Kiến thức

Tích phân toán lớp 12 bài 2 giải bài tập

Bài 2. Tích phân

Chia sẻ

Tích phân toán lớp 12 bài 2 giải bài tập được soạn và biên tập bởi đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm giảng dạy môn toán. Đảm bảo chính xác dễ hiểu giúp các em nhanh chóng nắm được kiến thức trọng tâm trong bài tích phân lớp 12 và ứng dụng giải bài tập sgk để các em hiểu rõ hơn.

Bài 2. Tích phân thuộc: Chương 3:

Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng

I. Tóm tắt lý thuyết tích phân

Bạn đang xem: Tích phân toán lớp 12 bài 2 giải bài tập

1. Định nghĩa tích phân

Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a; b] Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f(x) kí hiệu là Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta dùng kí hiệu Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án để chỉ hiệu số F(b) – F(a). Vậy Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án.

Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án hay Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án. Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.

Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy S = Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

2. Tính chất của tích phân

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

II. Kĩ năng giải bài tập về tích phân

1. Một số phương pháp tính tích phân

Dạng 1: Tính tích phân theo công thức

Ví dụ 1: Tính các tính phân sau:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xem thêm: Hàm log trong excel tính lũy thừa một số với cơ số-Alltopvn

Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân

Sử dụng tính chất Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 2: Tính tích phân Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án.

Hướng dẫn:

Nhận xét: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án. Do đó

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Dạng 3: Phương pháp đổi biến số

1) Đổi biến số dạng 1

Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] và α ≤ u(x) ≤ β. Giả sử có thể viết f(x) = g(u(x))u'(x), x ∈ [a; b] với g liên tục trên đoạn [α; β]. Khi đó, ta có

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ví dụ 3: Tính tích phân Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án.

Hướng dẫn:

Đặt u = sinx. Ta có du = cosxdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u(0) = 0; x = π/2 ⇒ u(π/2) = 1

Khi đó Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

2) Đổi biến số dạng 2

Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α; β](*) sao cho φ(α) = a,φ(β) = b và a ≤ φ(t) ≤ b với mọi t ∈ [α; β]. Khi đó:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích phân Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án thì nên đổi biến dạng 1.

Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

a) Đặt x = sint ta có dx = costdt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = π/2.

Vậy Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

b) Đặt x = tant, ta có dx = (1 + tan2t)dt. Đổi cận: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án.

Vậy Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Dạng 4: Phương pháp tính tích phân từng phần.

Định lí : Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

hay viết gọn là Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án. Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Dạng hàm P(x): Đa thức

Q(x): sin(kx) hay cos(kx)

P(x): Đa thức

Q(x): ekx

P(x): Đa thức

Q(x): ln(ax + b)

P(x): Đa thức

Q(x): 1/sin2x hay 1/cos2x

Cách đặt * u = P(x)

* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân

* u = P(x)

* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân

* u = ln(ax + b)

* dv = P(x)dx

* u = P(x)

* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân

Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.

Ví dụ 5: Tính các tích phân sau : Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hướng dẫn:

a) Đặt Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do đó Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

b) Đặt Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

III. Hướng dẫn trả lời câu hỏi bài tập tích thân lớp 12 bài 2 sgk

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 101:

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≥ t ≥ 5) (H.45).

1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5 (H.46).

2. Tính diện tích S(t) của hình T khi x ∈ [1; 5].

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

Lời giải:

1. Kí hiệu A là điểm có tọa độ (1,0), D là điểm có tọa độ (5,0). B, C lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 1 và x = 5 với đường thẳng y = 2x + 1.

– Khi đó B và C sẽ có tọa độ lần lượt là (1,3) và (5,11).

– Ta có: AB = 3, CD = 11, AD = 4. Diện tích hình thang Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

2. Kí hiệu A là điểm có tọa độ (1,0), D là điểm có tọa độ (5,0). B, C lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 1 và x = 5 với đường thẳng y = 2x + 1.

– Khi đó ta có B (1,3) và C(t, 2t + 1).

– Ta có AB = 3, AD = t – 1, CD = 2t + 1.

– Khi đó diện tích hình thang Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

Lời giải:

– Vì F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của f(x) nên tồn tại một hằng số C sao cho: F(x) = G(x) + C

– Khi đó F(b) – F(a) = G(b) + C – G(a) – C = G(b) – G(a).

Xem thêm: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác)

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 106:

Hãy chứng minh các tính chất 1 và 2.

Lời giải:

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 110:

a) Hãy tính ∫ (x + 1)exdx bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

b) Từ đó tính Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

Lời giải:

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

IV. Hướng dẫn giải bài tập tích phân lớp 12 bài 2 sgk

Bài 1 trang 112 SGK Giải tích 12:

Tính các tích phân sau:

Giải bài 1 trang 112 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Lời giải:

Giải bài 1 trang 112 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Giải bài 1 trang 112 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Giải bài 1 trang 112 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Giải bài 1 trang 112 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Giải bài 1 trang 112 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Giải bài 1 trang 112 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Kiến thức áp dụng

+ Tích phân từ a đến b của hàm số f(x) có nguyên hàm là F(x) là:

Giải bài 1 trang 112 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12+ Một số nguyên hàm sử dụng:

Giải bài 1 trang 112 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 2 trang 112 SGK Giải tích 12:

Tính các tích phân sau:

Giải bài 2 trang 112 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12Lời giải:

Giải bài 2 trang 112 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Giải bài 2 trang 112 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Giải bài 2 trang 112 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Kiến thức áp dụng

+ Tích phân từ a đến b của hàm số f(x) có nguyên hàm là F(x) là:

Giải bài 1 trang 112 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12+ Một số nguyên hàm sử dụng:

Giải bài 1 trang 112 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Xem thêm: Mô tơ giảm tốc là gì? Cấu tạo motor động cơ giảm tốc-Máy bơm Teco

Bài 3 trang 113 SGK Giải tích 12:

Sử dụng phương pháp đổi biến, hãy tính:

Giải bài 3 trang 113 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12Lời giải:

Giải bài 3 trang 113 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Giải bài 3 trang 113 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Giải bài 3 trang 113 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Giải bài 3 trang 113 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Giải bài 3 trang 113 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12Kiến thức áp dụng

+ Phương pháp đổi biến số tính tích phân Giải bài 3 trang 113 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Có hai cách đổi biến số:

Cách 1:

Đặt x = φ(t) ⇒ dx = φ'(t).dt

Giả sử φ(α) = a; φ(β) = b.

Giải bài 3 trang 113 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12Cách 2:

Đặt u = u(x) ⇒ du = u'(x)dx

Giả sử f(x) viết được dưới dạng : f(x) = g(u(x)).u’(x)

Giải bài 3 trang 113 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 4 trang 113 SGK Giải tích 12:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính:

Giải bài 4 trang 113 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12Lời giải:

Giải bài 4 trang 113 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12Theo công thức tích phân từng phần ta có:

Giải bài 4 trang 113 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Theo công thức tích phân từng phần ta có:

Giải bài 4 trang 113 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Giải bài 4 trang 113 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Theo công thức tích phân từng phần:

Giải bài 4 trang 113 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12Theo công thức tích phân từng phần:

Giải bài 4 trang 113 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Giải bài 4 trang 113 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Theo công thức tích phân từng phần:

Giải bài 4 trang 113 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12Kiến thức áp dụng

+ Phương pháp tích phân từng phần:

Giả sử f(x) = g(x).h(x).

Giải bài 4 trang 113 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Bài 5 trang 113 SGK Giải tích 12:

Tính các tích phân sau:

Giải bài 5 trang 113 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12Lời giải:

Giải bài 5 trang 113 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Giải bài 5 trang 113 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Giải bài 5 trang 113 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Giải bài 5 trang 113 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

toán lớp 12 bài 2 giải bài tập do đội ngũ giáo viên giỏi toán biên soạn, bám sát chương trình SGK mới toán học lớp 12. Được Soanbaitap.com biên tập và đăng trong chuyên mục 

giải toán 12

 giúp các bạn học sinh học tốt môn 

toán đại 12

. Nếu thấy hay hãy comment và chia sẻ để nhiều bạn khác cùng học tập.

  • TAGS
  • Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng

Xem Video bài học trên YouTube

Phan Thu Hang

Là một giáo viên Dạy cấp 2 và 3 thích viết lạch và chia sẻ những cách giải bài tập hay và ngắn gọn nhất giúp các học sinh có thể tiếp thu kiến thức một cách nhanh nhất

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button