) $-frac{7}{4}$

c) $frac{1}{2}$

d) $1$

e) $-4$

f) 1

g) 1

h) $-frac{1}{12}$

Bài 2. Tính các giới hạn sau

a) $underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{sin 5x}{3x}$

b) $underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{1-cos 2x}{{{x}^{2}}}$

c) $underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{cos x-cos 7x}{{{x}^{2}}}$

d) $underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{cos x-cos 3x}{{{sin }^{2}}x}$

e) $underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{tan x-sin x}{{{x}^{3}}}$

f) $underset{xto 0}{mathop{lim }},left( frac{1}{sin x}-frac{3}{sin 3x} right)x$

g) $underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{sin 2x+sin x}{3sin x}$

h) $underset{xto 0}{mathop{lim }},frac{1-sin x-cos 2x}{sin x}$

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button