Kiến thức

Toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số

Lý thuyết

15 Trắc nghiệm

28 BT SGK

Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được hai khái niệm quan trọng của Giải tích 12 Chương 1 Bài 2Cực đạiCực tiểu, cùng với đó là điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan đến cực trị của hàm số.

<!–

var _abdm = _abdm || []; /* load placement for account: congha, site: http://hoc247.net, size: 300×50 – mobile, zone: in_page */ _abdm.push([“1494486632″,”InPage”,”1548228356″,”InPage_1548228356″]); –>

YOMEDIA

1. Video bài giảng

2. Tóm tắt lý thuyết

2.1. Định nghĩa

2.2. Điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị

3. Qui tắc tìm cực trị 

4. Bài tập minh hoạ

4.1. Dạng 1 Tìm điểm cực trị của hàm số

4.2. Dạng 2 Tìm tham số để hàm số thỏa mãn điều kiện 

5. Luyện tập bài 2 Toán 12 

5.1. Trắc nghiệm cực trị của hàm số

5.2. Bài tập SGK và Nâng Cao về hàm số

6. Hỏi đáp về cực trị của hàm số

Hãy đăng ký kênh Youtube HOC247 TV để theo dõi Video mới

 

Tóm tắt lý thuyết

Bạn đang xem: Toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số

2.1. Định nghĩa

Cho hàm số (y=f(x)) liên tục trên khoảng (a;b) và điểm (x_0in(a;b)):

  • Hàm số (f(x)) đạt cực đại tại (x_0) nếu (f(x_0)>f(x) forall xin (x_0-h,x_0+h) setminus left { x_0 right },h>0)
  • Hàm số (f(x)) đạt cực tiểu tại x0 nếu (f(x_0)0).

2.2. Điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm số có cực trị

a) Điều kiện cần để hàm số có cực trị

(f(x)) đạt cực trị tại (x_0), có đạo hàm tại (x_0) thì (f'(x_0)=0).

b) Điều kiện đủ để hàm số có điểm cực đại và cực tiểu

  • Điều kiện thứ nhất: Cho hàm số (y=f(x)) liên tục trên khoảng (K = ({x_0} – h;{x_0} + h),(h > 0)) và có đạo hàm trên K hoặc trên (Kbackslash left{ {{x_0}} right}):
    • Nếu   thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số (f(x)).
    •  Nếu  thì x0 là điểm cực đại của hàm số (f(x)).
  • Cách phát biểu khác dễ hiểu hơn: Đi từ trái sang phải
    • Nếu (f(x)) đổi dấu từ – sang + khi qua (x_0) thì (x_0) là điểm cực tiểu.
    • Nếu (f(x)) đổi dấu từ + sang – khi qua (x_0) thì (x_0) là điểm cực đại.
  • Điều kiện thứ hai: Cho hàm số (y=f(x)) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (K = ({x_0} – h;{x_0} + h),(h > 0)):
    • Nếu (f'(x_0)=0), (f”(x_0)<0) thì (x_0) là điểm cực đại của hàm số (f(x)).
    • Nếu (f'(x_0)=0)(f”(x_0)>0) thì (x_0) là điểm cực tiểu của hàm số (f(x)).

3. Qui tắc tìm cực trị

a) Quy tắc 1

  • Tìm tập xác định.
  • Tính (f'(x)). Tìm các điểm tại đó(f'(x)=0) hoặc (f'(x)) không xác định.
  • Lập bảng biến thiên.
  • Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực đại, cực tiểu.

Xem thêm: Cách ôn thi THPT môn sinh hiệu quả

b) Quy tắc 2

  • Tìm tập xác định.
  • Tính (f'(x)). Tìm các nghiệm  của phương trình (f'(x)=0).
  • Tính (f”(x)) và (f”(x_i)) suy ra tính chất cực trị của các điểm .

♦ Chú ý: nếu (f”(x_i)=0) thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại .

Bài tập minh họa

 
 

4.1. Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số

  • Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của các hàm số sau:

a) (y = frac{1}{3}{x^3} – {x^2} – 3x + frac{4}{3})

b) (y = left| x right|left( {x + 2} right))

Lời giải:

a) (y = frac{1}{3}{x^3} – {x^2} – 3x + frac{4}{3})

Cách 1:

  • Hàm số có TXĐ: (D=mathbb{R})
  • (y’ = {x^2} – 2x – 3)
  • (y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = – 1\ x = 3 end{array} right.)
  • Bảng biến thiên: 

  • Kết luận:
    • Hàm số đạt cực đại tại (x=-1), giá trị cực đại tương ứng là (y(-1)=3);
    • Hàm số đạt cực tiểu tại (x=3), giá trị cực tiểu tương ứng là (y_{CD}=-frac{23}{3}).

Cách 2: 

  • Hàm số có TXĐ: (D=mathbb{R})
  • (y’ = {x^2} – 2x – 3)
  • (y’ = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = – 1\ x = 3 end{array} right.)
  • (y ”= 2x – 2)
    •  (y”left( { – 1} right) = – 4 < 0) suy ra hàm số đạt cực đại tại (x=-1), giá trị cực đại tương ứng là (y(-1)=3).
    • ​(y”left( 3 right) = 4 > 0) suy ra hàm số đạt cực tiểu tại (x=3), giá trị cực tiểu tương ứng là (y_{CD}=-frac{23}{3}).

b) (y = left| x right|left( {x + 2} right))

  • Hàm số có TXĐ: (D=mathbb{R})
  • (y’ = frac{x}{{left| x right|}}left( {x + 2} right) + left| x right| = frac{{2left( {{x^2} + x} right)}}{{left| x right|}} (xne0))
  • Bảng biến thiên:

  • Kết luận:
    • Hàm số đạt cực đại tại (x=-1,) giá trị cực đại tương ứng là (y(-1)=1;) 
    • Hàm số đạt cực tiểu tại (x=0,) giá trị cực tiểu (y(0)=0.)
  • Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số (y=x-sin2x+2.)

Lời giải: 

  • Hàm số có TXĐ: (D=mathbb{R})
  • (y’ = 1 – 2cos 2x)
  • (y’=0 Leftrightarrow cos2xLeftrightarrow x = pm frac{pi }{6} + kpi (kinmathbb{Z}))
  • ​(y” = 4sin 2x)
    • (y”left( {frac{pi }{6} + kpi } right) = 4sin left( {frac{pi }{3} + 2kpi } right) = 2sqrt 3 > 0) suy ra hàm số đạt cực tiểu tại (x = frac{pi }{6} + kpi), giá trị cực tiểu tương ứng là (yleft( {frac{pi }{6} + kpi } right) = {textstyle{pi over 6}} + kpi – frac{{sqrt 3 }}{2} + 2).
    • ​(y”left( { – frac{pi }{6} + kpi } right) = 4sin left( { – frac{pi }{3} + 2kpi } right) = – 2sqrt 3 < 0) suy ra hàm số đạt cực đại tại (x = -frac{pi }{6} + kpi), giá trị cực đại tương ứng là (yleft( { – frac{pi }{6} + kpi } right) = – frac{pi }{6} + kpi – frac{{sqrt 3 }}{2} + 2).​

Xem thêm: Tính thể tích vật thể tròn xoay dạng 2

4.2. Dạng 2: Tìm tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ 3: 

Tìm m để hàm số (y = left( {m + 2} right){x^3} + 3{x^2} + mx – 5) có 2 cực trị

Lời giải:

  • Với m=-2 hàm số trở thành (y = 3{x^2} – 2x – 5) không thể có hai cực trị. (1)
  • Với (mne-2) ta có: (y’ = 3left( {m + 2} right){x^2} + 6x + m)
    • Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình (y’=0) có hai nghiệm phân biệt.
    • Điều này xảy ra khi: (Delta ‘ = – 3left( {{m^2} + 2m – 3} right) > 0 Leftrightarrow {m^2} + 2m – 3 < 0 Leftrightarrow – 3 < m < 1.) (2)
  • Từ (1) (2) suy ra hàm số có hai cực trị khi: (m in left( { – 3; – 2} right) cup left( { – 2;1} right))

Ví dụ 4: 

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số (: y = -x^3 + (m+3)x^2 – (m^2 + 2m)x – 2) đạt cực đại tại (x=2.)

Lời giải: 

  • Hàm số có tập xác định: (D=mathbb{R}).
  • (y’ = -3x^2 + 2(m+3)x-(m^2 + 2m);)
  • Để hàm số có cực trị tại (x=2) thì:
    • ​(y'(2) = 0 Leftrightarrow – 12 + 4(m + 3) – {m^2} – 2m = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} m = 0\ m = 2 end{array} right.)
    • Ta có: (y” = – 6x + 2(m + 3))
      • Với (m=0) thì (y”(2)=-6<0.)
      • Với (m=2) thì (y”(2)=-2<0).
  • Thứ lại với (m=0) và (m=2) hàm số đều đạt cực đại tại x=2.

5. Luyện tập Bài 2 Toán 12

5.1. Trắc nghiệm về cực trị của hàm số

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 2

 Cực trị của hàm số để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.

  • Câu 1:

    Hàm số y = f(x) liên tục trên (mathbb{R}) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

    • A. Hàm số đã cho có đúng một cực trị.
    • B. Hàm số đã cho không có giá trị cực đại.  
    • C. Hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
    • D. Hàm số đã cho không có giá trị cực tiểu.
  • Câu 2:

    Gọi A và B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (fleft( x right) = {x^3} – 3x + 1.) Tính độ dài AB.

    • A. (AB = 2sqrt 2)
    • B. (AB = 4sqrt 2)
    • C. (AB = sqrt 2)
    • D. (AB = frac{sqrt 2}{2})
  • Xem thêm: Chuyên đề Ba định luật Newton, vật lý phổ thông

    Câu 3:

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số (y = – 2{x^4} + left( {m + 3} right){x^2} + 5) có duy nhất một điểm cực trị.

    • A. (m = 0)
    • B. (m le – 3)
    • C. (m <3)
    • D. (m >-3)
  • Câu 4:

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm là (f’left( x right) = {x^4}left( {x – 1} right){left( {2 – x} right)^3}{left( {x – 4} right)^2}). Hỏi hàm số (f(x)) có bao nhiêu điểm cực trị?

    • A. 4
    • B. 3
    • C. 2
    • D. 1
  • Câu 5:

    Biết (Mleft( {0;5} right),Nleft( {2; – 11} right))  là các điểm cực trị của đồ thị hàm số (f(x)= a{x^3} + b{x^2} + cx + d). Tính giá trị của hàm số tại x=2.

    • A. f(2) = 1
    • B. f(2) = -3
    • C. f(2) = -7
    • D. f(2) = -11

Câu 6- Câu 15: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

5.2. Bài tập SGK và Nâng Cao về hàm số

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn

Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 2

sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1.27 trang 17 SBT Toán 12

Bài tập 1.28 trang 17 SBT Toán 12

Bài tập 1.29 trang 17 SBT Toán 12

Bài tập 1.30 trang 17 SBT Toán 12

Bài tập 1.31 trang 17 SBT Toán 12

Bài tập 1.32 trang 17 SBT Toán 12

Bài tập 1.33 trang 17 SBT Toán 12

Bài tập 11 trang 16 SGK Toán 12 NC

Bài tập 12 trang 17 SGK Toán 12 NC

Bài tập 13 trang 17 SGK Toán 12 NC

Bài tập 14 trang 17 SGK Toán 12 NC

Bài tập 15 trang 17 SGK Toán 12 NC

6. Hỏi đáp về cực trị hàm số

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần

Hỏi đáp

, Hoc247 sẽ sớm trả lời cho các em.

 

— Mod Toán Học 12 HỌC247

Bài học cùng chương

<!–

Được đề xuất cho bạn

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

–>

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button