Kiến thức

Lý thuyết phương trình đường hypebol

Lý thuyết phương trình đường hypebol

I. Lý thuyết đường Hypebol

Bạn đang xem: Lý thuyết phương trình đường hypebol

1. Định nghĩa

Cho hai điểm cố định ${{F}_{1}},,,{{F}_{2}}$ với ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=2cleft( c>0 right)$ và hằng số $a<c$.Hypebol là tập hợp các điểm M thỏa mãn $left| M{{F}_{1}}-M{{F}_{2}} right|=2a$. Kí hiệu (H)

Ta gọi : ${{F}_{1}},,,{{F}_{2}}$ là tiêu điểm của (H). Khoảng cách ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c$ là tiêu cự của (H).

2. Phương trình chính tắc của hypebol

Với ${{F}_{1}}left( -c;0 right),,,{{F}_{2}}left( c;0 right)$

$Mleft( x;y right)in left( H right)Leftrightarrow frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ với ${{b}^{2}}={{c}^{2}}-{{a}^{2}}$ (2)

Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol

Xem thêm: Cách giải toán bằng máy tính bỏ túi Casio FX-570VN Plus-META.vn

3. Hình dạng và tính chất của (H)

+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái ${{F}_{1}}left( -c;0 right)$, tiêu điểm phải ${{F}_{2}}left( c;0 right)$

+ Các đỉnh : ${{A}_{1}}left( -a;0 right),,,{{A}_{2}}left( a;0 right)$

+ Trục $Ox$ gọi là trục thực, Trục $Oy$ gọi là trục ảo của hypebol. Khoảng cách 2a giữa hai đỉnh gọi là độ dài trục thực, 2b gọi là độ dài trục ảo.

+ Hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần gọi là nhánh của hypebol

+ Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng $x=pm a,,y=pm b$ gọi là hình chữ nhật cơ sở. Hai đường thẳng chứa hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở gọi là hai đường tiệp cận của hypebol và có phương trình là $y=pm frac{b}{a}x$

+ Tâm sai : $e=frac{c}{a}>1$

+ $Mleft( {{x}_{M}};{{y}_{M}} right)$ thuộc (H) thì: $M{{F}_{1}}=left| a+e{{x}_{M}} right|=left| a+frac{c}{a}{{x}_{M}} right|,,,M{{F}_{2}}=left| a-e{{x}_{M}} right|=left| a-frac{c}{a}{{x}_{M}} right|$

II. Xác định các yếu tố của hypebol khi biết phương trình chính tắc của chúng

Phương pháp giải

Từ phương trình chính tắc của hypebol ta xác định các đại lượng $a,,b$ và ${{b}^{2}}={{c}^{2}}-{{a}^{2}}$ ta tìm được $c$ từ đó ta suy ra được các yếu tố cần tìm.

Các ví dụ

Ví dụ 1. Xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm; tính tâm sai, độ dài trục thực, độ dài trục ảo và viết phương trình các đường tiệm cận của (H)

a) $frac{{{x}^{2}}}{6}-frac{{{y}^{2}}}{8}=1$ b) $5{{x}^{2}}-4{{y}^{2}}=20$

Lời giải

a) Ta có ${{a}^{2}}=6,,,{{b}^{2}}=8$ nên $a=sqrt{6},,,b=2sqrt{2},,,c=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=10$

Do đó ta có hypebol có:

Tọa độ các đỉnh là ${{A}_{1}}left( -sqrt{6};0 right);,,{{A}_{2}}left( sqrt{6};0 right)$

Tiêu điểm là ${{F}_{1}}left( -10;0 right);,,{{F}_{2}}left( 10;0 right)$

Tâm sai của (H) là $e=frac{c}{a}=frac{10}{sqrt{6}}$

Độ dài trục thực $2a=2sqrt{6}$, độ dài trục ảo $2b=4sqrt{2}$

Đường tiệm cận có phương trình là $y=pm frac{b}{a}x=pm frac{2}{sqrt{3}}x$

b) Viết lại phương trình (H) là: $frac{{{x}^{2}}}{4}-frac{{{y}^{2}}}{5}=1$, có ${{a}^{2}}=4,,,{{b}^{2}}=5$ nên $a=2,,,b=sqrt{5},,,c=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=3$

Do đó ta có hypebol có:

Tọa độ các đỉnh là ${{A}_{1}}left( -2;0 right);,,{{A}_{2}}left( 2;0 right)$

Tiêu điểm là ${{F}_{1}}left( -3;0 right);,,{{F}_{2}}left( 3;0 right)$

Tâm sai của (H) là $e=frac{c}{a}=frac{3}{2}$

Độ dài trục thực $2a=4$, độ dài trục ảo $2b=2sqrt{5}$

Đường tiệm cận có phương trình là $y=pm frac{sqrt{5}}{2}x$

Xem thêm: Tính chất hoá học của Oxit, Axit, Bazo và Muối-Hoá lớp 9-Trường THPT Xuyên Mộc

Bài tập luyện tập

Bài 3.126: Xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm; tính tâm sai, độ dài trục thực, độ dài trục ảo và viết phương trình các đường tiệm cận của hypebol (H):

a) $frac{{{x}^{2}}}{8}-frac{{{y}^{2}}}{6}=1$

b) $9{{x}^{2}}-12{{y}^{2}}=108$

Lời giải

Bài 3.126: a) Ta có ${{a}^{2}}=8,,,{{b}^{2}}=6$ nên $a=2sqrt{2},,,b=sqrt{6},,,c=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=10$

Do đó ta có hypebol có:

Tọa độ các đỉnh là ${{A}_{1}}left( -2sqrt{2};0 right);,,{{A}_{2}}left( 2sqrt{2};0 right)$

Tiêu điểm là ${{F}_{1}}left( -10;0 right);,,{{F}_{2}}left( 10;0 right)$

Tâm sai của (H) là $e=frac{c}{a}=frac{5}{sqrt{2}}$

Độ dài trục thực $2a=4sqrt{2}$, độ dài trục ảo $2b=2sqrt{6}$

Đường tiệm cận có phương trình là $y=pm frac{b}{a}x=pm frac{sqrt{3}}{2}x$

b) Viết lại phương trình (H) là: $frac{{{x}^{2}}}{12}-frac{{{y}^{2}}}{9}=1$, có ${{a}^{2}}=12,,,{{b}^{2}}=9$ nên $a=2sqrt{3},,,b=3,,,c=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=sqrt{21}$

Do đó ta có hypebol có:

Tọa độ các đỉnh là ${{A}_{1}}left( -2sqrt{3};0 right);,,{{A}_{2}}left( 2sqrt{3};0 right)$

Tiêu điểm là ${{F}_{1}}left( -sqrt{21};0 right);,,{{F}_{2}}left( sqrt{21};0 right)$

Tâm sai của (H) là $e=frac{c}{a}=frac{sqrt{7}}{2}$

Độ dài trục thực $2a=4sqrt{3}$, độ dài trục ảo $2b=6$

Đường tiệm cận có phương trình là $y=pm frac{sqrt{3}}{2}x$

III. Viết phương trình chính tắc của hypebol

Phương pháp giải

Để viết phương trình chính tắc của hypebol ta làm như sau:

+ Gọi phương trình chính tắc hypebol là $frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1left( a,b>0 right)$

+ Từ giả thiết của bài toán ta thiết lập các phương trình, hệ phương trình từ giải thiết của bài toán để tìm các đại lượng $a,,b$ của hypebol từ đó viết được phương trình chính tắc của nó.

Các ví dụ

Ví dụ 1. Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) trong mỗi trường hợp sau:

a) (H) có một tiêu điểm tọa độ là $left( -4;0 right)$ và độ dài trục ảo bằng $sqrt{28}$

b) (H) có tiêu cự bằng 10 và đường tiệm cận là $y=pm frac{4}{3}x$

c) (H) có tâm sai bằng $frac{sqrt{13}}{3}$ và diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng 48

d) (H) đi qua hai điểm $Mleft( sqrt{2};2sqrt{2} right)$ và $Nleft( -1;-sqrt{3} right)$

e) (H) đi qua $Mleft( -2;1 right)$ và góc giữa hai đường tiệm cận bằng ${{60}^{0}}$.

Lời giải

Gọi phương trình chính tắc của (H) là: $frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ với ${{b}^{2}}={{c}^{2}}-{{a}^{2}}$

a) (H) có một tiêu điểm tọa độ là $left( -4;0 right)$ suy ra $c=4$; độ dài trục ảo bằng $sqrt{28}$ suy ra $2b=sqrt{28}Rightarrow {{b}^{2}}=7,,,{{a}^{2}}={{c}^{2}}-{{b}^{2}}=9$

Vậy phương trình (H) là $frac{{{x}^{2}}}{9}-frac{{{y}^{2}}}{7}=1$

b) (H) có tiêu cự bằng 10 suy ra $2c=10Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25$ (1); đường tiệm cận là $y=pm frac{4}{3}x$ suy ra $frac{b}{a}=frac{4}{3}$ hay ${{b}^{2}}=frac{16}{9}{{a}^{2}}$ (2)

Thế (2) vào (1) ${{a}^{2}}+frac{16}{9}{{a}^{2}}=25Leftrightarrow {{a}^{2}}=9Rightarrow {{b}^{2}}=16$

Vậy phương trình (H) là $frac{{{x}^{2}}}{9}-frac{{{y}^{2}}}{16}=1$

c) Tâm sai bằng $frac{sqrt{13}}{3}$ suy ra $frac{c}{a}=frac{sqrt{13}}{3}Leftrightarrow frac{sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{a}=frac{sqrt{13}}{3}$ hay $4{{a}^{2}}=9{{b}^{2}}$ (3)

Diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng 24 suy ra $2a.2b=48Leftrightarrow ab=12$(4)

Từ (3) và (4) suy ra ${{a}^{2}}=18;,{{b}^{2}}=8$

Vậy phương trình (H) là $frac{{{x}^{2}}}{18}-frac{{{y}^{2}}}{8}=1$

d) (H) đi qua hai điểm $Mleft( sqrt{2};2sqrt{2} right)$ và $Nleft( -1;-sqrt{3} right)$ nên ta có hệ

$left{ begin{matrix} frac{2}{{{a}^{2}}}-frac{8}{{{b}^{2}}}=1 \ frac{1}{{{a}^{2}}}-frac{3}{{{b}^{2}}}=1 \ end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} {{a}^{2}}=frac{2}{5} \ {{b}^{2}}=2 \ end{matrix} right.$

Vậy phương trình (H) là $frac{{{x}^{2}}}{frac{2}{5}}-frac{{{y}^{2}}}{2}=1$

e) $Mleft( -2;1 right)in left( H right)$ nên $frac{4}{{{a}^{2}}}-frac{1}{{{b}^{2}}}=1$ (*)

Phương trình hai đường tiệm cận là:

${{Delta }_{1}}:y=frac{b}{a}x$ hay $bx-ay=0$; ${{Delta }_{2}}:y=-frac{b}{a}x$ hay $bx+ay=0$

Vì góc giữa hai đường tiệm cận bằng ${{60}^{0}}$ nên $cos {{60}^{0}}=frac{left| {{b}^{2}}-{{a}^{2}} right|}{{{b}^{2}}+{{a}^{2}}}$

Hay $frac{1}{2}=frac{left| {{b}^{2}}-{{a}^{2}} right|}{{{b}^{2}}+{{a}^{2}}}Leftrightarrow 2left| {{b}^{2}}-{{a}^{2}} right|={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$

$Leftrightarrow left[ begin{align} & 2({{b}^{2}}-{{a}^{2}})={{b}^{2}}+{{a}^{2}} \ & 2({{b}^{2}}-{{a}^{2}})=-({{b}^{2}}+{{a}^{2}}) \ end{align} right.Leftrightarrow left[ begin{align} & {{b}^{2}}=3{{a}^{2}} \ & {{a}^{2}}=3{{b}^{2}} \ end{align} right.$

+ Với ${{b}^{2}}=3{{a}^{2}}$ thay vào (*) được ${{a}^{2}}=frac{11}{3},,,{{b}^{2}}=11$

Suy ra phương trình hypebol là (H): $frac{{{x}^{2}}}{frac{11}{3}}-frac{{{y}^{2}}}{11}=1$

+ Với ${{a}^{2}}=3{{b}^{2}}$ thay vào (*) được ${{a}^{2}}=1,,,{{b}^{2}}=frac{1}{3}$

Suy ra phương trình hypebol là (H): $frac{{{x}^{2}}}{1}-frac{{{y}^{2}}}{frac{1}{3}}=1$

Vậy có có hai hypebol thỏa mãn có phương trình là $frac{{{x}^{2}}}{frac{11}{3}}-frac{{{y}^{2}}}{11}=1$ và $frac{{{x}^{2}}}{1}-frac{{{y}^{2}}}{frac{1}{3}}=1$.

Xem thêm: Tổng hợp công thức toán THPT từ căn bản tới nâng cao dành cho các bạn ôn thi THPT

Bài tâp luyện tập

Bài 3.127: Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) trong mỗi trường hợp sau:

a) (H) có tâm sai $e=2$, các tiêu điểm của (H) trùng với các tiêu điểm của elip $frac{{{x}^{2}}}{25}+frac{{{y}^{2}}}{9}=1$.

b) Độ dài trục ảo là 6 và phương trình một đường tiệm cận là $3x-4y=0$.

c) (H) đi qua điểm điểm A$left( -4;frac{2sqrt{7}}{3} right)$ và phương trình 2 đường tiệm cận là $2xpm 3y=0$

d) (H) đi qua điểm $Mleft( 6;3 right)$ và góc giữa 2 đường tiệm cận bằng 600

e) Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là $xpm 5=0;text{ y}pm 4text{=0}$

f) Độ dài trục ảo là 6 và hai tiệm cận vuông góc với nhau.

g) Đi qua M$left( 3;frac{sqrt{5}}{2} right)$ và 2 đường chuẩn có phương trình: $3xpm 4=0$

h) Khoảng cách giữa các đường chuẩn là $frac{32}{sqrt{7}}$ và phương trình 2 đường tiệm cận là $3xpm 4y=0$

k) (H) đi qua A( 1; 0) và $Bleft( sqrt{3};1 right)$

l) (H) có tiêu điểm ${{F}_{1}}left( -7;0 right)$ và đi qua $Mleft( -2;12 right)$

Bài 3.128: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E): $frac{{{x}^{2}}}{12}+frac{{{y}^{2}}}{2}=1$. Viết phương trình hypebol (H) có hai đường tiệm cận là $y=pm 2x$ và có hai tiêu điểm là hai tiêu điểm của elip (E).

Lời giải

Bài 3.127: ĐS: a) $left( H right):frac{{{x}^{2}}}{4}-frac{{{y}^{2}}}{12}=1$

b) $left( H right):frac{{{x}^{2}}}{16}-frac{{{y}^{2}}}{9}=1$

c) $left( H right):frac{{{x}^{2}}}{9}-frac{{{y}^{2}}}{4}=1$

d) $left( H right):frac{{{x}^{2}}}{33}-frac{{{y}^{2}}}{99}=1$ hoặc $left( H right):frac{{{x}^{2}}}{9}-frac{{{y}^{2}}}{3}=1$

e) $left( H right):frac{{{x}^{2}}}{25}-frac{{{y}^{2}}}{16}=1$

f) $left( H right):frac{{{x}^{2}}}{9}-frac{{{y}^{2}}}{9}=1$

k) $frac{{{x}^{2}}}{1}-frac{{{y}^{2}}}{frac{1}{2}}=1$

l) ${{x}^{2}}-frac{{{y}^{2}}}{48}=1$

Bài 3.128:

ĐS: (H): $frac{{{x}^{2}}}{2}-frac{{{y}^{2}}}{8}=1$

IV. Xác định điểm nằm trên hypebol thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải

Để xác định tọa độ điểm M thuộc hypebol có phương trình chính tắc là $left( H right):frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1,,a>0,b>0$ ta làm như sau

Giả sử $Mleft( {{x}_{M}};{{y}_{M}} right)$, điểm $Min left( H right)Leftrightarrow frac{x_{M}^{2}}{{{a}^{2}}}-frac{y_{M}^{2}}{{{b}^{2}}}=1$ ta thu được phương trình thứ nhất.

Từ điều kiện của bài toán ta thu được phương trình thứ hai; giải phương trình, hệ phương trình ẩn ${{x}_{M}},,,{{y}_{M}}$ ta tìm được tọa độ của điểm M

Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho hypebol (H): $frac{{{x}^{2}}}{9}-frac{{{y}^{2}}}{6}=1$ có tiêu điểm ${{F}_{1}}$ và ${{F}_{2}}$.

Tìm điểm M trên (H) trong trường hợp sau:

a) Điểm M có hoành độ là 4

b) Điểm M nhìn hai tiêu điểm của (H) dưới một góc vuông.

c) Khoảng cách hai điểm M và ${{F}_{1}}$ bằng 3

d) Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bằng $frac{24sqrt{2}}{5}$

Lời giải

Giả sử $Mleft( {{x}_{M}};{{y}_{M}} right)in left( H right)$ suy ra $frac{{{x}_{M}}^{2}}{9}-frac{{{y}_{M}}^{2}}{6}=1$(*)

a) Ta có ${{x}_{M}}=4$ suy ra ${{y}_{M}}=pm sqrt{6left( frac{x_{M}^{2}}{9}-1 right)}=pm frac{sqrt{42}}{3}$

$Rightarrow {{M}_{1}}left( 4;frac{sqrt{42}}{3} right);{{M}_{2}}left( 4;-frac{sqrt{42}}{3} right)$

b) Từ phương trình (H) có ${{a}^{2}}=9,,,{{b}^{2}}=6$ nên $a=3,,,b=sqrt{6},,c=sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=sqrt{15}$

Suy ra ${{F}_{1}}(-sqrt{15};0);{{F}_{2}}(sqrt{15};0)$

Ta có: $overrightarrow{{{F}_{1}}M}=({{x}_{M}}+sqrt{15};{{y}_{M}});overrightarrow{{{F}_{2}}M}=({{x}_{M}}-sqrt{15};{{y}_{M}})$

Điểm M nhìn hai tiêu điểm của (H) dưới một góc vuông nên

$overrightarrow{{{F}_{1}}M}.overrightarrow{{{F}_{2}}M}=0Leftrightarrow ({{x}_{M}}+sqrt{15})({{x}_{M}}-sqrt{15})+y_{M}^{2}=0Leftrightarrow y_{M}^{2}=15-x_{M}^{2}$ thế vào (*) ta được

$frac{{{x}_{M}}^{2}}{9}-frac{15-{{x}_{M}}^{2}}{6}=1Leftrightarrow {{x}_{M}}=pm sqrt{frac{63}{5}}$ suy ra ${{y}_{M}}=pm sqrt{frac{12}{5}}$

Vậy có bốn điểm thỏa mãn là

${{M}_{1}}left( sqrt{frac{63}{5}};sqrt{frac{12}{5}} right)$, ${{M}_{2}}left( -sqrt{frac{63}{5}};sqrt{frac{12}{5}} right)$, ${{M}_{3}}left( sqrt{frac{63}{5}};-sqrt{frac{12}{5}} right)$ và ${{M}_{4}}left( -sqrt{frac{63}{5}};-sqrt{frac{12}{5}} right)$

c) Ta có $M{{F}_{1}}=left| a+frac{c}{a}{{x}_{M}} right|$ nên $3=left| 3+frac{sqrt{15}}{3}{{x}_{M}} right|Leftrightarrow left[ begin{matrix} {{x}_{M}}=0(l) \ {{x}_{M}}=frac{-18}{sqrt{15}}Rightarrow {{y}_{M}}=pm frac{sqrt{210}}{5} \ end{matrix} right.$

Vậy có 2 điểm: ${{M}_{1}}left( -frac{18}{sqrt{15}};frac{sqrt{210}}{5} right)$ và ${{M}_{2}}left( -frac{18}{sqrt{15}};-frac{sqrt{210}}{5} right)$

d) Phương trình hai tiệm cận là : ${{d}_{1}}:y=frac{sqrt{6}}{3}x;{{d}_{2}}:y=-frac{sqrt{6}}{3}x$.

Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bằng $frac{24sqrt{2}}{5}$ suy ra

$begin{align} & frac{left| frac{sqrt{6}}{3}{{x}_{M}}-{{y}_{M}} right|}{sqrt{1+frac{2}{3}}}+frac{left| frac{sqrt{6}}{3}{{x}_{M}}+{{y}_{M}} right|}{sqrt{1+frac{2}{3}}}=frac{24sqrt{2}}{5} \ & Leftrightarrow left| sqrt{6}{{x}_{M}}-3{{y}_{M}} right|+left| sqrt{6}{{x}_{M}}+3{{y}_{M}} right|=frac{24sqrt{30}}{5},,,left( ** right) \ end{align}$

Mặt khác $left( * right)Leftrightarrow left( sqrt{6}{{x}_{M}}-3{{y}_{M}} right)left( sqrt{6}{{x}_{M}}+3{{y}_{M}} right)=54>0$ suy ra

(**)$Leftrightarrow left| sqrt{6}{{x}_{M}}-3{{y}_{M}}+sqrt{6}{{x}_{M}}+3{{y}_{M}} right|=frac{24sqrt{30}}{5}Leftrightarrow {{x}_{M}}=pm frac{12}{sqrt{5}}$$Rightarrow {{y}_{M}}=pm frac{sqrt{330}}{5}$

Vậy có bốn điểm ${{M}_{1}}left( frac{12}{sqrt{5}};frac{sqrt{330}}{5} right)$, ${{M}_{2}}left( frac{12}{sqrt{5}};-frac{sqrt{330}}{5} right)$, ${{M}_{3}}left( -frac{12}{sqrt{5}};frac{sqrt{330}}{5} right)$ và ${{M}_{4}}left( -frac{12}{sqrt{5}};-frac{sqrt{330}}{5} right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài tập luyện tập

Bài 3.129: Cho (H): $frac{{{x}^{2}}}{7}-frac{{{y}^{2}}}{4}=1$ và $Aleft( 3;2 right),,,Bleft( 0;1 right)$. Tìm điểm $Cin left( H right)$ sao cho $Delta ABC$ có diện tích nhỏ nhất.

Bài 3.130: Cho (H): $frac{{{x}^{2}}}{4}-frac{{{y}^{2}}}{12}=1$. Có tiêu điểm là ${{F}_{1}}$(trái) và ${{F}_{2}}$ (phải)

a) Tìm M trên (H) với $M{{F}_{1}}=4$.

b) Tìm trên (H) điểm M sao cho $M{{F}_{1}}=2M{{F}_{2}}$

c) Tìm trên một nhánh của (H) hai điểm A, B sao cho tam giác $OAB$ là tam giác đều

Lời giải

Bài 3.129: $AB:,,x-y+1=0;,,AB=3sqrt{2}$, $Cleft( {{x}_{0}};{{y}_{0}} right)in left( H right)Rightarrow frac{x_{0}^{2}}{7}-frac{y_{0}^{2}}{4}=1$

${{S}_{Delta ABC}}=frac{1}{2}AB.dleft( C;AB right)=frac{3}{2}left| {{x}_{0}}-{{y}_{0}}-1 right|$

Đặt $P={{x}_{0}}-{{y}_{0}}-1$, suy ra hệ $left{ begin{matrix} frac{{{x}^{2}}}{7}-frac{{{y}^{2}}}{4}=1 \ P=x-y-1 \ end{matrix} right.$ có nghiệm với tham số P.

Từ đây suy ra $Pge sqrt{3}-1$ hoặc $Ple -sqrt{3}-1$ do đó $left| P right|ge sqrt{3}-1$

Vậy $Cleft( frac{7}{sqrt{3}};frac{4}{sqrt{3}} right)$ thì $Delta ABC$ có diện tích nhỏ nhất.

Bài 3.130: Ta có $a=2,,,b=sqrt{12}Rightarrow {{c}^{2}}=4+12=16,,,c=4$

a) $M{{F}_{1}}=4Leftrightarrow left| 2+frac{4}{2}{{x}_{M}} right|=4Leftrightarrow {{x}_{M}}=1$ hoặc ${{x}_{M}}=-3$

Từ đó ta tìm được 2 điểm là ${{M}_{1}}left( -3;sqrt{15} right),,,{{M}_{2}}left( -3;-sqrt{15} right)$

b) $M{{F}_{1}}=2M{{F}_{2}}Leftrightarrow left| 2+2{{x}_{M}} right|=2left| 2-2{{x}_{M}} right|Leftrightarrow x_{M}^{2}+2{{x}_{M}}+1=4x_{M}^{2}-8{{x}_{M}}+4$

$Leftrightarrow 3x_{M}^{2}-10{{x}_{M}}+3=0Leftrightarrow {{x}_{M}}=3$ hoặc ${{x}_{M}}=frac{1}{3}$

Từ đó ta tìm được 2 điểm là ${{M}_{1}}left( 3;sqrt{15} right),,,{{M}_{2}}left( 3;-sqrt{15} right)$

c) Vì tam giác $ABC$ đều và tính đối xứng của (H) nên A, B đối xứng nhau qua trục hoành.

Giả sử $Aleft( a;b right)Rightarrow Bleft( a;-b right)$

Do đó tam giác $ABC$ đều$Leftrightarrow cos widehat{AOB}=frac{1}{2}Leftrightarrow frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=frac{1}{2}Leftrightarrow {{a}^{2}}=3{{b}^{2}}$ (1)

Mặt khác $Ain left( H right)Rightarrow frac{{{a}^{2}}}{4}-frac{{{b}^{2}}}{12}=1$ (2)

Từ (1) và (2) kết hợp với điều kiện hai điểm A, B thuộc một nhánh suy ra $Aleft( -frac{3}{sqrt{2}};-sqrt{frac{3}{2}} right),,,Bleft( -frac{3}{sqrt{2}};sqrt{frac{3}{2}} right)$ hoặc $Aleft( frac{3}{sqrt{2}};-sqrt{frac{3}{2}} right),,,Bleft( frac{3}{sqrt{2}};sqrt{frac{3}{2}} right)$

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button