Kiến thức

Toán 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

Lý thuyết

11 Trắc nghiệm

23 BT SGK

Trong chương trình phổ thông các em đã quen với việc một phương trình bậc hai vô nghiệm. Tuy nhiên, các trường hợp vô nghiệm đó do ta chỉ xét phương trình trên tập số thực. Mở rộng ra, trên tập số phức mọi phương trình bậc hai đều có nghiệm. Nội dung bài giảng sẽ hướng dẫn các em cách giải một phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức.

<!–

var _abdm = _abdm || []; /* load placement for account: congha, site: http://hoc247.net, size: 300×50 – mobile, zone: in_page */ _abdm.push([“1494486632″,”InPage”,”1548228356″,”InPage_1548228356″]); –>

YOMEDIA

1. Video bài giảng

2. Tóm tắt lý thuyết

2.1. Phương trình bậc hai với hệ số thực

2.2. Nhận xét về nghiệm phương trình bậc hai trên tập số phức

3. Bài tập minh hoạ bài 4 Chương 4 Toán 12

4. Luyện tập Bài 4 Chương 4 Toán 12

4.1 Trắc nghiệm về Phương trình bậc hai với hệ số thực

4.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về  Phương trình bậc hai với hệ số thực

5. Hỏi đáp về bài 4 Chương 4 Toán 12

Hãy đăng ký kênh Youtube HOC247 TV để theo dõi Video mới

 

Tóm tắt lý thuyết

Bạn đang xem: Toán 12 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

2.1. Phương trình bậc hai với hệ số thực

  • Các căn bậc hai của số thực (a<0) là (pm isqrt a.)
  • Xét phương trình bậc hai (ax^2 + bx + c = 0) với (a,b,cin mathbb{R},ane0.)

Đặt (Delta=b^2-4ac):

  • Nếu (Delta=0) thì phương trình có một nghiệm kép (thực) (x=-frac{b}{2a}.)
  • Nếu (Delta>0) thì phương trình có hai nghiệm thực (x_{1,2}=frac{-bpm sqrt Delta}{2a}.)
  • Nếu (Delta<0) thì phương trình có hai nghiệm phức ({x_{1,2}} = frac{{ – b pm isqrt {left| Delta right|} }}{{2a}}.)

2.2. Nhận xét về nghiệm phương trình bậc hai trên tập số phức

Trên (mathbb{C}), mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).

Tổng quát, mọi phương trình bậc (n) ((ninmathbb{N}^*))đều có (n) nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phải phân biệt). 

Bài tập minh họa

 
 

Ví dụ 1:

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) (,,{z^2} + 2z + 5 = 0)

b) ({z^3} + 8 = 0)

c) (z^3-27=0)

d) (,,{z^4} – {z^3} + 6{z^2} – 8z – 16 = 0)

Lời giải:

a) (,,{z^2} + 2z + 5 = 0)

Ta có: ({Delta ‘} = – ,4 = 4{i^2} Rightarrow z = – 1 pm 2i)

Vậy phương trình có 2 nghiệm: (z=-1+2i;z=-1-2i.)

b) ({mkern 1mu} {mkern 1mu} {z^3} + 8 = 0 Leftrightarrow (z + 2)({z^2} – 2z + 4) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} z = – 2\ {z^2} – 2z + 4 = 0,(*) end{array} right.)

Giải (*): 

Ta có: (Delta ‘ = – 3 = 3{i^2}). Vậy (*) có hai nghiệm phức: (z = 1 pm sqrt 3 i.)

Vậy phương trình có 3 nghiệm phức: (z=-2;z=1+sqrt 3i;z=1-sqrt3i.)

c) ({z^3} – 27 = 0 Leftrightarrow left( {z – 3} right)left( {{z^2} + 3z + 9} right) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} z = 3\ {z^2} + 3z + 9 = 0,(*) end{array} right.)

Giải (*):

Ta có: (Delta = – 27 = 27i^2). Vậy (*) có hai nghiệm phức: (z =frac{-3pm 3sqrt3i}{2}.)

Vậy phương trình có 3 nghiệm phức: (z=3;z=frac{-3+3sqrt3i}{2};z=frac{-3-3sqrt3i}{2}.)

d) (,,{z^4} – {z^3} + 6{z^2} – 8z – 16 = 0 Leftrightarrow (z + 1)(z – 2)({z^2} + 8) = 0)

(Leftrightarrow left[ begin{array}{l} z = – 1\ z = 2\ z = pm 2sqrt 2 i end{array} right.)

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) (,,({z^2} – z)(z + 3)(z + 2) = 10)

b) (,,{(z + 3)^4} + {(z + 5)^4} = 2)

c) (,,{({z^2} + 3z + 6)^2} + 2z({z^2} + 3z + 6) – 3{z^2} = 0)

Lời giải:

a) (,,({z^2} – z)(z + 3)(z + 2) = 10)

(Leftrightarrow {left( {{z^2} – 2z} right)^2} + 7left( {{z^2} – 2z} right) + 10 = 0)

(Leftrightarrow left[ begin{array}{l} {z^2} – 2z = – 2\ {z^2} – 2z = – 5 end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l} z = 1 pm i\ z = 1 pm 2i end{array} right..)

b) (,,{(z + 3)^4} + {(z + 5)^4} = 2)

Đặt ({rm{t}} = z + {rm{4}}), khi đó phương trình trở thành:

({(t – 1)^4} + {(t + 1)^4} = 2 Leftrightarrow {t^4} + 6{t^2} = 0)

(Leftrightarrow left[ begin{array}{l} {t^2} = 0\ {t^2} + 6 = 0 end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l} t = 0\ t = pm sqrt 6 i end{array} right.)

Với ({rm{t }} = {rm{ }}0 Rightarrow z = – 4.)

Với ({rm{t }} = {rm{ }}sqrt[{}]{6}i Rightarrow z = – 4 + sqrt[{}]{6}i.)

Với ({rm{t }} = {rm{ – }}sqrt[{}]{6}i Rightarrow z = – 4 – sqrt[{}]{6}i.)

c) (,,{({z^2} + 3z + 6)^2} + 2z({z^2} + 3z + 6) – 3{z^2} = 0)

 Đặt (t = {z^2} + 3z + 6), khi đó phương trình trở thành:

({t^2} + 2zt – 3{z^2} = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} t = z\ t = – 3z end{array} right.)

Với  (t = z Rightarrow {z^2} + 3z + 6 = z Leftrightarrow z = – 1 pm sqrt 5 i.)
Với  (t = – 3z Rightarrow {z^2} + 3z + 6 = – 3z Leftrightarrow z = – 3 pm sqrt 3.)

 

4. Luyện tập Bài 4 Chương 4 Toán 12

Trong chương trình phổ thông các lớp, các em đã quen với khái niệm bình phương của một số luôn luôn nhận được kết quả là một số không âm, hay số âm không có căn bậc hai. Từ thực tiễn tính toán và nhu cầu của các môn khoa học người ta đã cho ra đời con số i có bình phương bằng -1 là nền tảng của sự ra đời số phức. Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em các khái niệm liên quan đến số phức và các tính chất của nó.

Xem thêm: Vật lý 10 Bài 2: Chuyển động thẳng đều

4.1 Trắc nghiệm về Phương trình bậc hai với hệ số thực

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 4

để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

  • Câu 1:

    Biết ({z_1},{z_2}) là hai nghiệm phức của phương trình (2{z^2} + sqrt 3 z + 3 = 0). Tính (z_1^2 + z_2^2).

    • A.  (-frac{9}{4})
    • B.  (frac{8}{3})
    • C.  (frac{{sqrt 3 }}{2})
    • D.   (frac{{ – sqrt 3 }}{2})
  • Xem thêm: Cách Tính Khối Lượng Inox: Ống tròn, vuông, chữ nhật, láp

    Câu 2:

    Giải phương trình ({z^2} + 2z + 2 = 0) trên tập số phức ta được hai nghiệm ({z_1},,{z_2}). Tính tích ({z_1}.{z_2}).

    • A. z1.z2=0
    • B. z1.z2=1
    • C. z1.z2=2
    • D. z1.z2=3
  • Câu 3:

    Tính S là tổng các nghiệm phức của phương trình ({z^3} – 8 = 0.)

    • A.  (S=0)
    • B.  (S=i)
    • C.  (S=2isqrt3)
    • D.  (S=1)
  • Xem thêm: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ VÀ PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ

    Câu 4:

    Kí hiệu (z_0) là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình (4{z^2} – 16z + 17 = 0.)Trên mặt phẳng toạ độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức ({rm{w}} = i{z_0}?)

    • A.  ({M}left( {frac{1}{2};2} right).)
    • B. ({M}left( {-frac{1}{2};2} right).)
    • C.  ({M}left( {-frac{1}{4};1} right).)
    • D. ({M}left( {frac{1}{4};1} right).)

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

4.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Phương trình bậc hai với hệ số thực

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn

Giải bài tập Toán 12 Bài 4

 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 4.33 trang 207 SBT Toán 12

Bài tập 4.34 trang 207 SBT Toán 12

Bài tập 17 trang 195 SGK Toán 12 NC

Bài tập 18 trang 196 SGK Toán 12 NC

Bài tập 19 trang 196 SGK Toán 12 NC

Bài tập 20 trang 196 SGK Toán 12 NC

Bài tập 21 trang 197 SGK Toán 12 NC

Bài tập 22 trang 197 SGK Toán 12 NC

Bài tập 23 trang 199 SGK Toán 12 NC

Bài tập 24 trang 199 SGK Toán 12 NC

Bài tập 25 trang 199 SGK Toán 12 NC

Bài tập 26 trang 199 SGK Toán 12 NC

5. Hỏi đáp về Bài 4 Chương 4 Toán 12

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần 

Hỏi đáp

, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

 

— Mod Toán Học 12 HỌC247

Bài học cùng chương

<!–

Được đề xuất cho bạn

(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

–>

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button
444 live app 444 live 444 live app 444live kisslive kiss live yy live yylive