Kiến thức

Tìm m để hàm bậc 4 đồng biến, nghịch biến trên khoảng

Tìm m để hàm bậc 4 đồng biến, nghịch biến trên khoảng

HOCTOAN24H

· 03/09/2016

Trong chuyên đề về tính biến thiên của hàm số thầy đã có khá nhiều bài giảng viết về dạng tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến. Tuy nhiên đó mới chỉ là hàm bậc 3, hàm phân thức. Hôm nay thầy sẽ gửi tiếp tới các bạn cách tìm m để hàm số bậc 4 đồng biến, nghịch biến trên khoảng bất kì cho trước.

Chú ý với các bạn 1 chút: Rất nhiều bạn comment hỏi bài toán mà trong bài giảng thầy đã có phương pháp hướng dẫn cụ thể rồi. Vì vậy trước khi comment các bạn nên xem kĩ những bài giảng trong chuyên đề này của thầy đã, rồi hãy đặt cầu hỏi thảo luận.

Xem đầy đủ chuyên đề đồng biến, nghịch biến:

Tại đây nhé

Bạn đang xem: Tìm m để hàm bậc 4 đồng biến, nghịch biến trên khoảng

Tìm m để hàm bậc 4 đồng biến, nghịch biến trên khoảng

Thông thường trong các bài giảng thầy đã sử dụng 2 phương pháp, đó là:

  1. Cô lập tham số m, sử dụng bảng biến thiên, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. Phương pháp này chỉ sử dụng khi các bạn cô lập được m, thường lũy thừa của $m=1$, nếu lớn hơn 1 thì sử dụng phương pháp 2.
  2. Sử dụng xét dấu của tam thức bậc 2, vào bảng biến thiên và dựa vào từng dạng của đồ thị hàm số.

Trong bài giảng ngày hôm nay thầy sẽ hướng dẫn các bạn sử dụng phương pháp thứ 2 đối với hàm bậc 4. Đây là phương pháp tổng quát có thể áp dụng cho mọi bài toán.

Xem thêm bài giảng:

  • Một số mẹo phân tích đồ thị hàm số bậc 3

  • Một số mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 4

  • Đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập thể tích khối đa diện

Bài tập: Tìm m để hàm số bậc 4,  $y=-x^4+2mx^2-m^2$ nghịch biến trên khoảng $(1;+infty)$

TXĐ: $D=R$

$y’=-4x^3+4mx =-4x(x^2-m)$

$y’=0 Leftrightarrow left[begin{array}{ll}x=0hspace{2cm}(1)\x^2=mhspace{2cm}(2)end{array}right.$

Với hàm bậc 4 trùng phương các bạn thấy nó luôn có khoảng đồng biến, nghịch biến. Tức là không bao giờ nó đồng biến hay nghịch biến trên R.

Tới đây sẽ có 2 trường hợp xét với $y’=0$. Ở đây các bạn có thể dựa vào dạng đồ thị của hàm bậc 4 để rõ hơn.

  • Trường hợp 1: Phương trình $y’=0$ có 1 nghiệm
  • Trường hợp 1: Phương trình $y’=0$ có 3 nghiệm

Trường hợp 1: Phương trình $y’=0$ có 1 nghiệm.

Các bạn thấy $x=0$ là 1 nghiệm rồi, do đó phương trình 2 phải vô nghiệm hoặc nếu có nghiệm thì nghiệm đó phải bằng 0. Từ đây ta có: $mleq 0$

Với $mleq 0$ thì phương trình $y’=0$ có 1 nghiệm $x=0$

Bảng biến thiên:

bang bien thien ham bac 4 có 1 nghiem

 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số luôn nghịch biến trên khoảng $(0;+infty)$. Vậy hàm số cũng luôn nghịch biến trên khoảng $(1;+infty)$ với $mleq 0$

Trường hợp 2: Phương trình $y’=0$ có 3 nghiệm phân biệt.

Lúc này phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt $Rightarrow m>0 Rightarrow$ $left[begin{array}{ll}x_1=-sqrt{m}\x_2=sqrt{m}end{array}right.$

Bảng biến thiên:

bang-bien-thien-ham-bac-4-co-3-nghiem-phan-biet

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, để hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;+infty)$ thì $x_1<x_2leq 1 Leftrightarrow mleq 1$. Kết luận ở trường hợp 2 này là :$0< mleq 1$

Như vậy ở trường hợp 1 thì điều kiện của m là: $mleq 0$, ở  trường hợp 2 thì điều kiện của m là :$0< mleq 1$

Kết hợp 2 trường hợp lại ta có: Với $mleq 1$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;+infty)$

Không khó khăn lắm với bài toán tìm m để hàm bậc 4 nghịch biến trên đây chứ các bạn. Vâng đó là tìm m để hàm số nghịch biến. Thế nếu bài toán ở dạng tìm m để hàm số đồng biến thì sao? Các bạn sẽ vẫn áp dụng phương pháp này bình thường.

Xem thêm bài giảng về phương pháp này:

Tìm m dựa vào xét dấu của tam thức bậc 2

Theo phỏng đoán chắc chắn sẽ có bạn comment hỏi về dạng đồng biến thì làm thế nào hả thầy? Cho nên thầy sẽ nói thêm chỗ này 1 chút.

Giả sử ta thay đổi yêu cầu bài toán đôi chút nhé:

Tìm m để hàm số bậc 4,  $y=-x^4+2mx^2-m^2$ đồng biến trên khoảng $(1;2)$

Các bạn vẫn xét 2 trường hợp như trên thôi, lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên để kết luận. Nhưng để ý sẽ thấy ở trường hợp 1 các bạn sẽ không tìm được m thỏa mãn hàm số đồng biến trên $(1;2)$.

Với trường hợp 2, để hàm số đồng biến trên khoảng $(1;2)$ thì $x_1<0<1<2<x_2$ (dựa vào bảng biến thiên do các bạn lập nên nhé). Từ đây các bạn sẽ có $2leq sqrt{m}$ hay $mgeq 4$

bang-bien-thien-ham-bac-4-co-3-nghiem-phan-biet-p2

Lời kết

Như vậy dạng toán tìm m để hàm bậc 4 đồng biến, nghịch biến trên khoảng bất kì cho trước sẽ đóng góp cho sự đầy đủ của chuyên đề về tính biến thiên của đồ thị hàm số. Mọi thắc mắc của các bạn về dạng bài tập tìm m hầu như đã được giải đáp trong chuyên đề này. Mọi đóng góp ý kiến cho bài giảng này nói riêng và chuyên đề này nói chung, xin comment xuống khung thảo luận phía dưới.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button