Kiến thức

Nhị thức Niu-tơn toán lớp 11 bài 3 giải bài tập

Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Chia sẻ

Nhị thức Niu-tơn toán lớp 11 bài 3 giải bài tập được soạn và biên tập bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm giảng dạy môn toán. Đảm bảo chính xác dễ hiểu giúp các em nhanh chóng nắm được kiến thức trọng tâm trong bài Nhị thức Newton và ứng dụng giải các bài tập sgk để các em hiểu rõ hơn.

Bài 3: Nhị thức Niu-tơn thuộc: 

Chương II: Tổ hợp – xác suất

I. Công thức nhị thức Niu – Tơn

Bạn đang xem: Nhị thức Niu-tơn toán lớp 11 bài 3 giải bài tập

1. Công thức nhị thức Niu – Tơn

Với a,b là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên n≥1, ta có:

(a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b+…+

Cnn−1abn−1+Cnnbn(1)

Ví dụ:

Viết khai triển (a+b)5.

Hướng dẫn:

Ta có:

(a+b)5

=C50a5+C51a4b+C52a3b2 +C53a2b3+C54ab4+C55b5

=a5+5a4b+10a3b2 +10a2b3+5ab5+b5

2. Quy ước

Với a là số thực khác 0 và n là số tự nhiên khác 0, ta quy ước:

a0=1a−n=1an.

3. Chú ý

Với các điều kiện và quy ước ở trên, đồng thời thêm điều kiện a và b đều khác 0, có thể viết công thức (1) ở dạng sau đây:

(a+b)n=∑k=0nCnkan−kbk=∑k=0nakbn−k

Công thức này không xuất hiện trong SGK nên khi trình bày bài toán các em lưu ý không dùng. Chỉ dùng khi làm trắc nghiệm để các bước tính toán được ngắn gọn và nhanh ra đáp án.

II. Tam giác Pa-xcan

Xem thêm: Toluen – Wikipedia tiếng Việt

1. Tam giác Pa-xcan là tam giác số ghi trong bảng (SGK)

2. Cấu tạo của tam giác Pa-xcan

– Các số ở đầu và cuối hàng đều bằng 1.

– Xét hai số ở cột k và cột k+1, đồng thời cùng thuộc dòng n, (k≥0;n≥1), ta có: tổng của hai số này bằng số đứng ở giao của cột k+1 và dòng n+1.

3. Tính chất của tam giác Pa-xcan

Từ cấu tạo của tam giác Pa-xcan, có thể chứng minh được rằng:

a) Giao của dòng n và cột k là Cnk

b) Các số của tam giác Pa-xcan thỏa mãn công thức Pa-xcan:

Cnk+Cnk+1=Cn+1k+1

c) Các số ở dòng n là các hệ số trong khai triển của nhị thức (a+b)n (theo công thức nhị thức Niu – Tơn), với a,b là hai số thực tùy ý.

Chẳng hạn, các số ở dòng 4 là các hệ số trong khai triển của (a+b)4 (theo công thức nhị thức Niu – Tơn) dưới đây:

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

III. Bài tập áp dụng tổ hợp và nhị thức Newton

Xem thêm: Soubor:Phosphorescence.jpg – Wikipedie

Bài 1 trang 57 SGK Đại số 11: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu – tơn:

Giải bài 1 trang 57 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

Giải bài 1 trang 57 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 1 trang 57 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 1 trang 57 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 1 trang 57 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Kiến thức áp dụng

+ Khai triển nhị thức Niu-tơn:

Giải bài 1 trang 57 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 2 trang 58 SGK Đại số 11: Tìm hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức : Giải bài 2 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

+ Số hạng tổng quát của khai triển Giải bài 2 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 là:

Giải bài 2 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11+ x3 ứng với 6 – 3k = 3 ⇔ k = 1.

Vậy hệ số của x3 là: Giải bài 2 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Kiến thức áp dụng

Giải bài 2 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 3 trang 58 SGK Đại số 11: Biết hệ số của x2 trong khai triển của (1 – 3x)n là 90. Tìm n.

Lời giải:

+ Số hạng tổng quát của khai triển (1 – 3x)n là:

Giải bài tập Đại số 11 | Để học tốt Toán 11+ Số hạng chứa x2 ứng với k = 2.

Hệ số của x2 là 90 nên ta có:

Giải bài tập Đại số 11 | Để học tốt Toán 11Vậy n = 5.

Xem thêm: ✅ Cách giải phương trình bậc 2 ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️

Bài 4 trang 58 SGK Đại số 11: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của Giải bài 4 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Lời giải:

+ Số hạng tổng quát trong khai triển Giải bài 4 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 là:

Giải bài 4 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

+ Số hạng không chứa x tương ứng với 24 – 4k = 0 ⇔ k = 6.

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển đã cho là: Giải bài 4 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Kiến thức áp dụng

Với các bài toán liên quan đến hệ số của xm trong khai triển một biểu thức ta thường làm như sau:

+ Tìm số hạng tổng quát trong khai triển.

+ Tìm k tương ứng với xm

+ Tìm hệ số của xm tương ứng với k vừa tìm được.

Bài 5 trang 58 SGK Đại số 11: Tìm khai triển biểu thức (3x – 4)17 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.

Lời giải:

Giải bài 5 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Đặt S là tổng các hệ số của đa thức khai triển.

Ta có:

Giải bài 5 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Vậy tổng các hệ số của đa thức khai triển bằng -1.

Kiến thức áp dụng

+ Khai triển nhị thức Niu-tơn:

Giải bài 5 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Bài 6 (trang 58 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng:

a) 1110 – 1 chia hết cho 100

b) 101100 – 1 chia hết cho 10.000

c) Giải bài 6 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11 là một số nguyên

Lời giải:

a) Ta có; 1110 = (10+1)10 ( khai triển nhị thức Niu- tơn )

Giải bài 6 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Do đó, 1110 -1 chia hết cho 100

b) Ta có: 10110 = (100+1)10 ( khai triển nhị thức Niu- tơn )

Giải bài 6 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Do đó, 10110 -1 chia hết cho 10000

Giải bài 6 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 6 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 6 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 6 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Giải bài 6 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Kiến thức áp dụng

+ Khai triển nhị thức Niu-tơn:

Giải bài 6 trang 58 sgk Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

toán lớp 11 bài 3 giải bài tập do đội ngũ giáo viên giỏi toán biên soạn, bám sát chương trình SGK mới toán học lớp 11. Được Soanbaitap.com biên tập và đăng trong chuyên mục 

giải toán 11

 giúp các bạn học sinh học tốt môn 

toán đại 11

. Nếu thấy hay hãy comment và chia sẻ để nhiều bạn khác cùng học tập.

  • TAGS
  • Chương II: Tổ hợp – xác suất

Xem Video bài học trên YouTube

Phan Thu Hang

Là một giáo viên Dạy cấp 2 và 3 thích viết lạch và chia sẻ những cách giải bài tập hay và ngắn gọn nhất giúp các học sinh có thể tiếp thu kiến thức một cách nhanh nhất

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button