Kiến thức

Tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của hình chóp

Ảnh của tanphu

tanphu gửi vào T5, 07/07/2016 – 7:41sa

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

là loại khoảng cách quan trọng nhất, nó được dùng để tính các loại khoảng cách khác như

khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

,

khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

,

khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

. Rất nhiều bài toán tính khoảng cách được chuyển về việc tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của hình chóp.

Bài toán tổng quát. Cho hình chóp (S.ABC) có (H) là chân đường cao. Ta cần tính khoảng cách từ (H) đến mặt bên ((SAB)) của hình chóp.

Phân tích. Để vẽ đoạn vuông góc từ (H) đến mặt phẳng ((SAB)) thường ta dựng mặt phẳng ((beta)) qua (H) và vuông góc với ((SAB)) rồi vẽ đoạn vuông góc từ (H) đến giao tuyến (

cách vẽ đoạn vuông góc từ điểm đến mặt phẳng

). Trong mặt phẳng đáy vẽ (HM) vuông góc với (AB) tại (M). Khi đó ta có ((SMH) bot (SAB)) và giao tuyến của hai mặt phẳng này là (SM). Vẽ (HK) vuông góc với (SM) tại (K) thì theo

định lý về giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc

 ta sẽ chứng minh được (HK bot (SAB)). Khi đó (mathrm{d}big(H,(SAB)big)=HK.)

Trong lời giải, ta không cần viết ra hai mặt phẳng vuông góc ở trên mà có thể chứng minh trực tiếp (HK bot (SAB)).

Lời giải. Vẽ (HM) vuông góc với (AB) tại (M). Vẽ (HK) vuông góc với (SM) tại (K). Ta có (AB bot MH) và (AB bot SH) nên suy ra (AB bot (SMH)), suy ra (AB bot HK.) Mặt khác (HK bot SM) nên suy ra (HK bot (SAB).) Vậy (mathrm{d}big(H,(SAB)big)=HK.)

Ví dụ 1. Cho hình chóp (S.ABC) có đáy là tam giác đều cạnh (a,) (SCbot(ABC),) (SC=dfrac{asqrt{6}}{4}.) Tính khoảng cách từ (C) đến ((SAB).)

Nhận xét. Đây là bài toán đặc biệt trong trường hợp (H) trùng (C.)

Lời giải. Vẽ (CM) vuông góc với (AB) tại (M) và vẽ (CK) vuông góc với (SM) tại (K.) Ta có (AB bot CM) và (AB bot SC) suy ra (ABbot(SCM).) Suy ra (ABbot CK.) Mặt khác (CKbot SM) nên suy ra (CKbot(SAB)). Suy ra (mathrm{d}big(C,(SAB)big)=CK.) Tam giác (ABC) đều cạnh (a) nên (CM=dfrac{asqrt{3}}{2}.) Tam giác (SCM) vuông tại (C) có đường cao (CK) nên từ (dfrac{1}{CK^2}=dfrac{1}{CM^2}+dfrac{1}{SC^2}) (công thức

hệ thức lượng trong tam giác vuông

) ta tính được (CK=dfrac{a}{2}.) Vậy (mathrm{d}big(C,(SAB)big)=dfrac{a}{2}.)

Ví dụ 2. Cho hình chóp (S.ABC) có (ABC) và (SBC)) là các tam giác đều cạnh (a,) hình chiếu vuông góc của (S) trên mặt phẳng đáy là trung điểm của (BC.) Tính khoảng cách từ (H) đến ((SAB).)

Lời giải. Vẽ (HM) vuông góc với (AB) tại (M). Vẽ (HK) vuông góc với (SM) tại (K.) Ta có (ABbot MH) và (ABbot SH) nên (ABbot(SMH).) Suy ra (ABbot HK.) Mặt khác (KHbot SM) suy ra (HKbot(SAB).) Suy ra (mathrm{d}big(H,(SAB)big)=HK.)

Gọi (N) là trung điểm (AB) ta có (NHparallel CN) (vì cùng vuông góc với (AB)). Tam giác (ABC) là tam giác đều cạnh (a) nên (CN=dfrac{asqrt{3}}{2}.). Ta có (MH) là đường trung bình của tam giác (BCN) nên (MH=dfrac{CN}{2}=dfrac{asqrt{3}}{4}.) Ta lại có (SH=dfrac{asqrt{3}}{2}.) Từ hệ thức lượng (dfrac{1}{HK^2}=dfrac{1}{SH^2}+dfrac{1}{MH^2}) ta tính được (HK=dfrac{asqrt{15}}{10}.) Vậy (mathrm{d}big(H,(SAB)big)=dfrac{asqrt{15}}{10}.)

Ví dụ 3. Cho hình chóp tam giác đều (S.ABC) có cạnh đáy bằng (a) và cạnh bên bằng (SA=dfrac{asqrt{6}}{4}.) Gọi (H) là chân đường cao của hình chóp. Tính khoảng cách từ (H) đến mặt phẳng ((SAB).)

Lời giải. Vì (S.ABC) là

hình chóp đều

nên (H) là trọng tâm tam giác (ABC.) Gọi (M) là trung điểm (AB). Ta có (ABbot CM) và (ABbot SH) nên (ABbot(SCM).) Suy ra (ABbot HK.) Mặt khác (HKbot SM) suy ra (HKbot(SAB).) Suy ra (mathrm{d}big(H,(SAB)big)=HK.)

Tam giác (ABC) đều cạnh (a) nên (CM=dfrac{asqrt{3}}{2}.) H là trọng tâm tam giác (ABC) nên (HM=dfrac{1}{3}CM=dfrac{1}{3}.dfrac{asqrt{3}}{2}=dfrac{a}{2sqrt{3}}) và (CH=dfrac{2}{3}CM=dfrac{a}{sqrt{3}}.) Tam giác (SHC) vuông tại (H) nên (SH=sqrt{SC^2-CH^2}=dfrac{a}{2sqrt{6}}.) Từ (dfrac{1}{HK^2}=dfrac{1}{HM^2}+dfrac{1}{SH^2}) suy ra (HK=dfrac{a}{6}.) Vậy (mathrm{d}big(H,(SAB)big)=dfrac{a}{6}.)

Ví dụ 4. Cho hình chóp tứ giác đều (S.ABCD) có tất cả cạnh đều bằng (a). Gọi (H) là giao điểm của (AC) và (BD,) tính khoảng cách từ (H) đến mặt phẳng ((SCD).)

Lời giải. Vì (S.ABCD) là hình chóp đều nên (ABCD) là hình vuông và (SHbot(ABCD).) Vẽ (HM) vuông góc với (CD) tại (M,) vẽ (HK) vuông góc với (SM) tại (K.) Ta có (CDbot HM) và (CDbot SH) nên (CDbot(SHM).) Suy ra (CDbot HK.) Mặt khác (HKbot SM) suy ra (HKbot(SCD).) Suy ra (mathrm{d}big(H,(SCD)big)=HK.)

(MH) là đường trung bình của tam giác (BCD) nên (MH=dfrac{BC}{2}=dfrac{a}{2}.) Ta có (ABCD) là hình vuông nên (CH=dfrac{AC}{2}=dfrac{asqrt{2}}{2}=dfrac{a}{sqrt{2}}.) Tam giác (SHC) vuông tại (H) nên (SH=sqrt{SC^2-HC^2}=dfrac{a}{sqrt{2}}.) Tam giác (SHM) vuông tại (H) có đường cao (HK) nên (dfrac{1}{HK^2}=dfrac{1}{SH^2}+dfrac{1}{MH^2}.) Suy ra (HK=dfrac{a}{sqrt{6}}.) Vậy (mathrm{d}big(H,(SCD)big)=dfrac{a}{sqrt{6}}.)

Ví dụ 5. (Đề thi THPT quốc gia năm 2015) Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình vuông cạnh (a,) (SA) vuông góc với mặt phẳng ((ABCD),) góc giữa đường thẳng (SC) và mặt phẳng ((ABCD)) bằng (45^circ.) Tính heo (a) thể tích của khối chóp (S.ABCD) và khoảng cách giữa hai đường thẳng (SB, AC.)

Lời giải.

a) Tính thể tích khối chóp (S.ABCD):

Vì (SAbot(ABCD)) nên

hình chiếu vuông góc

của (SC) lên (ABCD) là (AC.) Suy ra

góc giữa

(SC) và ((ABCD)) bằng góc (widehat{SCA}=45^circ.) Vì (ABCD) là hình vuông cạnh (a) nên (AC=asqrt{2}.) Từ (tan45^circ=dfrac{SA}{AC}) suy ra (SA=asqrt{2}.) Ta có (S_{ABCD}=a^2.) Ta có (V_{S.ABCD}=dfrac{1}{3}.S_{ABCD}.SA=dfrac{a^3sqrt{2}}{3}.)

b) Tính khoảng cách giữa (SB) và (AC):

Phân tích. Để tính

khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

ta chọn một mặt phẳng chứa đường thẳng này song song với đường thẳng kia rồi tính

khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

. Ta nên chọn mặt phẳng chưa (SB) hay (AC)? Nếu từ (A) hoặc (C) mà vẽ đường thẳng song song với (SB) thì đường đó ra ngoài hình chóp, khó quan sát. Phương án vẽ mặt phẳng chứa (SB) và song song với (AC) hợp lý hơn. Nếu vẽ đường thẳng (d) qua (B) và song song với (AC) thì đường (d) là nằm trong mặt phẳng đáy. Như vậy ta có mp((SB,d)) (đặt tên là ((alpha))) chứa (SB) và song song với (AC). Tiếp theo ta cần tính khoảng cách giữa (AC) và ((alpha)) song song nhau. Ta cần chọn một điểm trên đường thẳng (AC) và tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng ((alpha)). Ta chọn điểm (A) là hợp lý vì (A) là chân đường cao của hình chóp nên có nhiều giả thiết để khai thác. Tiếp theo ta cần vẽ đoạn vuông góc hạ từ (A) đến ((alpha).) Nếu vẽ (AE) vuông góc với (d) tại (E) thì ta được mặt phẳng ((SAE)) vuông góc với ((alpha)) và hai mặt phẳng này có giao tuyến là (SE.) Do đó ta sẽ vẽ (AH) vuông góc với (SE) tại (H) thì sẽ chứng minh được (AHbot(SBE).) Vậy khoảng cách cần tính là độ dài đoạn thẳng (AH.) Để ý rằng (AE) và (BD) song song với nhau vì cùng vuông góc với (AC). Ta có (AEBO) là hình chữ nhật nên (AE=OB). Dùng

hệ thức lượng trong tam giác vuông

(SAE) ta sẽ tính được đường cao (AH.)

Lời giải. Vẽ đường thẳng (d) qua (B) và song song với (AC). Đặt ((alpha)) là mặt phẳng chứa (d) và (SB), ta có ((alpha)) chứa (SB) và song song với (AC.) Ta có (mathrm{d}big(AC,SBbig)=mathrm{d}big(AC,(alpha)big)=mathrm{d}big(A,(alpha)big).) Vẽ (AE) vuông góc với (d) tại (E,) vẽ (AH) vuông góc với (SE) tại (H.) Ta có (BEbot AE) và (BEbot SA) nên (BEbot (SAE).) Suy ra (BEbot AH.) Mặt khác (AHbot SE) suy ra (AHbot (SBE).) Suy ra (mathrm{d}big(A,(SBE)big)=AH.) Ta có (AEBO) là hình chữ nhật nên (AE=dfrac{a}{sqrt{2}}.) Từ (dfrac{1}{AH^2}=dfrac{1}{SA^2}+dfrac{1}{AE^2}) suy ra (AH=dfrac{asqrt{10}}{5}.) Vậy (mathrm{d}big(SB,ACbig)=dfrac{asqrt{10}}{5}.)

Ví dụ 6. (Đề thi đại học khối A năm 2014) Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình vuông cạnh (a,) (SD=dfrac{3a}{2},) hình chiếu vuông góc của (S) trên mặt phẳng ((ABCD)) là trung điểm của cạnh (AB.) Tính theo (a) thể tích khối chóp (S.ABCD) và khoảng cách từ (A) đến mặt phẳng ((SBD).)

 

Hướng dẫn. Gọi (H) là trung điểm (AB), theo đề ta có (SHbot(ABCD).) Áp dụng định lý pitago trong tam giác (AHD) ta tính được (HD=dfrac{asqrt{5}}{2}.) Đề cho (SD=dfrac{3a}{2}), áp dụng định lý pitago trong tam giác (SHD) ta tính được đường cao (SH) của hình chóp. Từ đó tính được thể tích của khối chóp (S.ABCD.)

Việc tính khoảng cách từ (A) đến ((SBD)) được chuyển về tính khoảng cách từ (H) đến mặt phẳng đó dựa vào công thức

tỉ số khoảng cách từ hai điểm đến cùng một mặt phẳng

. Đường thẳng qua (A) và (H) cắt mặt phẳng ((SBD)) tại (B) và có (AB=2HB) nên (mathrm{d}big(A,(SBD)big)=2.mathrm{d}big(H,(SBD)big).) Vẽ (HE) vuông góc với (BD) tại (E) thì ta có (BDbot(SHE).) Vẽ (HKbot SE) thì ta sẽ chứng minh được (HKbot (SBD)). Từ đó khoảng cách cần tính là độ dài (HK.) Khi tính (HE) ta để ý rằng (HE) là đường trung bình của tam giác (ABO.)

Bạn đang xem: Tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của hình chóp

Từ khoá:

Chuyên mục:

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button