Kiến thức

Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định-Soạn Bài Tập

Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định

Chia sẻ

Trong bài viết này chúng ta sẽ tìm hiểu về Phương pháp nguyên hàm từng phần được sử dụng để tìm tích phân bất định của các hàm phức tạp như hàm vừa chứa hàm lượng giác và hàm vô tỉ, hay hàm vừa chứa hàm vô tỉ và hàm logarit cơ số e, hay hàm mũ e. Trong bài viết này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu các dạng toán sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Bạn đang xem: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định-Soạn Bài Tập

I. Cách tính tích phân bất định bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

– Nếu 2 hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm và liên tục trên K thì:

Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 183

– Công thức nguyên hàm từng phần viết gọn: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 184

II. Một số dạng toán tính tính phân bất định (tìm nguyên hàm) sử dụng nguyên hàm từng phần

• Dạng 1: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 185 hoặc Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 186 hoặc Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 187 trong đó Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 188 là đa thức.

* Phương pháp: Đặt Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 189 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 190 hoặc Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 191 hoặc Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 192

• Dạng 2: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 193 hoặc Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 194 trong đó Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 188 là đa thức.

* Phương pháp: Đặt Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 196 hoặc Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 197Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 198

• Dạng 3: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 199 hoặc  Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 200 trong đó Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 201

* Phương pháp: Đặt Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 202 hoặc Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 203Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 204

• Lưu ý khi sử dụng nguyên hàm từng phần:

– Ưu tiên đặt u là ‘nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ’ phần còn lại đặt là dv.

– Đối với nguyên hàm có chứa lượng giác và mũ có thể đặt u và dv theo thứ tự lượng giác – mũ hoặc người lại đều được và phải sử dụng 2 lần tích phân từng phần và phải thống nhất theo cùng thứ tự, nếu không sẽ xảy ra trường hợp đi vòng I = I.

– Số lần thực hiện tích phân từng phần phụ thuộc vào bậc của hàm logarit và đa thức cụ thể:

◊ Nếu trong biểu thức tính nguyên hàm có Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 205 thì phải tính tính phân từng phần n lần.

◊ Nếu trong biểu thức tích phân có đa thức bậc n (không có hàm logarit) thì cũng phải tính tích phân từng phần n lần.

Ví dụ 1 (áp dụng Dạng 1): Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần tính các nguyên hàm sau:

a) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 206

* Lời giải: Đặt Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 207

– Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:  Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 208

Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 209

b) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 210

* Lời giải: Đặt Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 211

– Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:

Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 212 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 213 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 214

c) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 215

* Lời giải: Đặt Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 216

⇒ Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 217 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 218

Với Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 219 ta áp dụng tiếp tích phân từng phần với Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 220

Đặt: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 221

⇒ Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 222 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 223

– Thay Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 220 vào Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 225 ta được kết quả:

Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 226 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 227

* Nhận xét: Ta thấy tích phân chứa đa thức bậc 2 (x2) nên ta phải tính tính phân từng phần 2 lần.

d) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 228

* Lời giải: Đặt Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 229

Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 230 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 231

– Với Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 232 ta tiếp tục áp dụng tích phân từng phần cho Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 220

Đặt: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 234

Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 235Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 236 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 237

– Thế Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 220 vào Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 225 ta được kết quả: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 240 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 241

e) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 242

* Lời giải:  Đối với bài toán này ta cần hạ bậc hàm lượng giác trước để đưa và dạng cơ bản áp dụng tích phân từng phần, ta có:

Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 242 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 244 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 245 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 246

– Ta có: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 247 áp dụng tích phân từng phần:

Đặt: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 248

⇒ Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 249 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 250Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 251

– Thế Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 220 vào Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 225 ta được kết quả: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 254

Ví dụ 2 (áp dụng Dạng 2): Dùng phương nguyên hàm từng phần tính tích phân bất định của các nguyên hàm sau:

a) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 255

* Lời giải: Đặt Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 256

Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 257  Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 258

b)Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 259

* Lời giải: Đặt Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 260

⇒ Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 261 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 262

c) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 263

* Lời giải:

– Ta có: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 263 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 265

– Đặt: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 266Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 267

⇒ Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 268 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 269

d) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 270

* Lời giải:

– Ta có:Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 270 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 272

– Đặt: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 273Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 274

Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 275 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 276Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 277

Ví dụ 3 (áp dụng dạng 3): Tìm nguyên hàm của các hàm sau:

a) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 278

* Lời giải: Bài toán này sẽ vận dụng linh hoạt tích phân từng phần

– Đặt: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 279

⇒ Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 280

– Áp dụng tích phân từng phần cho J

Đặt: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 281

⇒ Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 282

⇒ Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 283

Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 284

Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 285+C

b) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 286

* Lời giải:

– Ta có: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 287Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 288 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 289 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 290

– áp dụng nguyên hàm từng phần với Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 291:

– Đặt: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 292Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 293

Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 294 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 295

– áp dụng nguyên hàm từng phần với Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 296

– Đặt: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 297

⇒ Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 298Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 299

⇒ Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 300 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 301

⇒ Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 302

⇒ Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 303

Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 304 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 305Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 306

c) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 307

* Lời giải: Bài này áp dụng cả phương pháp đổi biến số và phương pháp nguyên hàm từng phần

– Đặt: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 308 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 309

– Đặt: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 310

– Ta có: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 311Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 312

– Thay Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 313 ta được: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 314

III. Bài tập tìm nguyên hàm sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần

Bài 4 trang 103 SGK giải tích 12: Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính

a) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 315

b) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 316

c) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 317

d) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 318

* Lời giải Bài 4 trang 103 SGK giải tích 12:

a) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 315

– Đặt: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 320

⇒ Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 315 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 322 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 323

Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 324 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 325

Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 326 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 327

b) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 316

– Đặt: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 329

Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 330 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 331Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 332

– áp dụng nguyên hàm từng phần cho Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 333:

– Đặt: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 334

⇒ Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 335 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 336 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 337

⇒ Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 338 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 339

c) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 317

– Đặt: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 341 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 342

⇒ Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 317 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 344 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 345

d) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 318

– Đặt: Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 347

⇒ Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 318 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 349 Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 350

* Bài tập luyện tập phương pháp nguyên hàm

Bài 1: Tính nguyên hàm của các hàm sau:

a) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 351     b)  Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 352

c) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 353     d) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 354

Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm sau:

a) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 355     b) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 356

c) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 357    d) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 358

Bài 3: Xác định nguyên hàm của các hàm sau:

a) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 359   b) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 360

c) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 361    d) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 362

Bài 4: Xác định nguyên hàm của các hàm sau:

a) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 363     b) Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định 364

Phương pháp nguyên hàm từng phần để tính tích phân bất định

Toán 12

được biên soạn theo sách mới nhất và Được hướng dẫn biên soạn bởi các thầy cô giáo dạy Giỏi tư vấn, nếu thấy hay hãy chia sẻ và comment để nhiều bạn khác học tập cùng.

  • TAGS
  • Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng

Xem Video bài học trên YouTube

Hong Nguyen thu

Giáo viên dạy thêm cấp 2 và 3, với kinh nghiệm dạy trực tuyến trên 5 năm ôn thi cho các bạn học sinh mất gốc, sở thích viết lách, dạy học

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button