Kiến thức

Phương pháp giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI-TOÁN HỌC

Phương pháp giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

I. Lý thuyết và các kiến thức bổ sung

Bạn đang xem: Phương pháp giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI-TOÁN HỌC

1. Định nghĩa:

[left| f(x) right|=left{ begin{matrix}
f(x) \
-f(x) \
end{matrix}begin{matrix}
khi \
khi \
end{matrix} right.begin{matrix}
f(x)ge 0 \
f(x)

2. Dấu nhị thức bậc nhất: f(x)=ax+b

x -b/a
f(x) a.f(x) < 0 0 a.f(x) > 0

Xem thêm: Joule-Lenz Law

3. Dấu tam thức bậc 2: $mathbf{f}left( mathbf{x} right)=text{ }mathbf{a}{{mathbf{x}}^{mathbf{2}}}+mathbf{bx}+mathbf{c}$

$+)Delta <0:af(x)>0;forall xin R$
$+)Delta =0:af(x)>0;forall xne -frac{b}{2a}$
$+)Delta >0:left[ begin{matrix}
a.f(x)>0;forall xin left( -infty ;{{x}_{1}} right)cup left( {{x}_{2}};+infty right) \
a.f(x)<0;forall xin left( {{x}_{1}};{{x}_{2}} right) \
end{matrix} right.$

Với x1;x2 là nghiệm của f(x)=0 và x1<x2.Ta có bảng xét dấu sau:

Bảng xét dấu
x x1 x2
f(x) a.f(x) > 0 0 a.f(x) < 0 0 a.f(x) > 0

II. Dạng cơ bản và phương pháp giải

1. Dạng cơ bản thường gặp

Dạng 1. $left| f(x) right|>left| g(x) right|$
Dạng 2. $left| f(x) right|>g(x)$
Dạng 3. $left| {f(x)} right| < g(x)$

Xem thêm: Tính chất hóa học của oxit axit và oxit bazơ dễ nhớ nhất

2. Phương pháp giải

Phương pháp 1. Khử căn bằng định nghĩa.

$left| {f(x)} right| = left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{begin{array}{*{20}{c}}
{f(x)}&{khi}&{f(x) > 0}
end{array}}\
{begin{array}{*{20}{c}}
{ – f(x)}&{khi}&{f(x)

Phương pháp 2. Phương pháp lập bảng.

Sử dụng kết hợp bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai để khử trị tuyệt đối.

Phương pháp 3. Biến đổi tương đương.

a)$BPT:left| {f(x)} right| > left| {g(x)} right| Leftrightarrow {left( {f(x)} right)^2} > {left( {g(x)} right)^2}$

b)$left| {f(x)} right| > g(x) Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {g(x) {g^2}(x)} end{array}} right.} end{array}} right.$

c)$left| {f(x)} right| 0}\
{{{left[ {f(x)} right]}^2}

III. Ví dụ minh họa

Phương pháp 1: Khử trị tuyệt đối bằng định nghĩa.

Ví dụ 1:

Giải bất phương trình sau: $left| 2-5x right|ge x+1$

Giải:
  • Trường hợp 1: $2-5xge 0Leftrightarrow xle frac{2}{5}$

Bất phương trình có dạng: $2-5xge x+1Leftrightarrow 6xle 1Leftrightarrow xle frac{1}{6}$ .

Kết hợp điều kiện: $xin left( -infty ;frac{1}{6} right]$ (1)

  • Trường hợp 2: $2-5x<0Leftrightarrow x>frac{2}{5}$

Bất phương trình có dạng: $5x-2ge x+1Leftrightarrow 4xge 3Leftrightarrow xge frac{3}{4}$

Kết hợp điều kiện: $xin left[ frac{3}{4};+infty  right)$ (2)

  • Từ (1) và (2) suy ra bất phương trình có nghiệm : $xin left( -infty ;frac{1}{6} right]cup left[ frac{3}{4};+infty  right)$.
Ví dụ 2:

Giải bất phương trình sau: ${{x}^{2}}-left| x-3 right|-5ge 0$

Giải

• Trường hợp 1: $x-3ge 0Leftrightarrow xge 3$
Bất phương trình có dạng: ${{x}^{2}}-x-2ge 0Leftrightarrow left[ begin{matrix}
xle -1 \
xge 2 \
end{matrix} right.$
Kết hợp điều kiện: $xge 3$ (1).
• Trường hợp 2: $x-3

Xem thêm: Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cộng đại số và Bài tập vận dụng-Toán lớp 9

Phương pháp 2: Khử trị tuyệt đối bằng bảng

Ví dụ 1:  

Giải bất phương trình sau: $left| x-3 right|+left| x-1 right|ge x+1$

Giải

Trước tiên ta lưu ý:

x 1 3
x-3 | 0 +
x-1 0 + | +

Bước 1: Lập bảng khử trị tuyệt đối vế trái.

x 1 3
|x-3| 3-x 2 3-x 0 x-3
|x-1| 1-x 0 x-1 2 x-1
VT 4-2x 2 2 2 2x-4

Bước 2: Từ bảng khử trị tuyệt đối ta có các trường hợp sau:

• Với $xin left( -infty ;1 right)$ :
Bất phương trình $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
x

• Với $1le x

• Với $xge 3$ :
Bất phương trình $Leftrightarrow left{ begin{matrix}
xge 3 \
2x-4ge x+1 \
end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix}
xge 3 \
xge 5 \
end{matrix} right.Leftrightarrow xge 5$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra bất phương trình có nghiệm: $xin left( -infty ;1 right]cup left[ 5;+infty  right)$.

Ví dụ 2:

Giải bất phương trình: $left| 3x-left| x-1 right| right|ge x+2$

Giải
  • Bước 1: Lập bảng phá trị tuyệt đối vế trái
x 1/4 1
|x-1 1-x 0 1-x 3 x-1
|3x-|x-1|| |4x-1| 0 |4x-1| 3 |2x+1|
VT 1-4x 0 4x-1 3 2x+1

Bước 2: Dựa vào bảng trên ta có các trường hợp sau:

* Trường hợp 1: Với $x

* Trường hợp 2: Với $frac{1}{4}le x

* Trường hợp 3: Với $xge 1$
Bất phương trình [Leftrightarrow left{ begin{matrix}
xge 1 \
2x+1ge x+2 \
end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix}
xge 1 \
xge 1 \
end{matrix}Leftrightarrow right.xge 1] (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra bất phương trình có nghiệm: $xin left( -infty ;-frac{1}{5} right]cup left[ 1;+infty right)$.

Phương pháp 3: Sử dụng phép biến đổi tương đương

Ví dụ 1:

Giải bất phương trình sau:  $left| 2x-1 right|>left| x-2 right|$

Giải

Bpt $Leftrightarrow {{left( 2x-1 right)}^{2}}>{{left( x-2 right)}^{2}}Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3>0Leftrightarrow left[ begin{matrix}
x1 \
end{matrix} right.$ .

Lưu ý:

$begin{array}{l}
left| {2x – 1} right| > left| {x – 2} right|\
Leftrightarrow {left( {2x – 1} right)^2} > {left( {x – 2} right)^2}\
Leftrightarrow {left( {2x – 1} right)^2} – {left( {x – 2} right)^2} > 0\
Leftrightarrow left( {x + 1} right)left( {3x – 3} right) > 0\
Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x 1}
end{array}} right.
end{array}$

Ví dụ 2:  

Giải bất phương trình sau: $left| 2-5x right|ge x+1$

Giải

BPT$begin{array}{l}
Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{x + 1

Tổng quát: $left| f right|>gLeftrightarrow left[ begin{matrix}
gg \
f

Ví dụ 3:  

Giải bất phương trình sau: $left| 3x+1 right|le x-2$

Giải

$begin{array}{l}
left| {3x – 1} right| le x + 2\
Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{x + 2 ge 0}\
{3x – 1 le x + 2}\
{3x – 1 ge – x – 2}
end{array}} right.\
Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{x ge – 2}\
{2x le 3}\
{4x ge – 1}
end{array}} right.\
Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}
{x ge – 2}\
{x le frac{3}{2}}\
{x ge – frac{1}{4}}
end{array}} right.\
Leftrightarrow – frac{1}{4} le x le frac{3}{2}
end{array}$

Tổng quát:
$left| {f(x)} right| 0}\
{{{left[ {f(x)} right]}^2}

Bài luyện tập

Giải các bất phương trình sau:

$a)left| 4x-1 right|le left| 2x+3 right|$        

$b)left| 3x+5 right|ge 2x-1$

$c)left| 5-3x right|le x+3$         

$d){{x}^{2}}-2left| x-1 right|+1le 0$

$e)left| x+3 right|+left| x-1 right|le 2x-1$                         

$f)left| x-left| x-1 right| right|+left| 2x-left| x-3 right| right|ge x+1$

—————————————

Download tài liệu:

PDF-Tại đây

Word-Tại đây:

———————————-

Xem thêm:

  • Phương pháp tính tích phân các hàm chứa ẩn dưới dấu trị tuyệt đối

  • Phương pháp giải bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai.
  • Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu trị tuyệt đối

  • Phương pháp giải Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu trị tuyệt đối

———————————

Đề xuất cho bạn

  • Phương pháp giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối

  • Phương pháp tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối

Chuyên mục:

Chủ đề 2. Bất phương trình 1 ẩn

Chủ đề 9. Bất phương trình có trị tuyệt đối


0 Bình luận

Trả lời

Hủy

đăng nhập

để bình luận.

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button