Kiến thức

Toán 10 Bài 2: Giá trị lượng giác của một cung

Lý thuyết

10 Trắc nghiệm

43 BT SGK

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm cơ bản về Giá trị lượng giác của một cung và phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan đến giá trị lượng giác của một cung.

<!–

var _abdm = _abdm || []; /* load placement for account: congha, site: http://hoc247.net, size: 300×50 – mobile, zone: in_page */ _abdm.push([“1494486632″,”InPage”,”1548228356″,”InPage_1548228356″]); –>

YOMEDIA

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Giá trị lượng giác của cung (alpha )

1.1.1. Định nghĩa

1.1.2. Hệ quả

1.1.3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

1.2. Ý nghĩa hình học của tang và cotang

1.3. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

1.3.1. Công thức lượng giác cơ bản

1.3.2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt 

2. Bài tập minh hoạ

 

3. Luyện tập bài 2 chương 6 đại số 10

3.1. Trắc nghiệm về giá trị lượng giác của một cung

3.2. Bài tập SGK & Nâng cao về giá trị lượng giác của một cung

4. Hỏi đáp về bài 2 chương 6 đại số 10

 

Hãy đăng ký kênh Youtube HOC247 TV để theo dõi Video mới

 

Tóm tắt lý thuyết

Bạn đang xem: Toán 10 Bài 2: Giá trị lượng giác của một cung

1.1. Giá trị lượng giác của cung (alpha )

1.1.1. Định nghĩa

Trên đường tròn lượng giác, cho điểm (Mleft( {{x_o},{y_o}} right)) sao cho cung lượng giác AM có sđ(AM = alpha ). Khi đó:

(begin{array}{l}
sin alpha  = overline {OK}  = {y_0}\
cos alpha  = overline {OH}  = {x_0}\
tan alpha  = frac{{sin alpha }}{{cos alpha }}{rm{ }}left( {cos alpha  ne 0} right)\
cot alpha  = frac{{cos alpha }}{{sin alpha }}{rm{ }}left( {sin alpha  ne 0} right)
end{array})

Định nghĩa: Các giá trị (sin alpha ,cos alpha {rm{, tan}}alpha {rm{, cot}}alpha ) được gọi là các giá trị lượng giác của cung . Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin.

Chú ý:

1. Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác.

2. Nếu ({0^ circ } le alpha  le {180^ circ }) thì các giá trị lượng giác của góc [alpha ] chính là các giá trị lượng giác của góc đó.

Ví dụ 1: Tính (sin frac{{25pi }}{4}), (cosleft( { – {{240}^o}} right))

 Hướng dẫn:

Để tính giá trị lượng giác của cung lượng giác AM có số đo (alpha ) bất kì, ta thực hiện theo các bước:

+ Biểu diễn cung lượng giác AM trên đường tròn lượng giác.

+ Tìm tọa độ điểm M, từ đó áp dụng định nghĩa suy ra các giá trị lượng giác cần tìm.

Ta có (frac{{25pi }}{4} = frac{pi }{4} + 3.2pi )

Suy ra (sin frac{{25pi }}{4} = sin frac{pi }{4} = frac{{sqrt 2 }}{2})

Tương tự ( – {240^0} = {120^0} – {360^0})

Suy ra (cosleft( { – {{240}^o}} right) = cos{120^ circ } =  – frac{1}{2})

1.1.2. Hệ quả

1) (sin alpha ) và (cos alpha ) xác định với mọi (alpha  in R).

(begin{array}{l}
sin left( {alpha  + k2pi } right) = sin alpha ,forall k in Z\
cos left( {alpha  + k2pi } right) = cos alpha ,forall k in Z
end{array})

2) ( – 1 le sin alpha  le 1, – 1 le cos alpha  le 1)

3) Với mọi (m in R) mà ( – 1 le m le 1) đều tồn tại (alpha ) và (beta ) sao cho (sin alpha  = m) và (cos alpha  = m).

4) (tan alpha ) xác định với mọi (alpha  ne frac{pi }{2} + kpi {rm{  }}left( {k in Z} right))

5) (cot alpha ) xác định với mọi (alpha  ne kpi {rm{  }}left( {k in Z} right))

6) Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác 

1.1.3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

1.2. Ý nghĩa hình học của tang và côtang

Ý nghĩa hình học của (tan alpha ) và (cot alpha)

(tan alpha  = overline {AT} )

Trục  t’At được gọi là trục tang.

(cot alpha  = overline {BS} )

Trục  s’Bs được gọi là trục côtang.

Chú ý: 

(begin{array}{l}
tan left( {alpha  + kpi } right) = tan alpha \
cot left( {alpha  + kpi } right) = cot alpha 
end{array})

1.3.1. Công thức lượng giác cơ bản

(begin{array}{l}
si{n^2}alpha  + co{s^2}alpha  = 1\
1 + {tan ^2}alpha  = frac{1}{{co{s^2}alpha }},alpha  ne frac{pi }{2} + kpi ,k in Z\
1 + co{t^2}alpha  = frac{1}{{si{n^2}alpha }},alpha  ne kpi ,k in Z\
tan alpha .cot alpha  = 1,alpha  ne frac{{kpi }}{2},k in Z
end{array})

1.3.2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt 
1) Cung đối nhau: (alpha ) và ( – alpha )

Các điểm cuối của hai cung AM và AM’ đối xứng nhau qua trục hoành nên ta có:

(begin{array}{l}
cos ( – alpha ) = ,cos alpha \
sin ( – alpha ) = ,, – sin alpha \
tan ( – alpha ) =  – tan alpha \
cot ( – alpha ) =  – cot alpha 
end{array})

2) Cung bù nhau: (alpha ) và (pi  – alpha )

Các điểm cuối của hai cung AM và AM’ đối xứng với nhau qua trục tung, nên ta có:

 

(begin{array}{l}
sin (pi  – alpha ) = ,,,,,,sin alpha \
cos (pi  – alpha ) =  – cos alpha \
tan (pi  – alpha ) =  – tan alpha \
cot (pi  – alpha ) =  – cot alpha 
end{array})

 

3) Hơn kém nhau (pi ): (pi ) và (left( {alpha  + pi } right))

Các điểm cuối của hai cung đối xứng nhau qua gốc tọa độ, nên ta có:

 

(begin{array}{l}
sin (alpha  + pi ) =  – sin alpha \
cos (alpha  + pi ) =  – cos alpha \
tan (alpha  + pi ) = ,,,,,tan alpha \
cot (alpha  + pi ) = ,,,,,cot alpha 
end{array})

4) Cung phụ nhau: (alpha ) và (alpha  – frac{pi }{2})

Các điểm cuối của hai cung đối xứng nhau qua đường phân giác d của góc xOy, nên ta có:

 

(begin{array}{l}
sin ,left( {frac{pi }{2} – alpha } right) = cos alpha \
cos ,left( {frac{pi }{2} – alpha } right) = sin alpha \
tan ,left( {frac{pi }{2} – alpha } right) = cot alpha \
cot ,left( {frac{pi }{2} – alpha } right) = tan alpha 
end{array})

 

Chú ý: Để ghi nhớ các công thức trên dễ dàng ta học thuộc câu: “cos-đối, sin-bù, phụ-chéo, hơn kém nhau- tan và cot”. 

Bài tập minh họa

 
 

Ví dụ 1: Cho (sin alpha  = frac{{sqrt 3 }}{2}) với (0 < alpha  < frac{pi }{2}).  Tính (cos alpha )

Hướng dẫn:

Ta có (si{n^2}alpha  + co{s^2}alpha  = 1)

(begin{array}{l}
 Rightarrow {cos ^2}alpha  = 1 – {sin ^2}alpha \
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = 1 – {left( {frac{{sqrt 3 }}{2}} right)^2} = frac{1}{4}\
 Rightarrow cos alpha  =  pm frac{1}{2}
end{array})

Vì (0 < alpha  < frac{pi }{2}) nên (cos alpha >0) ( Rightarrow cos alpha  = frac{1}{2})

Ví dụ 2: Cho (cos alpha  = frac{{sqrt {11} }}{6}) với (frac{{3pi }}{2} < alpha  < 2pi ). Tính (sin alpha )

Hướng dẫn:

Ta có (si{n^2}alpha  + co{s^2}alpha  = 1)

(begin{array}{l}
 Rightarrow {sin ^2}alpha  = 1 – {cos ^2}alpha \
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = 1 – {left( {frac{{sqrt {11} }}{6}} right)^2} = frac{{25}}{{36}}\
 Rightarrow sin alpha  =  pm frac{5}{6}
end{array})

Vì (frac{{3pi }}{2} < x < 2pi ) nên (sin alpha  < 0) ( Rightarrow sin alpha  =  – frac{5}{6})

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau

(A = cos ({90^0} – x).sin ({180^0} – x) – sin ({90^0} – x).cos ({180^0} – x))

Hướng dẫn: 

Sử dụng công thức cung phụ nhau và cung bù nhau

Ta có (A = cos ({90^0} – x).sin ({180^0} – x) – sin ({90^0} – x).cos ({180^0} – x))

(begin{array}{l}
 = sin x.sin x – cos x.( – cos x)\
 = {sin ^2}x + {cos ^2}x = 1
end{array})

Ví dụ 4: Tính 

(begin{array}{l}
a)cos left( { – frac{{11pi }}{4}} right)\
b)tan frac{{31pi }}{6}\
c)sin ( – {1380^0})
end{array})

Hướng dẫn:

– Sử dụng cung đối

– Biến đổi về góc nhỏ (dựa vào chu kỳ của (cos alpha ) là (,2pi ))

– Sử dụng cung bù

(begin{array}{l}
a)cos left( { – frac{{11pi }}{4}} right) = cos frac{{11pi }}{4} = cos left( {2pi  + frac{{3pi }}{4}} right) = cos frac{{3pi }}{4}\
 = cos left( {pi  – frac{pi }{4}} right) =  – cos frac{pi }{4} =  – frac{{sqrt 2 }}{2}
end{array})

(begin{array}{l}
b)tan frac{{31pi }}{6} = {mathop{rm t}nolimits} {rm{an}}left( {4pi  + frac{{7pi }}{6}} right) = tan frac{{7pi }}{6}\
 = tan left( {pi  + frac{pi }{6}} right) = tan frac{pi }{6} = frac{{sqrt 3 }}{3}
end{array})

(begin{array}{l}
c),,,,sin ( – {1380^0}) =  – sin ({1380^0}) =  – sin ({4.360^0} – {60^0})\
 =  – sin ( – {60^0}) = ,,,,,sin {60^0} = frac{1}{2}
end{array})

3. Luyện tập Bài 2 chương 6 đại số 10

Trong phạm vi bài học HỌC247 chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về giá trị lượng giác của một cung và phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan đến giá trị lượng giác của một cung.

3.1 Trắc nghiệm về giá trị lượng giác của một cung

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 2

để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 7- Câu 18: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về giá trị lượng giác của một cung

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn

Giải bài tập Toán 10 Bài 2

 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 25 trang 205 SGK Toán 10 NC

Bài tập 26 trang 205 SGK Toán 10 NC

Bài tập 27 trang 206 SGK Toán 10 NC

Bài tập 28 trang 206 SGK Toán 10 NC

Bài tập 30 trang 206 SGK Toán 10 NC

Bài tập 31 trang 206 SGK Toán 10 NC

Bài tập 32 trang 206 SGK Toán 10 NC

Bài tập 33 trang 206 SGK Toán 10 NC

Bài tập 34 trang 207 SGK Toán 10 NC

Bài tập 35 trang 207 SGK Toán 10 NC

Bài tập 36 trang 207 SGK Toán 10 NC

Bài tập 37 trang 207 SGK Toán 10 NC

4. Hỏi đáp về bài 2 chương 6 đại số 10

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần 

Hỏi đáp

, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

 

— Mod Toán Học 10 HỌC247

Bài học cùng chương

<!–

Được đề xuất cho bạn

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

–>

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button