Kiến thức

Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

Lý thuyết

10 Trắc nghiệm

31 BT SGK

Thông qua bài học các em sẽ nắm được các dạng Phương trình lượng gác cơ bảncông thức nghiệm của chúng. Cùng với hệ thống bài tập minh họa có hướng dẫn giải sẽ giúp các em nắm vững nội dung bài học. Đây là bài toán nền tảng để các em học tiếp những dạng phương trình lượng phức tạp hơn hay giải một số dạng bài tập có liên quan đến lượng giác khác.

<!–

var _abdm = _abdm || []; /* load placement for account: congha, site: http://hoc247.net, size: 300×50 – mobile, zone: in_page */ _abdm.push([“1494486632″,”InPage”,”1548228356″,”InPage_1548228356″]); –>

YOMEDIA

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Phương trình sinx= a

1.2. Phương trình cosx= a

1.3. Phương trình tanx= a

1.4. Phương trình cotx= a

2. Bài tập minh hoạ

 

3. Luyện tập bài 2 chương 1 giải tích 11

 

3.1 Trắc nghiệm về phương trình lượng giác

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về hàm số lượng giác

4. Hỏi đáp về bài 2 chương 1 giải tích 11

Hãy đăng ký kênh Youtube HOC247 TV để theo dõi Video mới

 

Tóm tắt lý thuyết

Bạn đang xem: Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản

1.1. Phương trình sinx= a 

  • Nếu (|a|>1): Phương trình vô nghiệm.  
  • Nếu (|a|leq 1):
    •  (sin x = sin alpha Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = alpha + k2pi \ x = pi – alpha + k2pi end{array} right.left( {k in mathbb{Z}} right))
    • (sin x = sin {beta ^0} Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = {beta ^0} + k{360^0}\ x = {180^0} – {beta ^0} + k{360^0} end{array} right.left( {k inmathbb{Z} } right))
    • (sin x = a Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = arcsin a + k2pi \ x = pi – arcsin a + k2pi end{array} right.left( {k in mathbb{Z}} right))​
  • Tổng quát: (sin fleft( x right) = sin gleft( x right) Leftrightarrow left[ begin{array}{l} fleft( x right) = gleft( x right) + k2pi \ fleft( x right) = pi – gleft( x right) + k2pi end{array} right.,,left( {k inmathbb{Z} } right))   
  • Các trường hợp đặc biệt:

(begin{array}{l} oplus ,,,sin x = 1 Leftrightarrow x = frac{pi }{2} + k2pi ,,,left( {k in mathbb{Z}} right)\ oplus ,,,sin x = – 1 Leftrightarrow x = – frac{pi }{2} + k2pi ,,,left( {k inmathbb{Z} } right)\ oplus ,,,sin x = 0 Leftrightarrow x = kpi ,,,left( {k inmathbb{Z} } right) end{array})

1.2. Phương trình cosx= a 

  • Nếu (|a|>1): Phương trình vô nghiệm.  
  • Nếu (|a|leq 1):
    • (cos x = cos alpha Leftrightarrow x = pm alpha + k2pi left( {k inmathbb{Z} } right))
    • (cos x = cos {beta ^0} Leftrightarrow x = pm {beta ^0} + k{360^0}left( {k in mathbb{Z}} right))
    • (cos x = a Leftrightarrow x = pm ,arcc{rm{os}}a + k2pi left( {k in mathbb{Z}} right))
  • Tổng quát: (cos fleft( x right) =cos gleft( x right) Leftrightarrow fleft( x right) = pm gleft( x right) + k2pi ,,left( {k in mathbb{Z}} right))
  • Các trường hợp đặc biệt:

(begin{array}{l} oplus ,,,cos x = 1 Leftrightarrow x = k2pi ,,,left( {k inmathbb{Z} } right)\ oplus ,,,cos x = – 1 Leftrightarrow x = pi + k2pi ,,,left( {k inmathbb{Z} } right)\ oplus ,,,cos x = 0 Leftrightarrow x = frac{pi }{2} + kpi ,,,left( {k in mathbb{Z}} right) end{array})

(begin{array}{l} oplus tan x = {mathop{rm t}nolimits} {rm{an}}alpha Leftrightarrow ,x,{rm{ = }},alpha + kpi ,,,,left( {k inmathbb{Z} } right)\ oplus tan x = {mathop{rm t}nolimits} {rm{an}}{beta ^0} Leftrightarrow ,x{rm{ = }}{beta ^0} + k{rm{18}}{{rm{0}}^0},,,,left( {k in mathbb{Z}} right)\ oplus tan x = a Leftrightarrow x{rm{ = }}arctan a, + kpi ,,,,left( {k inmathbb{Z} } right) end{array})

  • Tổng quát: (tan fleft( x right) = tan gleft( x right) Leftrightarrow fleft( x right) = gleft( x right) + kpi ,,left( {k in mathbb{Z}} right))

1.4. Phương trình cotx=a 

(begin{array}{l} oplus cot x = cot alpha Leftrightarrow {rm{x}},,{rm{ = }},alpha ,{rm{ + }},{rm{k}}pi ,,,,left( {k in mathbb{Z}} right)\ oplus cot x = cot {beta ^0} Leftrightarrow {rm{x}},,{rm{ = }},{beta ^0}{rm{ + }},{rm{k18}}{{rm{0}}^0},,,,left( {k inmathbb{Z} } right)\ oplus cot x = a Leftrightarrow {rm{x}},,{rm{ = }}{mathop{rm arc}nolimits} cot ,a,{rm{ + }},{rm{k}}pi ,,,,left( {k inmathbb{Z} } right) end{array})

  • Tổng quát: (cot fleft( x right) = cot gleft( x right) Leftrightarrow fleft( x right) = gleft( x right) + kpi ,,left( {k in mathbb{Z}} right))

Bài tập minh họa

 
 

Ví dụ 1:

Giải các phương trình sau:

a) (sin left( {frac{{2x}}{3} – frac{pi }{3}} right)=0).

b) (sin x = sin frac{pi }{{12}}).

c) (sin 3x = frac{1}{2}).

d) (sin x = frac{2}{3}).

Lời giải:

a) (sin left( {frac{{2x}}{3} – frac{pi }{3}} right)=0Leftrightarrow frac{{2x}}{3} – frac{pi }{3} = kpi Leftrightarrow ,frac{{2x}}{3} = frac{pi }{3} + kpi)

(Leftrightarrow ,x = frac{pi }{2} + kfrac{{3pi }}{2}), (k in mathbb{Z}.)

Vậy phương trình có các nghiệm là: (,x = frac{pi }{2} + kfrac{{3pi }}{2}),  (k in mathbb{Z}.)

b) (sin x = sin frac{pi }{{12}} Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = frac{pi }{{12}} + k2pi \ x = pi – frac{pi }{{12}} + k2pi end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = frac{pi }{{12}} + k2pi \ x = frac{{11pi }}{{12}} + k2pi end{array} right.left( {k in mathbb{Z}} right))

Vậy phương trình có các nghiệm là (x = frac{pi }{{12}} + k2pi ,kin mathbb{Z}) và (x = frac{11pi }{{12}} + k2pi ,kin mathbb{Z}.) 

c) (sin 3x = frac{1}{2} Leftrightarrow sin 3x = sin frac{pi }{6} Leftrightarrow left[ begin{array}{l} 3x = frac{pi }{6} + k2pi \ 3x = frac{{5pi }}{6} + k2pi end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = frac{pi }{{18}} + kfrac{{2pi }}{3}\ x = frac{{5pi }}{{18}} + kfrac{{2pi }}{3} end{array} right.left( {k in mathbb{Z}} right))

Vậy phương trình có các nghiệm là (x = frac{pi }{{18}} + kfrac{{2pi }}{3}, k in mathbb{Z}) và (x = frac{{5pi }}{{18}} + kfrac{{2pi }}{3}, k in mathbb{Z}).

d) (sin x = frac{2}{3} Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = arcsin frac{2}{3} + k2pi \ x = pi – arcsin frac{2}{3} + k2pi end{array} right.left( {k inmathbb{Z} } right))

Vậy phương trình có các nghiệm là (x = arcsin frac{2}{3} + k2pi,k in mathbb{Z}) và (x = pi – arcsin frac{2}{3} + k2pi, k in mathbb{Z}.)

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau:

a) (cos left( {frac{{3x}}{2} – frac{pi }{4}} right) = – frac{1}{2}).

b) (cos left( {x + {{45}^0}} right) = frac{{sqrt 2 }}{2}).

Lời giải: 

a) (cos left( {frac{{3x}}{2} – frac{pi }{4}} right) = – frac{1}{2} Leftrightarrow left[ begin{array}{l} frac{{3x}}{2} – frac{pi }{4} = frac{{2pi }}{3} + k2pi \ frac{{3x}}{2} – frac{pi }{4} = – frac{{2pi }}{3} + k2pi end{array} right.)(Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = frac{{11pi }}{{18}} + kfrac{{4pi }}{3}\ x = – frac{{5pi }}{{18}} + kfrac{{4pi }}{3} end{array} right.{mkern 1mu} ,{mkern 1mu} k in mathbb{Z}.)

Vậy phương trình có các nghiệm là: ({x = frac{{11pi }}{{18}} + kfrac{{4pi }}{3}}, k in mathbb{Z}) và ({x = – frac{{5pi }}{{18}} + kfrac{{4pi }}{3}}, k in mathbb{Z}.)

b) (cos left( {x + {{45}^0}} right) = frac{{sqrt 2 }}{2} Leftrightarrow cos left( {x + {{45}^0}} right) = c{rm{os}}{45^0})

(Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x + {45^0} = {45^0} + k{360^0}\ x + {45^0} = – {45^0} + k{360^0} end{array} right.)(Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = {45^0} + k{360^0}\ x = – {90^0} + k{360^0} end{array} right.left( {k in mathbb{Z}} right).)

Vậy phương trình có các nghiệm là: ({x = {{45}^0} + k{{360}^0}}, k in mathbb{Z}) và ({x = – {{90}^0} + k{{360}^0}}, k in mathbb{Z}.)

Ví dụ 3:

Giải các phương trình sau:

a) (tan x = tan frac{pi }{3}).

b) (tan (x – {15^0}) = frac{{sqrt 3 }}{3}).

Lời giải: 

a) (tan x = tan frac{pi }{3} Leftrightarrow x = frac{pi }{3} + kpi ,left( {k inmathbb{Z} } right).)

b) (tan (x – {15^0}) = frac{{sqrt 3 }}{3} Leftrightarrow) (tan (x – {15^0}) = tan {30^0}Leftrightarrow x = {45^0} + k{180^0} , k in mathbb{Z}.)

Vậy các nghiệm của phương trình là (x = {45^0} + k{180^0} , k in mathbb{Z}.)

ví dụ 4:

Giải các phương trình sau:

a) (cot 4x = ,cot frac{{2pi }}{7}).

b) (cot 4x = – 3.)

c) (cot left( {2x – frac{pi }{6}} right) = frac{1}{{sqrt 3 }}).

Lời giải: 

a) (cot 4x = ,cot frac{{2pi }}{7}) (Leftrightarrow 4x = frac{{2pi }}{7}, + ,kpi Leftrightarrow ,x = frac{pi }{{14}} + ,kfrac{pi }{4},,k in mathbb{Z}.)

Vậy các nghiệm của phương trình là: (x = frac{pi }{{14}} + ,kfrac{pi }{4};,k in mathbb{Z}.)

b) (cot 4x = – 3 Leftrightarrow 4x = arctan left( { – 3} right) + kpi Leftrightarrow x = frac{1}{4}arctan left( { – 3} right) + kfrac{pi }{4},left( {k in mathbb{Z}} right).)

Vậy các nghiệm của phương trình là: (x = frac{1}{4}arctan left( { – 3} right) + kfrac{pi }{4},left( {k in mathbb{Z}} right).)

c) (cot left( {2x – frac{pi }{6}} right) = frac{1}{{sqrt 3 }} Leftrightarrow cot left( {2x – frac{pi }{6}} right) = cot frac{pi }{6})

(Leftrightarrow 2x – frac{pi }{6} = frac{pi }{6} + kpi Leftrightarrow 2x = frac{pi }{3} + kpi)

(Leftrightarrow x = frac{pi }{6} + kfrac{pi }{2},left( {k inmathbb{Z} } right).)

Vậy các nghiệm của phương trình là: (x = frac{pi }{6} + kfrac{pi }{2},left( {k inmathbb{Z} } right).)

3. Luyện tập Bài 2 chương 1 giải tích 11

Trong phạm vi bài học HỌC247 chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về phương trình lượng giác. Đây là một dạng toán nền tảng không chỉ trong phạm vi khảo sát hàm số lượng giác mà còn được ứng dụng trong việc giải phương trình lượng giác, sự đơn điệu của hàm số lượng giác,….các em cần tìm hiểu thêm.

Xem thêm: TP HCM: Điểm chuẩn vào lớp 10 các trường công lập vẫn chênh lệch lớn

3.1 Trắc nghiệm về phương trình lượng giác

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra

Trắc nghiệm Toán 11 Chương 1 Bài 2

để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

  • Câu 1:

    Giải phương trình (sin 4x = sin frac{pi }{5}.)

    • A. (x = frac{pi }{{20}} + kfrac{pi }{2};x = frac{pi }{5} + kfrac{pi }{2},k in mathbb{Z}.)    
    • B. (x = frac{pi }{{20}} + kfrac{pi }{2};x = frac{pi }{{10}} + kfrac{pi }{2},k in mathbb{Z}.)
    • C. (x = frac{pi }{{10}} + kfrac{pi }{2};x = frac{pi }{5} + kfrac{pi }{2},k in mathbb{Z}.)
    • D. (x = frac{{3pi }}{5} + kfrac{pi }{2};x = frac{pi }{{10}} + kfrac{pi }{2},k in mathbb{Z}.)
  • Xem thêm: Điểm chuẩn vào lớp 10 tại TpHCM năm học 2016-2017

    Câu 2:

    Giải phương trình (cos left( {x + frac{pi }{{18}}} right) = frac{2}{5}.)

    • A. (x =  pm arccos frac{2}{5} – frac{pi }{{18}} + k2pi ,k in mathbb{Z}.)
    • B. (x =  pm arccos frac{2}{5} + frac{pi }{{18}} + k2pi ,k in mathbb{Z}.)
    • C. (x =  pm arccos frac{5}{2} – frac{pi }{{18}} + k2pi ,k in mathbb{Z}.)
    • D. (x =  pm arccos frac{5}{2} + frac{pi }{{18}} + k2pi ,k in mathbb{Z}.)
  • Câu 3:

    Giải phương trình (cos (x – 5) = frac{{sqrt 3 }}{2}) với ( – pi  < x < pi .)

    • A. ({x_1} = 5 – frac{{11pi }}{6};{x_2} = 5 – frac{{13pi }}{6}.)
    • B. ({x_1} = 5 + frac{{11pi }}{6};{x_2} = 5 – frac{{13pi }}{6}.)
    • C. ({x_1} = 5 – frac{{11pi }}{6};{x_2} = 5 + frac{{13pi }}{6}.)
    • D. ({x_1} = 5 + frac{{11pi }}{6};{x_2} = 5 + frac{{13pi }}{6}.)

Câu 4- Câu 10: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về hàm số lượng giác

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn

Giải bài tập Toán 11 Chương 1 Bài 2

 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 15 trang 28 SGK Toán 11 NC

Bài tập 16 trang 28 SGK Toán 11 NC

Bài tập 17 trang 29 SGK Toán 11 NC

Bài tập 18 trang 29 SGK Toán 11 NC

Bài tập 19 trang 29 SGK Toán 11 NC

Bài tập 20 trang 29 SGK Toán 11 NC

Bài tập 21 trang 29 SGK Toán 11 NC

Bài tập 22 trang 30 SGK Toán 11 NC

Bài tập 23 trang 31 SGK Toán 11 NC

Bài tập 24 trang 32 SGK Toán 11 NC

Bài tập 25 trang 32 SGK Toán 11 NC

Bài tập 26 trang 32 SGK Toán 11 NC

4. Hỏi đáp về bài 2 chương 1 giải tích 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần 

Hỏi đáp

, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

 

— Mod Toán Học 11 HỌC247

Bài học cùng chương

<!–

Được đề xuất cho bạn

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

–>

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button