Kiến thức

Toán 10-Bài tập công thức lượng giác-O2 Education

0

Toán 10 – Bài tập công thức lượng giác

Phân dạng Bài tập công thức lượng giác

1. Lý thuyết công thức lượng giác

Bạn đang xem: Toán 10-Bài tập công thức lượng giác-O2 Education

1.1. Khái niệm các giá trị lượng giác

Sử dụng đường tròn lượng giác, chúng ta có các khái niệm và kết quả sau:

Công thức lượng giác, giá trị lượng giác của một cung, đường tròn lượng giác

Công thức lượng giác, giá trị lượng giác của một cung, đường tròn lượng giác

1.2. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Bạn cần nhớ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt $ 0,dfrac{pi}{6},dfrac{pi}{4},dfrac{pi}{3},dfrac{pi}{2},pi $ như trong bảng sau:

bảng giá trị lượng giác các cung đặc biệt

bảng giá trị lượng giác các cung đặc biệt

Xem thêm: Cho hàm số $y=dfrac{3x+m}{x+m}$. Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $(2;+infty)$.

1.3. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt (cung liên kết)

Giá trị lượng giác của các cung có liên quan cos đối – sin bù – phụ chéo – khác $ pi $ tan; hơn nhau ở tuổi 90…; hơn kém chẵn $ pi $ thì sin-cos…

STT Hai cung Gọi là hai cung Công thức Cách nhớ
1 $left( -a right)$ và $a$ Đối nhau $cos (-a)=cos a$

$sin (-a)=-sin a$

$tan (-a)=-tan a$

$cot (-a)=-cot a$

Cos đối
2 $left( pi -a right)$ và$a$ Bù nhau $sin (pi -a)=sin a$

$cos(pi -a)=-cos a$

$tan (pi -a)=-tan a$

$cot (pi -a)=-cot a$

Sin bù
3 $left( frac{pi }{2}-a right)$ và $a$

 

Phụ nhau $sin left( frac{pi }{2}-a right)=cos a$

$cosleft( frac{pi }{2}-a right)=sin a$

$tan left( frac{pi }{2}-a right)=cot a$

$cot left( frac{pi }{2}-a right)=tan a$

Phụ chéo
4 $left( pi +a right)$ và $a$ Sai khác $pi $ $tan (pi +a)=tan a$

$cot (pi +a)=cot a$

$sin (pi +a)=-sin a$

$cos(pi +a)=-cos a$

Khác $pi $ tan, cot
5 $left( frac{pi }{2}+a right)$ và $a$ Hơn $frac{pi }{2}$ $sin left( frac{pi }{2}+a right)=cos a$

$cosleft( frac{pi }{2}+a right)=-sin a$

$tan left( frac{pi }{2}+a right)=-cot a$

$cot left( frac{pi }{2}+a right)=-tan a$

2 cung hơn nhau $frac{pi }{2}$ thì sin ( cung lớn) = cos ( cung nhỏ)

Mời thầy cô và các em xem thêm ở bài 

Công thức lượng giác – Giá trị lượng giác của góc lớp 10

1.4. Các công thức lượng giác cơ bản

  • $ tan x=dfrac{sin x}{cos x}, cot x=dfrac{cos x}{sin x},tan xcot x=1 $
  • $ sin^2x+cos^2x=1, 1+tan^2x=dfrac{1}{cos^2 x}, 1+cot^2x=dfrac{1}{sin^2x} $

1.5. Công thức cộng

Xem thêm: Hằng số điện môi – Wikipedia tiếng Việt

1.6. Công thức nhân và hạ bậc

1.7. Công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng

2. Các dạng toán và ví dụ điển hình

Ví dụ 1. Biểu diễn các cung có số đo: $ dfrac{pi}{4},dfrac{5pi}{4},dfrac{pi}{4}+kpi,dfrac{pi}{6},dfrac{13pi}{6},dfrac{pi}{3}+kdfrac{2pi}{3},60^circ+k120^circ $ trên đường tròn lượng giác.

Ví dụ 2. Tính $ tan 300^circ,sin(-780^circ) $

Hướng dẫn.
$ tan 300^circ=-sqrt{3},sin(-780^circ)=-dfrac{sqrt{3}}{2}. $

Ví dụ 3. Rút gọn các biểu thức

$ A=5tan540^circ+2cos1170^circ+4sin990^circ-3cos540^circ. $
$ B= 3sindfrac{25pi}{6}-3tandfrac{13pi}{4}+2cosdfrac{14pi}{3}$
$ C=dfrac{sin(-234^circ)-cos216^circ}{sin144^circ-cos216^circ}cdottan36^circ $
$ D=sin(x+pi)-cos(dfrac{pi}{2}-x)+cot(2pi-x)+tan(dfrac{3pi}{2}-x) $

Hướng dẫn.
$ A=-1, quad B=-dfrac{1}{2}, quad C=1,quad D=-2sin x $

Ví dụ 4. Chứng minh các đẳng thức

  • $ sin^4x+cos^4x=1-2sin^2xcos^2x $
  • $ sin^6x+cos^6x=1-3sin^2xcos^2x $
  • $ dfrac{1-cos x}{sin x}=dfrac{sin x}{1+cos x} $
  • $ dfrac{1+cot x}{1-cot x}=dfrac{tan x+1}{tan x-1} $

Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức lượng giác sau:

$ A=(tan x+cot x)^2-(tan x-cot x)^2 $
$ B=(1-sin^2x)cot^2x+1-cot^2x $
$ C=tan x+dfrac{cos x}{1+sin x} $
$ D=dfrac{cos xtan x}{sin^2x}-cot xcos x $

Hướng dẫn. $ A=4$, $B=sin^2x$, $C=dfrac{1}{cos x}$, $D=sin x $

Ví dụ 6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào $ x $

$ A=dfrac{cot^2x-cos^2x}{cot^2x} $
$ B=dfrac{(1-tan^2x)^2}{4tan^2x} $
$ C=2(sin^6x+cos^6x)-3(sin^4x+cos^4x) $

Hướng dẫn. $ A=1$, $B=-1$, $C=-1$

Ví dụ 7. Cho $ cosalpha=-dfrac{3}{5} $ và $ 180^circ<alpha<270^circ. $ Tính $ sinalpha,tanalpha,cotalpha? $

Hướng dẫn. $ sinalpha=-dfrac{4}{5},tanalpha=dfrac{4}{3},cotalpha=dfrac{3}{4}. $

Ví dụ 8. Cho $ tanalpha=dfrac{3}{4} $ và $ pi<alpha<dfrac{3pi}{2}. $ Tính Tính $ sinalpha,tanalpha,cotalpha? $

Hướng dẫn. $ sinalpha=-dfrac{3}{5},cosalpha=-dfrac{4}{5},cotalpha=dfrac{4}{3}. $

3. Phân loại bài tập công thức lượng giác

Dạng 1. Tính giá trị lượng giác của một cung (góc)

Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của góc, biết:

a) $sin alpha = frac{2}{3},{rm{ }}frac{pi }{2} < alpha < pi $
b) $cos alpha = frac{4}{5},{rm{ }}frac{{3pi }}{2} < alpha < 2pi $
c) $cos alpha = – frac{5}{7},{rm{ }} – pi < alpha < – frac{pi }{2}$
d) $tan alpha = frac{4}{3},{rm{ }}pi < alpha < frac{{3pi }}{2}$
e) $cot alpha = – sqrt 3 ,{rm{ }} – frac{{3pi }}{2} < alpha < – pi $
f) $tan alpha = frac{7}{3},{rm{ 0}} < alpha < frac{pi }{2}$

Bài 2. Cho $tan alpha = 3$, tính giá trị các biểu thức

a) $A = frac{{2sin alpha – 3cos alpha }}{{4sin alpha + 3cos alpha }}$
b) $B = frac{{3sin alpha – 5cos alpha }}{{5{{sin }^3}alpha – 4{{cos }^3}alpha }}$.

Bài 3. Cho $cot alpha = frac{3}{5}$, tính giá trị các biểu thức

a) $A = frac{{sin alpha + cos alpha }}{{sin alpha – cos alpha }}$
b) $B = frac{{sin alpha .cos alpha }}{{{{sin }^2}alpha – {{cos }^2}alpha }}$
c) $C = frac{{3{{sin }^2}alpha + 12sin alpha cos alpha + 10{{cos }^2}alpha }}{{3{{sin }^2}alpha + sin alpha cos alpha – 2{{cos }^2}alpha }}$.

Bài 4. Tính giá trị các biểu thức lượng giác sau:

a) $A = frac{{{{sin }^2}alpha – {{cos }^2}alpha }}{{{{sin }^2}alpha – 2{{cos }^2}alpha }}$ biết $cot alpha = 3$.
b) $A = frac{{2{{sin }^2}alpha – {{cos }^2}alpha – 1}}{{ – 2{{sin }^2}alpha + 3{{cos }^2}alpha }}$ biết $tan alpha = frac{1}{4}$.
c) $C = frac{{cot alpha + tan alpha }}{{cot alpha – tan alpha }}$ biết $sin alpha = frac{3}{5},{rm{ 0}} < alpha < frac{pi }{2}$.
d) $D = frac{{sin alpha + 3cos alpha }}{{tan alpha }}$ biết $sin alpha = – frac{4}{5},{rm{ }}frac{{3pi }}{2} < alpha < 2pi $.
e) $E = frac{{4cot alpha + 3}}{{1 – 5sin alpha }}$ biết $cos alpha = – frac{1}{3},{rm{ }}pi < alpha < frac{{3pi }}{2}$.
f) $F = frac{{sin alpha – 3cos alpha }}{{cos alpha – 2sin alpha }}$ biết $tan alpha = 3$.

Bài 5. Cho $tan alpha + cot alpha = m$. Hãy tính giá trị các biểu thức lượng giác sau $m$:

a) ${tan ^2}alpha + {cot ^2}alpha $
b) $left| {tan alpha – cot alpha } right|$
c) ${tan ^3}alpha + {cot ^3}alpha $

Bài 6. Cho $sin alpha + cos alpha = m$. Hãy tính:

a) $sin alpha cos alpha $
b) $left| {sin alpha – cos alpha } right|$
c) ${sin ^3}alpha + {cos ^3}alpha $
d) ${sin ^4}alpha + {cos ^4}alpha $ e) ${sin ^6}alpha + {cos ^6}alpha $

Dùng công thức cộng
Bài 8. Tính giá trị các biểu thức lượng giác sau:

a) $cos left( {x + frac{pi }{3}} right)$, biết $sin x = frac{1}{{sqrt 3 }}$ và $0 < x < frac{pi }{2}.$
b) $tan left( {x – frac{pi }{4}} right)$, biết $cos x = – frac{1}{3}$ và $frac{pi }{2} < x < pi .$
c) $cos left( {a + b} right),{rm{ }}sin left( {a – b} right),$ biết $sin a = frac{4}{5},{rm{ }}{0^0} < a < {90^0}$ và $sin b = frac{2}{3},{90^0} < a < {180^0}$.

Bài 9.

a) Cho $sin a = – frac{{12}}{{13}}$, với $pi < a < frac{{3pi }}{2}$. Tính $tan left( {frac{pi }{3} – a} right)$.
b) Cho $sin a = frac{5}{{13}},{rm{ }}cos b = frac{3}{5}$ với $frac{pi }{2} < a < pi ,{rm{ }}frac{pi }{2} < b < pi $. Tính $sin left( {a – b} right),{rm{ }}cos left( {a + b} right)$.
c) Cho $tan a = frac{1}{2},{rm{ sin}}b = frac{3}{5}$ với $0 < b < frac{pi }{2}$. Tính $cot left( {a – b} right),{rm{ tan}}left( {a + b} right)$.

Bài 10. Cho $tan alpha = – frac{{15}}{8}$ với $frac{{3pi }}{2} < b < 2pi $.

a) Tính $sin alpha ,{rm{ }}cos alpha ,{rm{ }}cot alpha $.
b) Tính $sin left( {alpha – 7pi } right),{rm{ }}cos left( {alpha + frac{{2pi }}{3}} right),{rm{ }}cot left( {frac{{3pi }}{4} – alpha } right)$.

Bài 11. Cho $sin alpha = frac{8}{{17}},{rm{ sin}}beta = frac{{15}}{{17}},{rm{ 0}} < alpha < frac{pi }{2},{rm{ 0}} < beta < frac{pi }{2}.$ Chứng minh $alpha + beta = frac{pi }{2}$.

Dùng công thức nhân

Bài 12. Tính $sin 2a,{rm{ }}cos 2a,{rm{ }}tan 2a$, biết

a) $sin a = – 0,6$ và $pi < a < frac{{3pi }}{2}$.
b) $sin a = frac{3}{5}$ và $frac{pi }{2} < a < pi $.
c) $cos a = – frac{5}{{13}}$ và $frac{pi }{2} < a < pi $.
d) $tan a = frac{4}{3}$ và $pi < a < frac{{3pi }}{2}$.
e) $tan a = 2$.
f) $cos a = frac{1}{4}$ và $frac{{3pi }}{2} < a < 2pi $.
g) $sin a + cos a = frac{1}{2}$ và $frac{{3pi }}{4} < a < pi $.

Bài 13. Cho $cos a = – frac{5}{{13}}$ với $pi < a < frac{{3pi }}{2}$.  Tính giá trị $$sin 2a,{rm{ }}cos 2a,{rm{ }}cot left( {frac{pi }{4} – a} right),sin left( {{{30}^0} + a} right)$$

Bài 14. Cho $sin 2a = frac{4}{5}{rm{ }}left( {frac{pi }{4} < a < frac{pi }{2}} right)$. Tính $sin a,{rm{ }}cos 2a,{rm{ }}cos 4a,{rm{ tan}}left( {frac{pi }{4} – 2a} right).$

Bài 15. Cho $sin 2a = – frac{5}{9}{rm{ }}left( {frac{pi }{2} < a < pi } right)$. Tính $sin a,{rm{ }}cos a.$

Bài 16. Cho $cos 2a = frac{3}{5}{rm{ }}left( {frac{{3pi }}{4} < a < pi } right)$. Tính $sin a,{rm{ }}cos a,{rm{ }}tan a$.

Xem thêm: Hình bán nguyệt – Wikipedia tiếng Việt

Dạng 2. Rút gọn biểu thức lượng giác:

Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau (không dùng máy tính):

a) $A = sin {170^0}.cos {80^0} + cos {10^0}.sin {80^0}.$
b) $B = frac{{cos left( { – {{288}^0}} right)cot {{72}^0}}}{{tan left( { – {{162}^0}} right)sin {{108}^0}}} – tan {18^0}$.
c) $C = frac{{sin left( { – {{243}^0}} right) + sin {{126}^0}}}{{sin {{144}^0} – cos {{126}^0}}}.tan {36^0}$.
d) $D = frac{{left( {cot {{44}^0} + tan {{226}^0}} right).cos {{406}^0}}}{{cos {{316}^0}}} – cot {72^0}.cot {18^0}$.

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau ( không dùng máy tính ):

a) $A = {sin ^2}left( {{{180}^0} – x} right) + {tan ^2}left( {{{180}^0} – x} right).{tan ^2}left( {{{270}^0} + x} right) + sin left( {{{90}^0} + x} right).cos left( {x – {{360}^0}} right)$.
b) $B = frac{{cos left( {x – {{90}^0}} right)}}{{sin left( {{{180}^0} – x} right)}} + frac{{tan left( {x – {{180}^0}} right)cos left( {x + {{180}^0}} right)sin left( {{{270}^0} + x} right)}}{{tan left( {{{270}^0} + x} right)}}$.
c) $C = frac{{sin {{20}^0}.sin {{30}^0}.sin {{40}^0}.sin {{50}^0}.sin {{60}^0}.sin {{70}^0}}}{{cos {{10}^0}.cos {{50}^0}}}.$
d) $D = tan {1^0}.tan {2^0}.tan {3^0}…..tan {88^0}.tan {89^0}.$
e) $E = cos frac{pi }{7} + cos frac{{2pi }}{7} + …. + cos frac{{6pi }}{7}$.

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = cos left( {x – frac{pi }{2}} right) + sin left( {x – pi } right)$.
b) $B = cos left( {pi – x} right) + sin left( {x + frac{pi }{2}} right)$.
c) $C = cos left( {frac{pi }{2} – x} right) + sin left( {frac{pi }{2} – x} right) – cos left( {frac{pi }{2} + x} right) – sin left( {frac{pi }{2} + x} right)$.
d) $D = cos left( {frac{{3pi }}{2} – x} right) – sin left( {frac{{3pi }}{2} – x} right) + cos left( {x – frac{{7pi }}{2}} right) – sin left( {x – frac{{7pi }}{2}} right).$
e) $E = cos left( {frac{pi }{2} – x} right) + cos left( {pi – x} right) + cos left( {frac{{3pi }}{2} – x} right) + cos left( {2pi – x} right).$
f) $F = sin left( {frac{{5pi }}{2} – x} right) – cos left( {frac{{13pi }}{2} – x} right) – 3sin left( {x – 5pi } right) – 2sin x – cos x.$

Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = sin left( {pi – x} right) – cos left( {frac{pi }{2} – x} right) + cot left( {pi + x} right).cot left( {frac{pi }{2} – x} right)$.
b) $B = cos left( {frac{pi }{2} + x} right) + cos left( {2pi – x} right) + cos left( {3pi + x} right)$.
c) $C = cot left( {x – 4pi } right)cos left( {x – frac{{3pi }}{2}} right) + cos left( {x + 6pi } right) – 2sin left( {x – pi } right)$.
d) $C = sin left( {x + 5pi } right) – cos left( {frac{pi }{2} – x} right) + cot left( {4pi – x} right) + tan left( {frac{pi }{2} – x} right)$.
e) $E = cot left( {x + 5pi } right).cos left( {x – frac{{3pi }}{2}} right) + cos left( {x + 4pi } right) – 2cos left( {x + frac{pi }{2}} right).$
f) $F = cos left( {x + 5pi } right) – 2sin left( {frac{{11pi }}{2} – x} right) – sin left( {frac{{11pi }}{2} + x} right).$

Công thức lượng giác cơ bản
Bài 5. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = left( {1 – {{sin }^2}a} right){cot ^2}a + 1 – {cot ^2}a.$ b) $B = {cos ^4}a + {sin ^2}a.{cos ^2}a + {sin ^2}a.$
c) $C = frac{{{{cos }^2}x – {{cot }^2}x}}{{{{sin }^2}x – {{tan }^2}x}}$ d) $D = frac{{{{left( {sin a + cos a} right)}^2} – 1}}{{cot a – sin a.cos a}}$.
e) $E = left( {1 + cot a} right).{sin ^3}a + left( {1 + tan a} right).{cos ^3}a$ f) $F = frac{{{{sin }^2}x + 2{{cos }^2}x – 1}}{{{{cot }^2}a}}$.

Bài 6. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = 1 – {cos ^2}a + {cot ^2}a.{sin ^2}a$.
b) $B = frac{{2{{cos }^2}a – 1}}{{sin a + cos a}}$.
c) $C = cot a – frac{{cos a}}{{sin a + 1}}$
d) $D = frac{{sin a + 1}}{{cos a}}.left[ {1 – {{left( {frac{{1 – sin a}}{{cos a}}} right)}^2}} right].$
e) $E = sqrt {left( {1 + cot a} right).{{sin }^2}a + left( {1 + tan a} right).{{cos }^2}a} $.

Bài 7. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến $x$.

a) $A = 3.{cos ^2}x.left( {1 + {{tan }^2}x} right) – {sin ^2}xleft( {1 + {{cot }^2}x} right)$
b) $B = frac{{{{sin }^4}x + {{cos }^4}x – 1}}{{{{sin }^2}x.{{cos }^2}x}}$.
c) $C = frac{{cot {}^2x – {{cos }^2}x}}{{cot {}^2x}} + frac{{sin x.cos x}}{{cot x}}$
d) $D = frac{2}{{tan x – 1}} + frac{{cot x + 1}}{{cot x – 1}}$.
e) $E = 3left( {{{sin }^4}x + {{cos }^4}x} right) – 2left( {{{sin }^6}x + {{cos }^6}x} right)$ .
f) $F = {left( {tan x + cot x} right)^2} – {left( {tan x – cot x} right)^2}$.
g) $G = sqrt {{{sin }^4}x + 4{{cos }^2}x} + sqrt {{{cos }^4}x + 4{{sin }^2}x} $ .
h) $H = 2{cos ^4}x – {sin ^4}x + {sin ^2}x.{cos ^2}x + 3{sin ^2}x$.

Công thức cộng, nhân, biến đổi

Bài 8. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = sin left( {a + b} right) + sin left( {frac{pi }{2} – a} right).sin left( { – b} right)$
b) $B = cos left( {frac{pi }{4} – a} right).cos left( {frac{pi }{4} + a} right) + frac{1}{2}{sin ^2}a$
c) $C = cos left( {frac{pi }{2} – a} right).sin left( {frac{pi }{2} – b} right) – sin left( {a – b} right)$
d) $D = cos a.cos left( {frac{pi }{3} – a} right).cos left( {frac{pi }{3} + a} right)$.
e) $E = cos left( {x + {{17}^0}} right).cos left( {{{13}^0} – x} right) – sin left( {{{17}^0} + x} right).sin left( {{{13}^0} – x} right)$.
f) $F = sin left( {2x + frac{pi }{3}} right)cos left( {x – frac{pi }{6}} right) – cos left( {2x + frac{pi }{3}} right).cos left( {frac{{2pi }}{3} – x} right)$.

Bài 9. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = frac{{sin left( {x + frac{pi }{4}} right) – cos left( {x + frac{pi }{4}} right)}}{{sin left( {x + frac{pi }{4}} right) + cos left( {x + frac{pi }{4}} right)}}$
b) $B = frac{{cot x – tan x}}{{cos 2x}}$.
c) $C = frac{{sin a + sin 3a + sin 5a}}{{cos a + cos 3a + cos 5a}}$
d) $D = frac{{sin a.cos 5a – sin 5a.cos 3a}}{{cos 2a}}$.
e) $H = sin xleft( {1 + 2cos 2x + 2cos 4x + 2cos 6x} right)$.

Bài 10. Rút gọn các biểu thức:

a) $A = frac{{sin a + sin 2a}}{{1 + cos a + cos 2a}}$
b) $B = frac{{4{{sin }^2}a}}{{1 – {{cos }^2}frac{a}{2}}}$
c) $C = frac{{1 + cos a – sin a}}{{1 – cos a – sin a}}$
d) $D = frac{{1 + sin a – 2{{sin }^2}left( {{{45}^0} – frac{a}{2}} right)}}{{4cos frac{a}{2}}}$.
e) $E = frac{{tan 2a}}{{tan 4a – tan 2a}}$
f) $F = frac{{3 – 4cos 2a + cos 4a}}{{3 + 4cos 2a + cos 4a}}$
g) $G = sqrt {1 + sin a} – sqrt {1 – sin a} ,{rm{ }}0 < a < frac{pi }{2}$ h) $H = frac{{sin a + sin 3a + sin 5a}}{{cos a + cos 3a + cos 5a}}$

Bài 11. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến $x$.

a) $A = sin 8x + 2{cos ^2}left( {{{45}^0} + 4x} right)$
b) $B = cos x + cos left( {x + frac{{2pi }}{3}} right) + cos left( {x + frac{{4pi }}{3}} right)$
c) $C = cos left( {x – frac{pi }{3}} right)cos left( {x + frac{pi }{4}} right) + cos left( {x + frac{pi }{6}} right).cos left( {x + frac{{3pi }}{4}} right)$
d) $D = sin 2x – 2sin left( {x – {{15}^0}} right).cos left( {x + {{15}^0}} right)$.
e) $E = {cos ^2}x + sin left( {x + {{30}^0}} right).sin left( {x – {{30}^0}} right)$

Bài 12. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến $x$.

a) $A = sin 6x.cot 3x – cos 6x$
b) $B = left( {cot frac{x}{3} – tan frac{x}{3}} right).tan frac{{2x}}{3}$
c) $C = frac{{{{cos }^3}x – cos 3x}}{{cos x}} + frac{{{{sin }^3}x + sin 3x}}{{sin x}}$
d) $D = {sin ^2}x + {sin ^2}left( {x + frac{{2pi }}{3}} right) + {sin ^2}left( {frac{{2pi }}{3} – x} right)$
e) $E = {cos ^2}left( {a – x} right) + {cos ^2}x – 2cos a.cos x.cos left( {a – x} right)$
f) $F = {left[ {tan left( {{{90}^0} – x} right) – cot left( {{{90}^0} + x} right)} right]^2} – {left[ {cot left( {{{180}^0} + x} right) + cot left( {{{270}^0} + x} right)} right]^2}$.

Dạng 3. Chứng minh đẳng thức lượng giác

Bài 1. Chứng minh rằng với mọi góc $alpha $ ta có:

a) $sin left( {alpha + frac{pi }{2}} right) = cos alpha $
b) $cos left( {alpha + frac{pi }{2}} right) = – sin alpha $
c) $tan left( {alpha + frac{pi }{2}} right) = – cot alpha $
d) $cot left( {alpha + frac{pi }{2}} right) = – tan alpha $.

Bài 2. Chứng minh các đẳng thức:

a) ${tan ^2}alpha – {sin ^2}alpha = {tan ^2}alpha .{sin ^2}alpha $
b) $tan alpha + frac{{cos alpha }}{{1 + sin alpha }} = frac{1}{{cos alpha }}$
c) $frac{{{{sin }^3}alpha + {{cos }^3}alpha }}{{sin alpha + cos alpha }} = 1 – sin alpha .cos alpha $
d) $frac{{{{sin }^2}alpha – {{cos }^2}alpha }}{{1 + 2sin alpha .cos alpha }} = frac{{tan alpha – 1}}{{tan alpha + 1}}$
e) ${sin ^4}alpha + {cos ^4}alpha – {sin ^6}alpha – {cos ^6}alpha = {sin ^2}alpha .{cos ^2}alpha $
f) $2left( {{{sin }^6}alpha – {{cos }^6}alpha } right) + 1 = 3left( {{{sin }^4}alpha + {{cos }^4}alpha } right)$
g) ${sin ^3}alpha left( {1 + cot alpha } right) + {cos ^3}alpha left( {1 + tan alpha } right) = sin alpha + cos alpha $

Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $frac{{1 + {{cos }^2}alpha }}{{1 – {{sin }^2}alpha }} – tan alpha .cot alpha = frac{1}{{{{cos }^2}alpha }}$ b)$frac{{sin alpha + cos alpha – 1}}{{1 – cos alpha }} = frac{{2cos alpha }}{{sin alpha – cos alpha + 1}}$
c) $frac{{sin alpha }}{{sin alpha + cos alpha }} – frac{{cos alpha }}{{cos alpha – sin alpha }} = frac{{1 + {{cot }^2}alpha }}{{1 – {{cot }^2}alpha }}$
d) $frac{{{{sin }^2}alpha }}{{sin alpha – cos alpha }} – frac{{sin alpha + cos alpha }}{{{{tan }^2}alpha – 1}} = sin alpha + cos alpha $.

Sử dụng công thức cộng, nhân
Bài 4. Chứng minh các đẳng thức sau

a) $cos x.cos left( {frac{pi }{3} – x} right).cos left( {frac{pi }{3} + x} right) = frac{1}{4}cos 3x$
b) $frac{{sin 2x + sin x}}{{1 + cos 2x + cos x}} = tan x$
c) $sin 5x – 2sin xleft( {cos 4x + cos 2x} right) = sin x$
d) $frac{{1 + cos x – sin x}}{{1 – cos x – sin x}} = – cot frac{x}{2}$
e) $frac{{sin 2x}}{{1 + cos 2x}}.frac{{cos x}}{{1 + cos x}} = tan frac{x}{2}$
f) $frac{{3 – 4cos 2x + cos 4x}}{{3 + 4cos 2x + cos 4x}} = {tan ^4}x$

Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $sin left( {a + b} right).sin left( {a – b} right) = {sin ^2}a – {sin ^2}b$
b) $frac{{4tan xleft( {1 – {{tan }^2}x} right)}}{{{{left( {1 + {{tan }^2}x} right)}^2}}} = sin 4x$
c) $frac{{2sin left( {a + b} right)}}{{cos left( {a + b} right) + cos left( {a – b} right)}} = tan a + tan b$
d) $frac{{1 + {{tan }^4}x}}{{{{tan }^2}x + {{cot }^2}x}} = {tan ^2}x$
e) $sin 2x – sin 4x + sin 6x = 4sin x.cos 2x.cos 3x$
f) $tan 3x – tan 2x – tan x = tan x.tan 2x.tan 3x$
g) $frac{{cos x.sin left( {x – 3} right) – sin x.cos left( {x – 3} right)}}{{cos left( {3 – frac{pi }{6}} right) – frac{1}{2}sin 3}} = – frac{{2tan 3}}{{sqrt 3 }}$

Dạng 4. Chứng minh đẳng thức lượng giác trong tam giác

Bài 1. Cho $Delta ABC$. Chứng minh rằng:

a) $sin left( {A + B} right) = sin C$
b) $cos left( {A + B} right) = – cos C$
c) $sin frac{{A + B}}{2} = cos frac{C}{2}$
d) $cos frac{{A + B}}{2} = sin frac{C}{2}$
e) $tan frac{{A + B – C}}{2} = cot C$.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

a) $sin A = sin B.cos C + sin C.cos B$
b) $cos frac{A}{2} = sin frac{B}{2}.cos frac{C}{2} + sin frac{C}{2}.cos frac{B}{2}$
c) $sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4sin A.sin B.sin C$
d) $cos A + cos B + cos C = 1 + 4sin frac{A}{2}.sin frac{B}{2}.sin frac{C}{2}$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

a) $cos B.cos C – sin B.sin C + cos A = 0$.
b) $sin A + sin B + sin C = 4cos frac{A}{2}.cos frac{B}{2}.cos frac{C}{2}$.
c) $cos 2A + cos 2B + cos 2C = – 1 – 4cos A.cos B.cos C$.
d) $tan frac{A}{2}.tan frac{B}{2} + tan frac{B}{2}.tan frac{C}{2} + tan frac{C}{2}.tan frac{A}{2} = 1$

Lượng giác

,

Toán học

biểu thức lượng giác

,

công thức lượng giác

,

giá trị lượng giác

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button