Kiến thức

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số-Sách Toán-Học toán

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Đăng ngày: 23/01/2018 Biên tập:

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số có 2 loại:

Bạn đang xem: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số-Sách Toán-Học toán

A. Loại 1: (Đặt t = u(x))

Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số như sau:
Để tính tích phân $I=intlimits_{a}^{b}{fleft( x right)text{d}x}$ với $fleft( x right)=gleft[ uleft( x right) right].u’left( x right)$, ta có thể thực hiện phép đổi biến như sau
Bước 1. Đặt $t=uleft( x right)Rightarrow text{d}t=u’left( x right)text{d}x$.

Bước 2: Đổi cận [left{ begin{align}
& x=aRightarrow t=uleft( a right) \
& x=bRightarrow t=uleft( b right) \
end{align} right..]
Bước 3. Thay vào ta có $I=intlimits_{u(a)}^{u(b)}{gleft( t right)text{d}t}=Gleft( t right)left| _{begin{smallmatrix}
\ uleft( a right) end{smallmatrix}}^{begin{smallmatrix}
uleft( b right) \ end{smallmatrix}} right..$

Xem thêm: 

Tính nguyên hàm bằng Phương pháp đổi biến số

* Ví dụ 1: (Hàm đa thức, có căn)

1) ${I_1} = intlimits_0^1 {frac{{xdx}}{{{x^2} + 1}}} $

Đặt t = x$^2$ + 1 → dt = 2xdx → xdx = 0,5dt
Đổi cận: $left{ begin{array}{l}x = 0 to t = 1\x = 1 to t = 2end{array} right.$
Vậy : ${I_1} = intlimits_1^2 {frac{{xdx}}{{{x^2} + 1}} = frac{1}{2}intlimits_1^2 {frac{{dt}}{t} = frac{1}{2}left. {ln t} right|} } _1^2 = frac{1}{2}ln 2$

2) (I = intlimits_0^2 {{x^3}sqrt {{x^2} + 1} dx})

Đặt: (t = sqrt {{x^2} + 1} Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = {t^2} – 1}\ {xdx = tdt} end{array}} right.)

Đổi cận: (left{ {begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\ {x = 2} end{array}} right. Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {t = 1}\ {t = sqrt 5 } end{array}} right.)

Vậy: (I = intlimits_1^{sqrt 5 } {left( {{t^2} – 1} right)t.tdt} = left( {frac{{{t^5}}}{5} – frac{{{t^3}}}{3}} right)left| {begin{array}{*{20}{c}} {sqrt 5 }\ 1 end{array} = frac{2}{{15}} + frac{{10sqrt 5 }}{3}} right.)

3)  (intlimits_0^3 {frac{x}{{1 + sqrt {1 + x} }}} dx)

Đặt: (t = sqrt {1 + x} Rightarrow {t^2} = 1 + x Rightarrow 2tdt = dx)

Đổi cận (x = 0 Rightarrow t = 1;x = 3 Rightarrow t = 2)

(begin{array}{l} intlimits_0^3 {frac{x}{{1 + sqrt {1 + x} }}dx = intlimits_1^2 {frac{{{t^2} – 1}}{{t + 1}}} } 2tdt = intlimits_1^2 {2t(t – 1)dt} \ = left. {left( {frac{2}{3}{t^3} – {t^2}} right)} right|_1^2 = frac{5}{3} end{array})


* Ví dụ 2: (Hàm mũ, logarit)

1) ${I} = intlimits_0^1 {frac{{{e^x}dx}}{{{e^x} – 1}}}$

Đặt t = e$^x$ – 1 → dt = e$^x$dx
Đổi cận: $left{ begin{array}{l}x = 1 to t = e – 1\x = 2 to t = {e^2} – 1end{array} right.$

Vậy: ${I} = intlimits_0^1 {frac{{{e^x}dx}}{{{e^x} – 1}}} = intlimits_{e – 1}^{{e^2} – 1} {frac{{dt}}{t} = left. {ln t} right|} _{e – 1}^{{e^2} – 1} = ln (e + 1)$

2) $I = intlimits_0^1 {{e^{{x^2} + 1}}xdx} $

Đặt $t = {x^2}+1 Rightarrow dt = 2xdx$

Đổi cận: $left{ begin{array}{l}x = 0 to t = 1\x = 1 to t = 2end{array} right.$

 

$ Rightarrow I = frac{1}{2}intlimits_1^2 {{e^t}dt} = frac{1}{2}{e^t}left| begin{array}{l}2\1end{array} right. = frac{1}{2}left( {{e^2} – e} right)$

3) ${I} = intlimits_1^e {frac{{sqrt {1 + ln x} dx}}{x}}$

Đặt ${t^{}} = 1 + ln xquad Rightarrow quad tdt = frac{1}{x}dxquad $

Đổi cận: $left{ begin{array}{l}x = 1 to t = 1\x = e to t = 2end{array} right.$

${I} = intlimits_1^e {frac{{sqrt {1 + ln x} dx}}{x}} = intlimits_1^2 {sqrt t dt }$

$= frac{2}{3}.t^frac{3}{2}|_{1}^{2} = frac{2}{3}(2sqrt 2 – 1)$


* Ví dụ 3: (Hàm lượng giác)

1) (I = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {{{sin }^2}x.cos x.dx} )

Đặt (t = {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} Rightarrow dt = cos xdx)

Đổi cận: (left{ begin{array}{l}x = 0,t = 0\x = frac{pi }{2},t = 1end{array} right.)

(I = intlimits_0^1 {{t^2}dt.}=frac{t^3}{3}|_{0}^{1}=frac{1}{3} )

2) ${I} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {frac{{cos xdx}}{{{{(sin x + 1)}^4}}}} $

Đặt : t = sin(x) + 1 → dt = cos(x)dx
Đổi cận: $left{ begin{array}{l}
x = 0 to t = 1\
x = frac{pi }{2} to t = 2
end{array} right.$
Vậy: ${I} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {frac{{cos xdx}}{{{{(sin x + 1)}^4}}}} = intlimits_1^2 {frac{{dt}}{{{t^4}}}} = left. { – frac{1}{{3{t^3}}}} right|_1^2 = frac{7}{{24}}$

===============

B. Loại 2: (Đặt x = u(t))

Dạng 1:  $sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$ đặt $x=a.sint$

Dạng 2: $frac{1}{x^2+a^2}$ đặt $x=a.tant$

1) $I = intlimits_0^2 {sqrt {4 – {x^2}} dx} $

Đặt $x = 2sin t$  ($ – frac{pi }{2} le t le frac{pi }{2}$)

$ Rightarrow dx = 2cos tdt$

Đổi cận: $left{ begin{array}{l}
x = 0 to t = 0\
x = 2 to t = frac{pi }{2}
end{array} right.$

$I = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {sqrt {4 – 4{{sin }^2}t} .2cos tdt}$

$=intlimits_0^{frac{pi }{2}} {sqrt {4left( {1 – {{sin }^2}t} right)} .2cos tdt} $

$ = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {sqrt {4{{cos }^2}t} .2cos tdt} = intlimits_0^{frac{pi }{2}} {4{{cos }^2}tdt} $

$= intlimits_0^{frac{pi }{2}} {2left( {1 + cos 2t} right)dt} $

$ = 2left( {t + frac{1}{2}sin 2t} right)left| begin{array}{l}frac{pi }{2}\0end{array} right. = pi $

2) (I = intlimits_0^1 {frac{{dx}}{{sqrt {4 – {x^2}} }}})

Đặt (x = 2sin t) với (t in left[ { – frac{pi }{2};frac{pi }{2}} right] Rightarrow dx = 2cos tdt)

Đổi cận: (x = 0 Rightarrow t = 0;x = 1 Rightarrow t = frac{pi }{6})

Vậy: (intlimits_0^1 {frac{{dx}}{{sqrt {4 – {x^2}} }} = intlimits_0^{frac{pi }{6}} {frac{{2cos tdt}}{{sqrt {4 – 4{{sin }^2}t} }} = } } intlimits_0^{frac{pi }{6}} {frac{{2cos tdt}}{{2cos t}} = } intlimits_0^{frac{pi }{6}} {dt})

(= tleft| {begin{array}{*{20}{c}} {frac{pi }{6}}\ 0 end{array}} right. = frac{pi }{6})

3) $J = intlimits_0^1 {frac{x}{{1 + {x^2}}}dx} $

Đặt $x = tan t Rightarrow dx = frac{1}{{{{cos }^2}t}}dt$

Đổi cận: (x = 0 Rightarrow t = 0;x = 1 Rightarrow t = frac{pi }{4})

$ J = intlimits_0^{frac{pi }{4}} {frac{{tan t}}{{1 + {{tan }^2}t}}left( {1 + {{tan }^2}t} right)dt}$

$= intlimits_0^{frac{pi }{4}} {tan tdt} = intlimits_0^{frac{pi }{4}} {frac{{sin t}}{{cos t}}dt} $

$ = – intlimits_0^{frac{pi }{4}} {frac{{left( {cos t} right)’}}{{cos t}}dt} = – ln left( {cos t}right)left| begin{array}{l}frac{pi }{4}\0end{array} right. = – ln frac{{sqrt 2 }}{2}$

<!– –>

Thuộc chủ đề:

Toán lớp 12

Tích phân

Bài liên quan:

  1. Kỹ thuật tích phân từng phần trong hàm ẩn (VDC)

  2. Kỹ thuật đổi biến trong Tích Phân (VDC)

  3. Trắc nghiệm Tính tích phân theo định nghĩa VDC

  4. Tích phân hàm ẩn

  5. Tích phân chứa nhiều hàm số

  6. Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối

  7. Tích phân hàm số mũ

  8. Tích phân hàm logarit

  9. Tích phân hàm lượng giác

  10. Tích phân hàm vô tỷ

  11. Tích phân hàm hữu tỷ

  12. Nâng Cao Kỹ Năng Giải Toán Trắc Nghiệm 100% Dạng Bài Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button