Kiến thức

Toán 10 Bài 3: Công thức lượng giác

Lý thuyết

12 Trắc nghiệm

37 BT SGK

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm cơ bản về Công thức lượng giác kèm theo các bài tập minh họa có lời giải chi tiết nhằm giúp các em có thêm tài liệu học tập thật tốt.

<!–

var _abdm = _abdm || []; /* load placement for account: congha, site: http://hoc247.net, size: 300×50 – mobile, zone: in_page */ _abdm.push([“1494486632″,”InPage”,”1548228356″,”InPage_1548228356″]); –>

YOMEDIA

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1 Công thức cộng

1.2. Công thức nhân đôi

1.3. Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích 

1.3.1. Công thức biến đổi tích thành tổng

1.3.2. Công thức biến đổi tổng thành tích 

2. Bài tập minh hoạ

3. Luyện tập bài 3 chương 6 đại số 10

3.1. Trắc nghiệm về công thức lượng giác

3.2. Bài tập SGK & Nâng cao về công thức lượng giác

4. Hỏi đáp về bài 3 chương 6 đại số 10 

Hãy đăng ký kênh Youtube HOC247 TV để theo dõi Video mới

 

Tóm tắt lý thuyết

Bạn đang xem: Toán 10 Bài 3: Công thức lượng giác

1.1. Công thức cộng 

cos( a – b) = cosa.cosb + sina.sinb    

cos( a + b) = cosa.cosb – sina.sinb    

sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb      

sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb     

(tan (a – b) = frac{{tan a – tan b}}{{1 + tan a.tan b}})       

(tan (a + b) = frac{{tan a + tan b}}{{1 – tan a.tan b}})      

Cách ghi nhớ: 

Sin thì sin cos cos sin
Cos thì cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ).
Tang tổng thì lấy tổng tang
Chia một trừ với tích tang, dễ òm.

1.2. Công thức nhân đôi

* Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina.cosa

cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1= 1 – 2sin2

(tan 2a = frac{{2tan a}}{{1 – {{tan }^2}a}})

Cách ghi nhớ:

Sin gấp đôi = 2 sin cos
Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin
= trừ 1 cộng hai lần bình cos
= cộng 1 trừ hai lần bình sin
Tang gấp đôi
Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang)
Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền.

* Công thức hạ bậc

(begin{array}{l}
c{rm{o}}{{rm{s}}^2}a = frac{{1 + c{rm{os}}2a}}{2}\
{rm{si}}{{rm{n}}^2}a = frac{{1 – c{rm{os}}2a}}{2}\
{tan ^2}a = frac{{1 – c{rm{os}}2a}}{{1 + c{rm{os}}2a}}
end{array})

Xem thêm: Ôn tập Vật Lý 11 Chương 7 Mắt-Các Dụng Cụ Quang

1.3. Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích

1.3.1. Công thức biến đổi tích thành tổng

(begin{array}{l}
cos a.cos b = frac{1}{2}{rm{[}}c{rm{os}}(a – b) + c{rm{os}}(a + b){rm{]}}\
sin a.sin b = frac{1}{2}{rm{[}}c{rm{os}}(a – b) – c{rm{os}}(a + b){rm{]}}\
sin a.cos b = frac{1}{2}{rm{[}}sin (a – b) + sin (a + b){rm{]}}
end{array})

Cách ghi nhớ:

Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ
Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng
Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ 

1.3.2. Công thức biến đổi tổng thành tích

(begin{array}{l}
cos u + cos v = 2cos frac{{u + v}}{2}cos frac{{u – v}}{2}\
cos u + cos v = 2cos frac{{u + v}}{2}cos frac{{u – v}}{2}\
sin u + sin v = 2sin frac{{u + v}}{2}cos frac{{u – v}}{2}\
sin u – sin v = 2cos frac{{u + v}}{2}sin frac{{u – v}}{2}
end{array})

Cách ghi nhớ:

Cos cộng cos bằng hai cos cos
cos trừ cos bằng trừ hai sin sin
Sin cộng sin bằng hai sin cos
sin trừ sin bằng hai cos sin.

Bài tập minh họa

 
 

Ví dụ 1: Tính (sin frac{{5pi }}{{12}};c{rm{os}}frac{{7pi }}{{12}})

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức cộng đối với sin và cos

* Ta có (sin frac{{5pi }}{{12}} = sin frac{{2pi  + 3pi }}{{12}} = sin (frac{pi }{6} + frac{pi }{4}))

(begin{array}{l}
 = sin frac{pi }{6}.c{rm{os}}frac{pi }{4} + c{rm{os}}frac{pi }{6}.sin frac{pi }{4}\
 = frac{1}{2}.frac{{sqrt 2 }}{2} + frac{{sqrt 3 }}{2}.frac{{sqrt 2 }}{2} = frac{{sqrt 2  + sqrt 6 }}{4}
end{array})

* Ta có (c{rm{os}}frac{{7pi }}{{12}} = c{rm{os}}frac{{3pi  + 4pi }}{{12}} = cos (frac{pi }{4} + frac{pi }{3}))

(begin{array}{l}
 = c{rm{os}}frac{pi }{4}.c{rm{os}}frac{pi }{3} – sin frac{pi }{4}.sin frac{pi }{3} = frac{{sqrt 2 }}{2}.frac{1}{2} – frac{{sqrt 2 }}{2}.frac{{sqrt 3 }}{2}\
 = frac{{sqrt 2  – sqrt 6 }}{4}
end{array})

Ví dụ 2: Chứng minh rằng 

(begin{array}{l}
a){rm{ }}tan (frac{pi }{4} – a) = frac{{1 – {mathop{rm t}nolimits} {rm{ana}}}}{{1 + {mathop{rm t}nolimits} {rm{ana}}}}\
b){rm{ }}tan (frac{pi }{4} + a) = frac{{1 + {mathop{rm t}nolimits} {rm{ana}}}}{{1 – {mathop{rm t}nolimits} {rm{ana}}}}
end{array})

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức cộng đối với tan

(begin{array}{l}
a)tan (frac{pi }{4} – a) = frac{{tan frac{pi }{4} – {mathop{rm t}nolimits} {rm{ana}}}}{{tan frac{pi }{4} + {mathop{rm t}nolimits} {rm{ana}}}} = frac{{1 – {mathop{rm t}nolimits} {rm{ana}}}}{{1 + {mathop{rm t}nolimits} {rm{ana}}}}\
b)tan (frac{pi }{4} + a) = frac{{tan frac{pi }{4} + {mathop{rm t}nolimits} {rm{ana}}}}{{tan frac{pi }{4} – {mathop{rm t}nolimits} {rm{ana}}}} = frac{{1 + {mathop{rm t}nolimits} {rm{ana}}}}{{1 – {mathop{rm t}nolimits} {rm{ana}}}}
end{array})

Ví dụ 3: Tính sin2a, cos2a, tan2a biết (sin a =  – frac{3}{5}{rm{, }}pi {rm{ < a < }}frac{{3pi }}{2})

Hướng dẫn:

+ Tính cos a bằng công thức lượng giác cơ bản thích hợp 

+ Áp dụng công thức nhân đôi

(begin{array}{l}
{sin ^2}a + c{rm{o}}{{rm{s}}^2}a = 1 Leftrightarrow c{rm{o}}{{rm{s}}^2}a = 1 – {sin ^2}a\
 Leftrightarrow c{rm{o}}{{rm{s}}^2}a = 1 – {( – frac{3}{5})^2} = frac{{16}}{{25}} Leftrightarrow cos a =  pm frac{4}{5}
end{array})

Vì (pi {rm{ < a < }}frac{{3pi }}{2}) nên (cos a =  – frac{4}{5})

Vậy (sin 2a = 2sin a.cos a = 2.( – frac{3}{5})( – frac{4}{5}) = frac{{24}}{{25}})

(begin{array}{l}
cos 2a = 2{cos ^2}a – 1 = 2{( – frac{4}{5})^2} – 1 = frac{{32}}{{25}} – 1 = frac{7}{{25}}\
tan 2a = frac{{sin 2a}}{{c{rm{os}}2a}} = frac{{24}}{{25}}.frac{{25}}{7} = frac{{24}}{7}
end{array})

Ví dụ 4: Tính ({rm{sin}}frac{pi }{8};tan frac{pi }{8})

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức hạ bậc

Ta có ({sin ^2}frac{pi }{8} = frac{{1 – c{rm{os}}frac{pi }{4}}}{2} = frac{{1 – frac{{sqrt 2 }}{2}}}{2} = frac{{2 – sqrt 2 }}{4})

Vì (sin frac{pi }{8} > 0) nên suy ra (sin frac{pi }{8} = frac{{sqrt {2 – sqrt 2 } }}{2})

({tan ^2}frac{pi }{8} = frac{{1 – c{rm{os}}frac{pi }{4}}}{{1 + c{rm{os}}frac{pi }{4}}} = frac{{1 – frac{{sqrt 2 }}{2}}}{{1 + frac{{sqrt 2 }}{2}}} = frac{{2 – sqrt 2 }}{{2 + sqrt 2 }})

Vì (tan frac{pi }{8} > 0) nên suy ra (tan frac{pi }{8} = sqrt {frac{{2 – sqrt 2 }}{{2 + sqrt 2 }}}  = sqrt {frac{{{{(2 – sqrt 2 )}^2}}}{2}}  = sqrt {3 – 2sqrt 2 }  = sqrt 2  – 1)

Ví dụ 5: Tính giá trị của các biểu thức 

(A = sin frac{{15pi }}{{12}}cos frac{{5pi }}{{12}};B = cos {75^ circ }.cos {15^ circ })

Hướng dẫn:

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

(begin{array}{l}
A = sin frac{{15pi }}{{12}}cos frac{{5pi }}{{12}} = frac{1}{2}left[ {sin left( {frac{{15pi }}{{12}} – frac{{5pi }}{{12}}} right) + sin left( {frac{{15pi }}{{12}} + frac{{5pi }}{{12}}} right)} right]\
 = frac{1}{2}left[ {sin frac{{10pi }}{{12}} + sin frac{{20pi }}{{12}}} right] = frac{1}{2}left[ {sin frac{{5pi }}{6} + sin frac{{5pi }}{3}} right]\
 = frac{1}{2}left[ {sin frac{pi }{6} + sin left( { – frac{{2pi }}{3}} right)} right] = frac{1}{2}(frac{1}{2} – frac{{sqrt 3 }}{2}) = frac{1}{4}left( {1 – sqrt 3 } right)
end{array})

(begin{array}{l}
B = cos {75^ circ }.cos {15^ circ }\
 = frac{1}{2}left[ {cos left( {{{75}^0} – {{15}^0}} right) + cos left( {{{75}^0} + {{15}^0}} right)} right]\
 = frac{1}{2}left[ {cos {{60}^0} + cos {{90}^0}} right] = frac{1}{2}left[ {frac{1}{2} + 0} right] = frac{1}{4}
end{array})

Ví dụ 6: Chứng minh đẳng thức 

({mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} + cos x = sqrt 2 .sin (x + frac{pi }{4}))

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích để biến đổi vế trái thành vế phải của đẳng thức (có thể áp dụng công thức cộng, biến đổi VP thành VT của đẳng thức)

(begin{array}{l}
VT{rm{ = sinx}} + cos x = sin x + sin (frac{pi }{2} – x)\
 = 2sin frac{pi }{4}.cos (x – frac{pi }{4}) = 2.frac{{sqrt 2 }}{2}.cos (frac{pi }{4} – x)\
 = sqrt 2 .sin [frac{pi }{2} – (frac{pi }{4} – x){rm{]}} = sqrt 2 .sin (x + frac{pi }{4}) = VP
end{array})

3. Luyện tập Bài 3 chương 6 đại số 10

Trong phạm vi bài học HỌC247 chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về Công thức lượng giác và phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan đến công thức lượng giác.

3.1 Trắc nghiệm về công thức lượng giác

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra

Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3

để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

  • Xem thêm: Những khó khăn thường gặp với môn IGCSE Chemistry-Gia sư IB

    Câu 1:

    Giả sử (A = {rm{tan }}x.{rm{tan}}(;frac{pi }{3} – {rm{ }}x){rm{tan}}(;frac{pi }{3}; + {rm{ }}x)) được rút gọn thành (A = {rm{ tan }}nx). Khi đó n bằng:

    • A. 2
    • B. 1
    • C. 4
    • D. 3
  • Câu 2:

    Nếu sinx = 3cosx thì sinx.cosx bằng:

    • A. 3/10
    • B. 2/9
    • C. 1/4
    • D. 1/6
  • Xem thêm: Chuyển đổi Lực

    Câu 3:

    Cho (sin a = frac{{sqrt 5 }}{3}) . Tính (cos 2asin a) 

    • A. (frac{{17sqrt 5 }}{{27}})
    • B. ( – frac{{sqrt 5 }}{9})
    • C. (frac{{sqrt 5 }}{{27}})
    • D. ( – frac{{sqrt 5 }}{{27}})
  • Câu 4:

    Nếu (cos alpha  + sin alpha  = sqrt 2 ,,,left( {0 < alpha  < frac{pi }{2}} right)) thì (alpha ) bằng:

    • A. (frac{pi }{6})
    • B. (frac{pi }{3})
    • C. (frac{pi }{4})
    • D. (frac{pi }{8})

Câu 7- Câu 18: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về công thức lượng giác

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn

Giải bài tập Toán 10 Bài 3

 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 43 trang 214 SGK Toán 10 NC

Bài tập 44 trang 214 SGK Toán 10 NC

Bài tập 45 trang 214 SGK Toán 10 NC

Bài tập 46 trang 215 SGK Toán 10 NC

Bài tập 47 trang 215 SGK Toán 10 NC

Bài tập 48 trang 215 SGK Toán 10 NC

Bài tập 49 trang 215 SGK Toán 10 NC

Bài tập 50 trang 215 SGK Toán 10 NC

Bài tập 51 trang 216 SGK Toán 10 NC

Bài tập 52 trang 216 SGK Toán 10 NC

Bài tập 53 trang 216 SGK Toán 10 NC

Bài tập 54 trang 216 SGK Toán 10 NC

4. Hỏi đáp về bài 3 chương 6 đại số 10

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần 

Hỏi đáp

, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

 

— Mod Toán Học 10 HỌC247

Bài học cùng chương

<!–

Được đề xuất cho bạn

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

–>

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button