Kiến thức

CHUYÊN ĐỀ: TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC

A

A

A+

|

Tăng tương phản

Giảm tương phản

Bạn đang xem: CHUYÊN ĐỀ: TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC

CHUYÊN ĐỀ: TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC

Người thực hiện: Trịnh Thị NGa Thành phần :Tổ KHTN Ngày báo cáo: 10/10/2018

CHUYÊN ĐỀ:  TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC

 

 

Người thực hiện: Trịnh Thị NGa

Thành phần :Tổ KHTN

Ngày báo cáo: 10/10/2018

 

A.Lý thuyết

I.Chia đa thức.

1.Khái niệm.

+) A B A=B.Q

+) Với 2 da thức một biến A và B tùy ý, tồn tại duy nhất 2 đa thức Q và R sao cho:

A=B.Q+R 

(R=0 hoặc R có bậc nhỏ hơn bậc của B)

  • R=0 ta có pép chia hết.
  • R 0 ta có phép chia có dư

2. Tính chất.

a) A(x)  C(x); B(x)   C(x) A(x)   B(x)   C(x)

b) A(x)  B(x)   A(x).M(x)   B(x) 

c) A(x)  M(x); B(x)   N(x) A(x)  . B(x)   M(x). N(x)

II. Tìm dư của phép chia mà không thực hiện phép chia.

  1. Đa thức chia có dạng x-a (a là hằng số)

*Phương pháp:

+ Sử dụng định lí Bơdu

+Sử dụng sơ đồ Hoocne

1.1. Định lí Bơdu

a)Định lí: Số dư của phép chia đa thức f (x) cho nhị thức x-a  đúng bằng f(a)

Ví dụ:  Tìm số dư của phép chia da thức f(x) = x243+x27+x9+x3+1 cho x+1

Giải:

Theo định lí Bơdu ta có số dư của phép chia f(x) cho x+1 đúng băng f(-1)

Có f(-1)= (-1)243+(-1)27+(-1)9+(-1)3+1=-3

Vậy số dư của phép chia đa thức f(x) cho x+1 bằng -3.

b) Hệ quả.

+)   f(x) (x-a) f(a)=0.

+)  Đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x)   (x-1)

+)  Đa thức f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x)   (x+1).

  1. .Sơ đồ Hooc-ne.
  1. Sơ đồ

Ví dụ1  : Tìm đa thức thương và dư cuả phép chia đa thức x3-5x2+8x-4 cho x-2 mà không cần thực hiện phép chia.

GV thực hiện mẫu:

 

1

-5

8

-4

a= 2

1

-3

2

0

Ví dụ 2:(x3-7x+6):(x+3)

HS thực hiện VD2.

GV tổng quát:

Với đa thức f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…..+an-1x+an.

Ta có sơ đồ Hoocne:

 

a0

a1

a2

……

an-1

an

a

B0=a0

b1=a.b0+a1

b2=a.b1+a2

……

bn-1=a.bn-2+an-1

r=a.bn-1+an

 b,Chứng minh sơ đồ  (Nâng cao phát triển )                                                                                                          c,Áp dụng sơ đồ  Hooc –ne để tính giá trị của đa thức  f(x) tại x=a (Đọc SGK/68)
2. Đa thức chia có bậc từ bậc hai trở lên
*Phương pháp

Cách1: Tách ra ở đa thức bị chia những đa thức chia hết cho đa thức chia
Cách2: Xét giá trị riêng (sử dụng khi đa thức chia có nghiệm )
   Ví dụ:Tìm dư khi chia f(x) =x7+x5+x3+1 cho x2-1

C1: f(x)=x7+x5+x3+1=(x7-x)+(x5-x)+(x3-x) +3x+1
                                  =x(x6-1)+x(x4-1)+x(x2-1)+3x+1
Có x6-1 x2-1;x4-1x2-1;x2-1x2-1

f(x): x2 -1 dư 3x+1
C2: Có f(x)=(x2-1).Q(x)+ax+b với mọi x                                  (1)
Đẳng thức (1) đúng với mọi x ,nên
Với x=1 có f(x)=a+b=4
       x=-1 có f(-1)=-a+b=-2
a=3;a=1
Vậy dư là 3x+1
*Chú ý :
+)  an-bna-b                      ( ab)
   an+bna+b             (n lẻ ;a-b)
+)  xn-1x-1
   x2n-1x2-1   x-1;  x-1
   x4n-1x4-1   x2-1; x2 +1
   x3n-1x3-1     x2+x+1
III  Chứng minh một đa thức chia hết cho 1 đa thức
*
Phương pháp : có 4 cách
C1
:Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có chứa đa thức chia (đ/n~ A=B.Q)
C2
:Biến đổi đa thức bị chia thành tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia(t/chất)
C3
:Sử dụng các biến đổi tương đương

  f(x) g(x) óf(x)g(x) g(x)
C4:Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia
B.Các dạng bài tập

Dạng 1:Tìm dư của phép chia (không làm tính chia)
Phương pháp: Sử dụng các pp trong phần II lí thuyết.

Bài 1:Tìm dư của phép chia x41 cho x2+1

Gv gợi ý để HS chọn được đúng phương pháp
HS:  x41=x41-x+x=x(x40-1)+x
                     =x[(x4)10-1]+x
                     =x[(x2-1)(x2+1)]10+x
 x[(x2-1)(x2+1)]10+x:(x2+1) dư x

Bài 2.Tìm dư  của phép chia f(x) =x50+x49+……….+x2+x+1 cho x2-1.
 Gv gợi ý để HS chọn được đúng phương pháp

HS:  Chọn cách xét giá trị riêng vì đa thức có nghiệm

Bài 3.Đa thức  f(x) khi chia cho x+1 dư 4 , chia cho x2+1  dư 2x+3
Tìm phần dư khi chia  f(x) cho (x+1)(x2+1)

HD: Có f(x)=(x+1).A(x)+4                              (1)
              f(x)=(x2+1).B(x)+2x+3                      (2)
              f(x)=(x+1)(x2+1).C(x) +ax2+bx+c     (3)

      =(x+1)(x2+1).C(x)+a(x2+1)+bx+c-a
      =(x2+1)[C(x).(x+1)+a]+bx+(c-a)     (4)
Từ (2) và (4)
b=2;c-a=3
b=2;c=  ;a=
Vậy đa thức dư là x2+2x+

Dạng 2: Tìm đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp: Xét giá trị riêng.

Bài 1: Với giá trị nào của a và b thì đa thức f(x)= x3+ax2+bx+2  chia cho x+1 dư 5; chia cho x+2 thì dư 8.

HD:

Vì f(x)= x3+ax2+bx+2  chia cho x+1 dư 5; chia cho x+2 thì dư 8 nên ta có:

f(x)=(x+1).Q(x)+5

f(x)=(x+2).H(x)+8

Với x=-1 ta có f(-1)=-1+a-b+2=5      (1)

Với x=-2 ta có f(-2)=-8+4a-2b+2=8   (2)

Từ (1) và (2) ta có: a=3; b=-1.

Bài 2: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia cho x-3 thì dư 7; chia cho x-2 thì dư 5; chia cho (x-3)(x-2) được thương là 3x và còn dư.

HD:

Theo bài ta có:

          f(x)= (x-3).A(x)+7

f(x)=(x-2).B(x)+5

f(x)=3x(x-3)(x-2)+ax+b.

các đẳng thức tren đúng với mọi x nên:

+Với  x=2 có f(2)=5=> 2a+b=5

+Với x=3 có f(3)=7=> 3a+b=7

  • ða=2; b=1.

Do đó dư là 2x+1

F(x)= 3x(x-2)(x-3)+2x+1+3x3-15x2+20x+1

Dạng 3: Chứng minh chia hết

Phương pháp: Sử dụng các pp trong phần III lí thuyết.

Bài 1: Chứng minh rằng: x50+x10+1 chia hết cho x20+x10+1

HD:Đặt x10=t=> cần chứng minh t5+t+1 chia hết cho t2+t+1

Có  t5+t+1=t5-t2+t2+t+1=t2(t-1)(t2+t+1)+( t2+t+1)  t2+t+1

Chứng tỏ x50+x10+1 chia hết cho x20+x10+1.

Bài 2: (x2-x9-x1945) (x2-x+1)

HD:

x2-x9-x1945=(x2-x+1)+(-x9-1)+(-x1945+x)

Có x2-x+1  x2-x+1

x9+1x3+1 nên  x9+1 x2-x+1

x1945-x=x(x1944-1)=x((x6)324-1) x6-1 nên x1945-x x3+1 nên x1945-x  x2-x+1

Chứng tỏ (x2-x9-x1945) (x2-x+1)

Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm dư khi chia các đa thức sau:

  1. x43: (x2+1)
  2. (x27+x9+x3+x):(x-1)
  3. (x27+x9+x3+x):(x2-1)
  4. (x99+x55+x11+x+7): (x+1)
  5. (x99+x55+x11+x+7): (x2+1)

Bài 2: Chứng minh rằng:

  1. x10-10x+9 chia hết cho (x-1)2
  2. x8n+x4n +1 chia hết cho x2n+xn +1( với n là số tự nhiên)
  3. x3m+1 +x3n+2 +1 chia hết cho x2+x +1( với m, n là số tự nhiên)

Bài 3: Cho đa thức f(x), các phần dư trong các phép chia f(x) cho x và cho x-1 lần lượt là 1 và 2. Hãy tìm phần dư trong phép chia f(x) cho x(x-1)

Bài 4 :  T×m ®a thøc f(x) biÕt r»ng f(x) chia cho x – 3 th× dư­ 2, f(x) chia cho x + 4 th× dư­ 9, cßn f(x) chia cho x2 +x – 12 th× ®ư­îc thư­¬ng lµ  x2 + 3 vµ cßn dư­.

 

Duyệt của tổ chuyên môn:

Lãng Ngâm, ngày 10 tháng 10 năm 2018.

Người thực hiện

 

 

 

Trịnh Thị Nga

Đánh giá, nhận xét chuyên đề:

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


 
            

 

 

 

Tác giả: Trịnh Thị Thoan

Nguồn:thcslangngam.bacninh.edu.vn Copy link

Tổng số điểm của bài viết là: 22 trong 6 đánh giá
Click để đánh giá bài viết

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button