Kiến thức

Tính đơn điệu của hàm số-Toán lớp 12-Lecttr

Lí thuyết:

Xem thêm: Cách tính m3 bê tông xây dựng nhà-Thiết kế Thi công Nhà đẹp

Định nghĩa:

Giả sử K là một khoảng (một đoạn, một nửa khoảng) và f là một hàm số xác định trên K. Khi đó:

  • Hàm số f đồng biến (đơn điệu tăng) trên K nếu và chỉ nếu ( forall x_1,x_2in K,x_1<x_2 ) thì ( f(x_1)<f(x_2). )
  • Hàm số f nghịch biến (đơn điệu giảm) trên K nếu và chỉ nếu ( forall x_1,x_2in K,x_1<x_2 )thì ( f(x_1)>f(x_2). )

Định lý

Định lí 1 – Điều kiện cần. Giả sử f là một hàm số có đạo hàm trên K.

  • Nếu hàm số f đồng biến trên K thì ( f'(x)>0 ) với mọi x thuộc K.
  • Nếu hàm số f nghịch biến trên K thì ( f'(x)<0 ) với mọi x thuộc K.

Định lí 2 – Điều kiện đủ. Giả sử hàm số f có đạo hàm tên K.

  • Nếu ( f'(x)>0,forall xin K) thì hàm số f đồng biến trên K.
  • Nếu ( f'(x)<0,forall xin K) thì hàm số f nghịch biến trên K.
  • Nếu ( f'(x)=0,forall xin K) thì hàm số f không đổi trên K.

Định lí 3. Giả sử f(x) có đạo hàm trên K và phương trình f'(x) = 0 có hữu hạn nghiệm. Khi đó:

  • f(x) đồng biến trên K ( Leftrightarrow f'(x)geq 0,forall xin K.)Leftrightarrow f'(x)geq 0,forall xin K.
  • f(x) nghịch biến trên K ( Leftrightarrow f'(x)leq 0,forall xin K.)

Các dạng bài tập:

Xem thêm: Công thức tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng và phương pháp tính

Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số:

Bài 1. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

(a) ( y=x^3-6x^2+9x+1.)

(b) ( y=-frac{1}{4}x^4-x^3+frac{1}{2}x^2+3x.)

Bài 2. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

(a) ( y=frac{x+1}{sqrt{x^2-x+1}}. )

(b) ( y=frac{x^2}{sqrt{x^2-1}}. )

(c) ( y=2x-sqrt{x^2-4x-5}. )

Ví dụ 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số 4+3x-x^2

Tập xác định: D = R.

Ta có y’ = 3 – 2x suy ra y’= 0 tương đương với x = 3/2.

Khi x = 3/2 thì y = 25/4. Vậy ta có bảng biến thiên sau:

câu a bài 1 trang 9 sgk toán giải tích 12

câu a bài 1 trang 9 sgk toán giải tích 12

Xem thêm: Sách Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Bài 3: Một Số Dạng Phương Trình Lượng Giác Đơn Giản (Nâng Cao)

Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng.

Bài 1. Tìm m để hàm số:

(a) ( y=frac{1}{3}x^3+mx^2+(4m-3)x+3 ) đồng biến trên R.

(b) ( y=x^3-2mx+5 ) nghịch biến trên (- 2, 2).

Bài 2. Tìm m để hàm số:

(a) ( y=frac{mx-m^2-1}{x+2} ) luôn tăng trên từng khoảng xác định.

(b) ( y=frac{mx-3}{x-m+1} ) đồng biến trên (1; 2).

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f(x)=x^3-3mx+3(2m-1)x+1. Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.

f'(x) = 2x^2-6mx+3(2m-1)

Để hàm số đồng biến suy ra Delta leq 0, a> 0, giải ra m = 1.

Vậy m = 1 thì hàm số đồng biến trên R.

Dạng 3. Một số bài tập trắc nghiệm.

Bài 1. Hàm số ( y=left | x^2-4x-5 right | ) nghịch biến trên khoảng nào?

A. (-5; -1).

B. (-1; 2); (5; ( +infty )).

C. (2; 5).

D. ( (-infty;-1);(2;5). )(-infty;-1);(2;5).

Bài 2. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?

A. ( y=(x^2-1)^2-3x+2. )

B. ( y=frac{x}{sqrt{x^2+1}}. )

C. ( y=frac{x}{x+1}. )

D. y = tanx.

Bài 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = (2m + 3)sinx + (2 – m)x đồng biến trên R?

A. 4.

B. 3.

C. 5.

D. 6.

Bài 4. Tìm m để phương trình ( x^2-2x+2m-3=0 ) có nghiệm thuộc [0; 9].

A. m < 2.

B. 1 < m < 2.

C. ( mgeq -30. )

D. ( -30leq mleq 2. )

Bài 5. Cho hàm số ( y=frac{x^2-4x+m+2+3sqrt{x^2-4x}}{sqrt{x^2-4x}+2}. )  Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (- 4; – 1)?

A. 17.

B. 18.

C. 58.

D. 57.

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button