Kiến thức

Một số dạng toán về phương trình bậc hai cơ bản – Đào Trung Kiên

Một số dạng toán về phương trình bậc hai cơ bản

Dạng 1: Giải và biện luận phương trình bậc hai

Phương pháp: Cho phương trình ax^2+bx+c=0

1) a=0.

2) aneq 0:

+ Delta >0: phương trình có hai nghiệm phân biệt x_{1,2}=dfrac{-b pmsqrt{Delta}}{2a}

+ Delta=0: phương trình có nghiệm kép x=dfrac{-b}{2a}\

+ Delta < 0: phương trình vô nghiệm.

 

Ví dụ 1: Giải các phương trình:

  1. a) x^2-2x-5=0
  2. b) (2x-1)(x-1)=0.
  3. c) x^4-5x^2-6=0

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình:

  1. a) (m-1)x^2-2mx+m-5=0
  2. b) [(k+1)-1](x-1)=0.
  3. c) dfrac{2x}{x+m}+dfrac{x}{x-m}=dfrac{m^2}{4(x^2-m^2}
  4. d) dfrac{x}{m(x+1)}-dfrac{2}{x+2}=dfrac{3-m^2}{m(x+1)(x+2)}

Dạng 2: Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm}

Phương pháp: Cho phương trình: ax^2+bx+c=0. Tìm điều kiện của tham số sao cho:

Loại 1:Phương trình vô nghiệm Leftrightarrow left[ begin{array}{l} a = b = 0,c ne 0 \ a ne 0,Delta < 0 \ end{array} right.

Loại 2: Phương trình nhận mọi x làm nghiệm Leftrightarrow a=b=c=0\

Loại 3: Phương trình có nghiệm Leftrightarrow left[ begin{array}{l} a = b =c= 0 \ a ne 0,Delta geq 0 \ end{array} right.

Loại 4: Phương trình có nghiệm duy nhất Leftrightarrow left[ begin{array}{l} a = 0, bne 0 \ a ne 0,Delta = 0 \ end{array} right.

Loại 5: Phương trình có nghiệm kép Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a ne 0 \ Delta = 0 \ end{array} right.

Loại 6: Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a ne 0 \ Delta > 0 \ end{array} right.

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất mx^2+2(m-1)x-2=0

Ví dụ 3: Cho phương trình mx^2-2(m-2)x+m-3=0

  1. a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
  2. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác thì phương trình a^2x^2+(a^2+b^2-c^2)x+b^2=0 vô nghiệm.

Dạng 3: Định lý Viet và ứng dụng

Định lý Viet: Nếu phương trình bậc hai ax^2+bx+c=0 có hai nghiệm x_1,x_2 thì ta có left{begin{array}{l} x_1+x_2=dfrac{-b}{a}\ x_1x_2=dfrac{c}{a} end{array}right.

Bài toán 1: Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng.}

Phương pháp: Nếu hai số u,vleft{begin{array}{l} u+v=S\ u.v=P end{array}right. thì u,v là nghiệm của phương trình

t^2-St+P=0 (1)

Chú ý: Nếu (1) có hai nghiệm t_1,t_2 thì ta được

$left[begin{array}{l} u=t_1 & v=t_2\ u=t_2 & v=t_1 end{array}right.$

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình left{begin{array}{l} x+y=5\ x.y=6 end{array}right.

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình left{begin{array}{l} x+y=2\ x^2+y^2=10 end{array}right.

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình left{begin{array}{l} sqrt[3]{x}+sqrt[3]{y}=4\ xy=27 end{array}right.

Bài toán 2: Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm

Ví dụ 4: Gọi x_1,x_2 là các nghiệm của phương trình x^2-x-6=0. Tính giá trị của các biểu thức:

  1. a) A=dfrac{x_1}{x_2}+dfrac{x_2}{x_1}
  2. b) B=|x_1-x_2| latex
  3. c) C=(x_1-2x_2)(x_2-2x_1)

Ví dụ 5: Tìm m để phương trình x^2-2mx+4=0 có hai nghiệm x_1,x_2 thỏa mãn điều kiện x_1^4+x_2^4=4.

Bài toán 3: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số}

Phương pháp:

Bước 1: Tìm đk của m để pt có nghiệm.

Bước 2: Áp dụng định lý Viet tính left{begin{array}{l} x_1+x_2=f(m)\ x_1.x_2=g(m) end{array}right.

Bước 3: Khử m từ hệ trên được hệ thức cần tìm.

Ví dụ 6: Cho phương trình (m+2)x^2-(m+4)x+2-m=0.

  1. a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
  2. b) Với m tìm được ở câu a), hãy tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x_1,x_2 không phụ thuộc vào m.

Ví dụ 7: Cho phương trình (1+m^2)x^2-2mx+1-m^2=0 (1).

  1. a) Chứng minh rằng với mọi m>1 phương trình luôn có nghiệm.
  2. b) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc vào m.

Bài toán 4: Xác định dấu các nghiệm của phương trình

Phương pháp:

  1. a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu: a.c<0\
  2. b) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu: begin{cases} Delta geq 0\ P>0 end{cases}.\
  3. c) Phương trình có hai nghiệm dương: begin{cases} Delta geq 0\ P>0 \S>0 end{cases}.\
  4. d) Phương trình có hai nghiệm âm: begin{cases} Delta geq 0\ P>0 \S<0 end{cases}.

Ví dụ 8: Cho phương trình mx^2-2(m-1)x+m-3=0. Tìm m để phương trình:

  1. a) có hai nghiệm trái dấu
  2. b) có hai nghiệm cùng dấu
  3. c) có hai nghiệm cùng dương
  4. d) có hai nghiệm cùng âm
  5. e) có hai nghiệm cùng âm
  6. f) có đúng một nghiệm dương
  7. g) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.

Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số để nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện K cho trước

Phương pháp:

Bước 1: Tìm đk để pt có nghiệm x_1,x_2.

Bước 2: Áp dụng định lý Viét ta được: begin{cases} x_1+x_2=f(m)\ x_1x_2=g(m)end{cases} (I).

Bước 3: Biểu diễn điều kiện K thông qua hệ (I).

Dạng 4: Một số bài toán khác

Bài toán 1: Lập phương trình bậc hai

Ví dụ 9:  Cho biết x_1,x_2 là nghiệm của phương trình bậc hai 5x^2-7x+1=0. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là:

a) dfrac{x_1}{x_2+1}dfrac{x_2}{x_1+1}

b)1+x_1^31+x_2^3

BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 1: Giải và biện luận các phương trình sau:

  1. a) (m-3)x^2-4mx+4m-5=0
  2. b) (m-1)x^2+3x-1=0
  3. c) (mx-2)(2mx-x+1)=0
  4. e) x^2-4x+m-3=0

Bài 2:

Cho phương trình dfrac{x}{m(x+1)}-dfrac{2}{x+2}=dfrac{3-m^2}{m(x+1)(x+2)}

  1. a) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
  2. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bài 3:Chứng minh rằng với mọi m phương trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt x^2-2(m-1)x-m^2-m- 1=0

Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:

  1. a) begin{cases} x+y=1\ x^3-y^3=9 end{cases}

b)begin{cases} x+y=4\ (x^2+y^2)(x^3+y^3)=280 end{cases}

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button