Kiến thức

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng-p1-TOÁN HỌC

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

I. Lý thuyết

Bạn đang xem: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng-p1-TOÁN HỌC

1. Định nghĩa:

  • Nếu đường thẳng a vuông góc với (P) thì ta nói góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 900 .
  • Nếu đường thẳng a không vuông góc với (P) thì góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa a và hình chiếu a’ của a trên (P).
Hình vẽ: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Kí hiệu: $widehat {left( {a,(P)} right)}$.

Chú ý: $widehat {left( {a,(P)} right)} = widehat {left( {a,a’} right)}$ với a’ là hình chiếu của a trên (P).

Hệ quả:

  • ${0^0} le widehat {left( {a,(P)} right)} le {90^0}.$
  • $widehat {left( {a,(P)} right)} = {0^0}$ khi và chỉ khi a//(P) hoặc $a subset (P)$.
  • $widehat {left( {a,(P)} right)} = {90^0} Leftrightarrow a bot (P).$

Xem thêm: Tài liệu Skkn một số hình thức tổ chức hoạt động củng cố bài trong giảng dạy chương bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học và định luật tuần hoàn môn hóa học 10 cơ bản

2. Phương pháp xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).

Phương pháp 1. (Phương pháp hình học)

+ Tìm $I=dcap (P)$

+ Tìm A thuộc d kẻ AH vuông góc với (P)

+ $(d,(P))=widehat{AIH}$

Phương pháp 2. (Phương pháp vec tơ)

+ Gọi $overrightarrow u = (a;b)$ là véc tơ chỉ phương của đướng thẳng a.

+ Gọi $overrightarrow n = (A;B)$ là véc tơ pháp tuyến của (P).

=>$sin alpha = sin widehat {left( {a,(P)} right)} = frac{{left| {overrightarrow u .overrightarrow n } right|}}{{left| {overrightarrow u } right|.left| {overrightarrow n } right|}} = frac{{left| {aA + bB} right|}}{{sqrt {{a^2} + {b^2}} sqrt {{A^2} + {B^2}} }}$

II.Ví dụ minh họa

A. Sử dụng phương pháp hình học

Ví dụ 1.

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=asqrt{6}$. Tính sin của góc giữa:

a). SC và (SAB)

b). AC và (SBC)

Giải

a).Ta có: $BCbot ABtext{ (gt)}$ và $SAbot BC$ (vì $SAbot (ABCD)$)$Rightarrow $$BCbot (SAB)$ do đó: SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(SAB) $Rightarrow (SC,(SAB))=widehat{BSC}$. Ta có: $begin{align}

  & Rightarrow sin (SC,(SAB))=sin widehat{BSC}= \

 & =frac{BC}{SC}=frac{a}{sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=frac{sqrt{2}}{4} \ end{align}$

b) Trong mp(SAB) kẻ $AHbot SBtext{ (H}in text{SB)}$. Theo a) $BCbot (SAB)Rightarrow AHbot BC$ nên $AHbot (SBC)$ hay CH là hình chiếu vuông góc của AC trên mp(SBC) $Rightarrow (AC,(SBC))=widehat{ACH}$.

+ Xét tam giác vuông SAB có: $frac{1}{A{{H}^{2}}}=frac{1}{A{{B}^{2}}}+frac{1}{S{{A}^{2}}}=frac{7}{6{{a}^{2}}}Rightarrow AH=a.sqrt{frac{6}{7}}$

+ Vậy $sin (AC,(SBC))=sin widehat{ACH}=frac{AH}{AC}=frac{sqrt{21}}{7}$

Xem thêm: Học chuyên ngành địa chất xin cấp chứng chỉ hành nghề khảo sát xây dựng được không?

Ví dụ 2.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $(SAB)bot (ABCD)$, H là trung điểm của AB, SH=HC, SA=AB. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Giải

+ Ta có: $AH=frac{1}{2}AB=frac{a}{2},$ $SA=AB=a$, $SH=HC=sqrt{B{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}=frac{asqrt{5}}{2}$.

Vì $S{{A}^{2}}+A{{H}^{2}}=frac{5{{a}^{2}}}{4}=A{{H}^{2}}$ nên tam giác SAH vuông tại A hay $SAbot AB$ mà $(SAB)bot (ABCD)$ . Do đó, $SAbot (ABCD)$ và AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mp(ABCD).

+ Ta có: $(SC,(ABCD))=widehat{SCA}$, $tan widehat{SCA}=frac{SA}{AC}=frac{sqrt{2}}{2}$. Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là góc có tang bằng $frac{sqrt{2}}{2}$.

Ví dụ 3.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC).

A. 30°               B. 45°               C. 60°               D. 75°

Giải

Gọi H là trung điểm của BC suy ra: $AH = BH = CH = frac{1}{2}BC = frac{a}{2}$.

Ta có: $SH bot (ABC) Rightarrow SH = sqrt {S{B^2} – B{H^2}} = frac{{asqrt 3 }}{2}$

$widehat {(SA,(ABC))} = widehat {SAH} = alpha $

$ Rightarrow tan alpha = frac{{SH}}{{AH}} = sqrt 3 Rightarrow alpha = {60^0}$.

Vậy chọn: A.

Xem thêm: Tổng hợp công thức Bảng Nguyên Hàm và cách ghi nhớ

Ví dụ 4.

Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ⊥ (ABCD) . Biết SA = a(√6)/3. Tính góc giữa SC và (ABCD) .

A. 30°                B. 45°                C. 60°               D.90°

Giải

Ta có: $SA bot (ABCD) Rightarrow SA bot AC$

$ Rightarrow widehat {(SC,(ABCD))} = widehat {SCA} = alpha $

Vì ABCD là hình vuông cạnh a, nên $AC = asqrt 2 ,SA = frac{{asqrt 6 }}{3}$

$ Rightarrow tan alpha = frac{{SA}}{{AC}} = frac{{sqrt 3 }}{3} Rightarrow alpha = {30^0}$

Vậy chọn A.

Ví dụ 5.

Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)

A. 60°               B.90°               C. 45°                D. 30°

Giải

Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ( ABC) nên SH ⊥ (ABC)

Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp(ABC)

⇒ (SA, (ABC)) = (SA, AH) =$widehat {SAH}$

Ta có: SH ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ AH

Mà: ΔABC = ΔSBC ⇒ SH = AH

Vậy tam giác SAH vuông cân tại H ⇒ $widehat {SAH}$ = 45°

=>Chọn C

B. Sử dụng phương pháp véc tơ

(Xem phần 2)

III. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho hình thoi ABCD có tâm O, AC = 2a ; BD = 2AC . Lấy điểm S không thuộc (ABCD) sao cho SO ⊥ (ABCD) . Biết tan(SBO) = 1/2. Tính số đo của góc giữa SC và ( ABCD)

A. 30°               B.45°               C. 60°                D. 90°

Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) trùng với trung điể BC . Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC)

A. 30°               B.45°               C. 60°                D. 75°

Câu 3. Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực tâm tam giác ABC và tam giác SBC. Số đo góc tạo bởi SC và (BHK) là:

A. 45°                  B. 120°                  C. 90°                  D. 65°

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mp( ABCD). Gọi α là góc giữa BD và mp(SAD) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. $alpha = {60^0}$                   B. $alpha = {30^0}$                  

C. $cos alpha = frac{{sqrt 6 }}{4}$                  D. $sin alpha = frac{{sqrt 6 }}{4}$

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = ${asqrt 6 }$. Gọi α là góc giữa SC và mp (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?

A. $alpha = {60^0}$                   B. $alpha = {30^0}$                  

C. $ alpha ={45^0} $                  D. $cos alpha = frac{{sqrt 3 }}{3}$

Câu 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi α là góc giữa AC’ và mp(A’BCD’). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. $alpha = {30^0}$                   B. $alpha = {45^0}$                  

C. $tan alpha = frac{2}{{sqrt 3 }}$                  D. $tan alpha = sqrt 2 $

Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), góc giữa cạnh SC và mặt phẳng (ABCD) là?

A. $tan beta = sqrt 2 $                   B. $tan beta = sqrt 5 $                 

C. $tan beta = 3 $                  D. $tan alpha = 2 $

Câu 8. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình chữ nhật. AB=a, AD=2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và đáy ABCD bằng 600 . Tính độ dài SA?

A. $SA = asqrt 5 $                 B. $SA = asqrt 3 $             

C. $SA = asqrt 15 $                  D. $SA = asqrt 13 $

Câu 9. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B biết AB=BC=a, AD=2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính độ dài SA để góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 .

A. $SA = asqrt 5 $                 B. $SA = asqrt 3 $             

C. $SA = asqrt 6 $                  D. $SA = asqrt 2 $

Câu 10. Cho hình chóp SABC có SA = a, SA vuông góc với đáy, ABC là tam giác vuông cân tại B, góc $widehat {ACB} = {30^0}$, AC=2a. Tính $tan alpha $ góc giữa SC và mặt phẳng (SAB).

A. $tan alpha = frac{{sqrt 5 }}{2}$                 B. $tan alpha = frac{{sqrt 6 }}{2}$            

C. $tan alpha = frac{{1 }}{2}$                  D. $tan alpha = frac{{sqrt 3 }}{2}$

———————————-

Xem thêm:

  • Góc giữa hai đường thẳng trong không gian.

  • Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng-p2.
  • Góc giữa hai mặt phẳng trong không gian-p1.
  • Góc giữa hai mặt phẳng trong không gian-p2.

Đề xuất cho bạn

  • Kiểm tra hết học kỳ 1-lớp 11 năm học 2017-2018Kiểm tra hết học kỳ 1-lớp 11 năm học 2017-2018

    Kiểm tra hết học kỳ 1-lớp 11 năm học 2017-2018

  • KIỂM TRA NĂNG LỰC TỰ HỌC MÔN TOÁN 10 CỦA HỌC SINH TRONG THỜI GIAN CHỐNG DỊCH COVID-19KIỂM TRA NĂNG LỰC TỰ HỌC MÔN TOÁN 10 CỦA HỌC SINH TRONG THỜI GIAN CHỐNG DỊCH COVID-19

    KIỂM TRA NĂNG LỰC TỰ HỌC MÔN TOÁN 10 CỦA HỌC SINH TRONG THỜI GIAN CHỐNG DỊCH COVID-19

Chuyên mục:

Bài viết mới

Chủ đề 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Chủ đề 7. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian


0 Bình luận

Trả lời

Hủy

đăng nhập

để bình luận.

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button