Kiến thức

Cách giải các dạng hệ phương trình đặc biệt cực hay, chi tiết-Toán lớp 10

Cách giải các dạng hệ phương trình đặc biệt cực hay, chi tiết

  • Đồng giá 250k 1 khóa học lớp 3-12 bất kỳ tại VietJack!


Trang trước

Trang sau


Cách giải các dạng hệ phương trình đặc biệt cực hay, chi tiết

Lý thuyết & Phương pháp giải

DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI

Quảng cáo

1. Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp thế

– Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.

– Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

– Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.

DẠNG TOÁN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

1. Phương pháp giải

a. Hệ đối xứng loại 1

Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).

Cách giải

– Đặt S = x + y, P = xy

– Đưa hệ phương trình (I) về hệ (I’) với các ẩn là S và P.

– Giải hệ (I’) ta tìm được S và P

– Tìm nghiệm (x; y) bằng cách giải phương trình: X2 – SX + P = 0

b. Hệ đối xứng loại 2

Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại)

– Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (II) ⇔ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

– Biến đổi (3) về phương trình tích: (3) ⇔ (x-y).g(x,y) = 0 ⇔ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

– Như vậy (II) ⇔ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

– Giải các hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm của hệ (II)

c. Chú ý: Hệ phương trình đối xứng loại 1, 2 nếu có nghiệm là (x0; y0) thì (y0; x0) cũng là một nghiệm của nó

Quảng cáo

DẠNG TOÁN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI

1. Phương pháp giải

Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

– Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0)

– Khi x ≠ 0, đặt y = tx. Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải hệ phương trình

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Hướng dẫn:

a. Đặt S = x + y, P = xy (S2 – 4P ≥ 0)

Ta có : Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

⇒S2 – 2(5-S) = 5 ⇒ S2 + 2S – 15 = 0

⇒ S = -5; S = 3

S = -5⇒ P = 10 (loại)

S = 3⇒ P = 2(nhận)

Khi đó : x, y là nghiệm của phương trình X2 – 3X + 2 = 0

⇔ X = 1; X = 2

Vậy hệ có nghiệm (2; 1), (1; 2)

b. ĐKXĐ: x ≠ 0

Hệ phương trình tương đương với

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1; 1) và (2; -3/2)

Bài 2: Giải hệ phương trình

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Hướng dẫn:

a. Hệ phương trình tương đương

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Với x-y = 4 ⇒ x = y + 4 ⇒ y(y+4) + y + 4 – y = -1

⇔ y2 + 4y + 5 = 0 (vn)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = {(0; 1), (-1; 0)}

b. Đặt S = x+y; P = xy, ta có hệ:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

– Với S = 2 + √2; P = 2√2 ta có x, y là nghiệm phương trình:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Với S = -4-√2; P = 6 + 4√2 ta có x, y là nghiệm phương trình:

X2 + (4+√2)X + 6 + 4√2 = 0 (vô nghiệm)

Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (2; √2) và (√2; 2)

Quảng cáo

Bài 3: Giải hệ phương trình

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Hướng dẫn:

a. Hệ phương trình tương đương

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = {(0;0), (2;2)}

b. Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được:

(y2 – x2 = x3 – y3 – 3(x2 – y2) + 2(x-y) ⇔ (x-y)(x2 + xy + y2 – 2x – 2y + 2) = 0 ⇔ 1/2(x-y)[x2 + y2 + (x + y – 2)2] = 0 ⇔ x = y)

(vì x2 + y2 + (x+y-2)2 > 0)

Thay x = y vào phương trình đầu ta được:

x3 – 4x2 + 2x = 0 ⇔ x(x2 – 4x + 2) = 0

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: (0; 0); (2+√2; 2+√2) và (2-√2; 2-√2)

Bài 4: Giải hệ phương trình

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Hướng dẫn:

a. Ta có : x3 – 3x = y3 – 3y ⇔ (x-y)(x2 + xy + y2) – 3(x-y) = 0

⇔ (x-y)(x2 + xy + y2 – 3) = 0

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Khi x = y thì hệ có nghiệm

Khi x2 + xy + y2 – 3 = 0 ⇔ x2 + y2 = 3 – xy, ta có x6 + y6 = 27

⇔ (x2 + y2)(x4 – x2y2 + y4) = 27

⇒ (3-xy)[(3-xy)2 – 3x2y2] = 27 ⇔ 3(xy)3 + 27xy = 0

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

b. Hệ phương trình tương đương

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Bài 5: Giải hệ phương trình

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Hướng dẫn:

a. Ta cóToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Nếu x = 0 thay vào (1)⇒ y = 0, thay vào (2) thấy (x; y) = (0; 0) là nghiệm

của phương trình (2) nên không phải là nghiệm của hệ phương trình

Nếu x ≠ 0, đặt y = tx , thay vào hệ ta được

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Với t = 1/2 thay vào (**) ta được 4x2 + x2 + 6x = 27 ⇔ 5x2 + 6x – 27 = 0

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Với t = 1/3 thay vào (**) ta được 4x2 + (2/3)x2 + 6x = 27

⇔ 14x2 + 18x – 81 = 0

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

b. Dễ thấy x = 0 không thoả hệ

Với x ≠ 0, đặt y = tx, thay vào hệ ta được

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Suy ra 3(t2 – t + 1) = 2t2 – 3t + 4 ⇒ t = ±1

Thay vào (*) thì

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1/√3;(-1)/√3), ((-1)/√3;1/√3), (-1;-1) và (1;1)

<!–

Quảng cáo

–>

<!– (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); –>

Bài 6: Cho hệ phương trìnhToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án. Tìm giá trị thích hợp của tham số a sao cho hệ có nghiệm (x; y) và tích x.y nhỏ nhất.

Hướng dẫn:

Đặt S = x + y, P = xy (S2 – 4P ≥ 0)

Ta có

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Đẳng thức xảy ra khi a = -1 (nhận)

Bài 7: Xác định m để hệ phương trìnhToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp áncó nghiệm

Hướng dẫn:

Hệ phương trình tương đương

(x2 + y2 – 2xy) – (x + y – 4xy) = m + 1 – 2m ⇔ (x+y)2 – (x+y) + m – 1 = 0

Để hệ phương trình có nghiệm Δ ≥ 0 ⇔ 1 – 4(m-1) ≥ 0 ⇔ 5 – 4m ≥ 0

⇔ m ≤ 5/4

Từ phương trình thứ 2 ta có(x-y)2 = m + 1 ⇒ m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ -1

Do đó -1 ≤ m ≤ 5/4

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

  • Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

  • Bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai

  • Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất

  • Bài tập giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất

  • Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại

khoahoc.vietjack.com

  • Hơn 7500 câu trắc nghiệm Toán 10 có đáp án

  • Hơn 5000 câu trắc nghiệm Hóa 10 có đáp án chi tiết

  • Gần 4000 câu trắc nghiệm Vật lý 10 có đáp án

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất – CHỈ TỪ 199K cho teen 2k5 tại

khoahoc.vietjack.com

Bạn đang xem: Cách giải các dạng hệ phương trình đặc biệt cực hay, chi tiết-Toán lớp 10

Toán lớp 10 – Thầy Phạm Như Toàn

4.5 (243)

799,000đs

399,000 VNĐ

Xem thêm: Công tác xã hội – Wikipedia tiếng Việt

Vật Lý 10 – Thầy Quách Duy Trường

4.5 (243)

799,000đ

399,000 VNĐ

Tiếng Anh lớp 10 – Thầy Quang Hưng

4.5 (243)

799,000đ

399,000 VNĐ

Xem thêm: Phương pháp giải bài tập hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp-Tài Liệu Toán-Thư Viện Học Liệu

Hóa Học lớp 10 – Cô Nguyễn Thị Thu

4.5 (243)

799,000đs

399,000 VNĐ

Xem thêm: Ý nghĩa các chỉ số trong xét nghiệm điện giải đồ là gì?

Ngữ Văn lớp 10 – thầy Nguyễn Thanh Bình

4.5 (243)

799,000đ

399,000 VNĐ

Hóa học lớp 10 – cô Trần Thanh Thủy

4.5 (243)

799,000đ

399,000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng….miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5:

fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với

nội quy bình luận trang web

sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Trang trước

Trang sau

phuong-trinh-he-phuong-trinh.jsp


Các loạt bài lớp 10 khác
  • Soạn Văn 10

  • Soạn Văn 10 (bản ngắn nhất)

  • Giải bài tập Toán 10

  • Giải bài tập Toán 10 nâng cao

  • Bài tập trắc nghiệm Hình học 10 (50 đề)

  • Giải bài tập Vật lý 10

  • Giải bài tập Vật lý 10 nâng cao

  • Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 10 (70 đề)

  • Giải bài tập Hóa học 10

  • Giải bài tập Hóa học 10 nâng cao

  • Bài tập trắc nghiệm Hóa 10 (70 đề)

  • Giải bài tập Sinh học 10

  • Giải bài tập Sinh 10 (ngắn nhất)

  • Bài tập trắc nghiệm Sinh học 10 (35 đề)

  • Giải bài tập Địa Lí 10

  • Giải bài tập Địa Lí 10 (ngắn nhất)

  • Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 10

  • Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 10 (50 đề)

  • Giải bài tập Tiếng anh 10

  • Giải sách bài tập Tiếng Anh 10

  • Giải bài tập Tiếng anh 10 thí điểm

  • Giải bài tập Lịch sử 10

  • Giải bài tập Lịch sử 10 (ngắn nhất)

  • Giải tập bản đồ Lịch sử 10

  • Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử (50 đề) 10

  • Giải bài tập Tin học 10

  • Giải bài tập GDCD 10

  • Giải bài tập GDCD 10 (ngắn nhất)

  • Bài tập trắc nghiệm GDCD 10 (38 đề)

  • Giải bài tập Công nghệ 10

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button