Kiến thức

Các hàm số lượng giác và các dạng bài tập

Các hàm số lượng giác và các dạng bài tập

Tiếp theo nội dung của chương trình đại số lớp 10, chương đầu tiên của chương trình đại số – giải tích lớp 11 chúng ta sẽ tiếp tục học về lượng giác bao gồm hàm số lượng giác và phương trình lượng giác.

Trong bài này chúng ta sẽ nhắc ba tính chất cơ bản nhất của các hàm số lượng giác $y = sin x,y = cos x,y = tan x,y = cot x$ mà ta phải nhớ bao gồm tập xác định, tập giá trị, tính tuần hoàn và một số dạng bài tập ở phần này.

Bạn đang xem: Các hàm số lượng giác và các dạng bài tập

cac ham so luong giaccac ham so luong giac

Tập xác định của hàm số lượng giác

Hàm số $y = sin x$ có TXĐ là $D = R$.

Hàm số $y = cos x$ có TXĐ là $D = R$.

Hàm số $y = tan x$ có TXĐ là $D = Rbackslash left{ {frac{pi }{2} + kpi ,k in Z} right}$

Hàm số $y = cot x$ có TXĐ là $D = Rbackslash left{ {kpi ,k in Z} right}$

Tập giá trị của hàm số lượng giác

Hàm số $y = sin x$ có TGT là $left[ { – 1;1} right]$, nghĩa là ta có $ – 1 le sin x le 1,,,forall x in R$.

Hàm số $y = cos x$ có TGT là $left[ { – 1;1} right]$, nghĩa là ta có $ – 1 le cos x le 1,,,forall x in R$.

Hàm số $y = tan x$ có TGT là R.

Hàm số $y = cot x$ có TGT là R.

Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác

Hàm số $y = sin x$ tuần hoàn theo chu kỳ là $2pi $, nghĩa là ta có $sin left( {x + k2pi } right) = sin x,,forall x in R$.

Hàm số $y = cos x$ tuần hoàn theo chu kỳ là $2pi $, nghĩa là ta có $cos left( {x + k2pi } right) = cos x,,forall x in R$.

Hàm số $y = tan x$ tuần hoàn theo chu kỳ là $pi $, nghĩa là ta có $tan left( {x + kpi } right) = tan x,,forall x in R$.

Hàm số $y = cot x$ tuần hoàn theo chu kỳ là $pi $, nghĩa là ta có $cot left( {x + kpi } right) = cot x,,forall x in R$.

Các dạng bài tập hàm số lượng giác

Trong bài này chúng ta có hai dạng toán thường gặp là tìm tập xác định và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác.

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a. $y = sin sqrt {x + 1} $           b. $y = frac{1}{{cos 2x}}$         c. $y = tan left( {x – frac{pi }{3}} right)$      d. $y = frac{1}{{cot x}}$

Giải

a. Hàm số xác định khi: $sqrt {x + 1} in R Leftrightarrow x + 1 ge 0 Leftrightarrow x ge – 1$

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: $D = left[ { – 1; + infty } right)$

b. Hàm số xác định khi: $cos 2x ne 0 Leftrightarrow 2x ne frac{pi }{2} + kpi ,,left( {k in Z} right)$$ Leftrightarrow x ne frac{pi }{4} + kfrac{pi }{2}$

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: $D = Rbackslash left{ {frac{pi }{4} + kfrac{pi }{2}|k in Z} right}$

c. Hàm số xác định khi: $x – frac{pi }{3} ne frac{pi }{2} + kpi Leftrightarrow x ne frac{{5pi }}{6} + kpi ,,,left( {k in Z} right)$

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: $D = Rbackslash left{ {frac{5pi }{6} + kpi |k in Z} right}$

d. Hàm số xác định khi: $left{ begin{array}{l}cot x ne 0\x ne kpi ,,,,left( {k in Z} right)end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}x ne frac{pi }{2} + kpi \x ne kpi ,,,,end{array} right.,,left( {k in Z} right)$

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: $D = Rbackslash left{ {frac{pi }{2} + kpi ,kpi |k in Z} right}$

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a. $y = 2sin x – 3$      b. $y = {cos ^2}2x – 2$        c. $y = sin x + sqrt 3 cos x$

Giải

a. Ta có: $forall x in R$ thì:

$ – 1 le sin x le 1 Leftrightarrow – 2 le 2sin x le 2$

$ Leftrightarrow – 5 le 2sin x – 3 le – 1 Leftrightarrow – 5 le y le – 1$

$y = – 5 Leftrightarrow sin x = – 1 Leftrightarrow x = – frac{pi }{2} + k2pi ,,left( {k in Z} right)$

$y = – 2 Leftrightarrow sin x = 1 Leftrightarrow x = frac{pi }{2} + k2pi ,,left( {k in Z} right)$

Vậy $min y = – 5$  tại $x = – frac{pi }{2} + k2pi ,,left( {k in Z} right)$

$max y = – 1$  tại $x = frac{pi }{2} + k2pi ,,left( {k in Z} right)$

b. Ta có: $forall x in R$ thì:

$ – 1 le cos 2x le 1 Leftrightarrow 0 le {cos ^2}2x le 1$

$ Leftrightarrow – 2 le {cos ^2}2x – 2 le – 1 Leftrightarrow – 2 le y le – 1$

$y = – 2 Leftrightarrow cos 2x = 0 Leftrightarrow 2x = frac{pi }{2} + kpi Leftrightarrow x = frac{pi }{4} + kfrac{pi }{2},,left( {k in Z} right)$

$y = – 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}cos 2x = 1\cos 2x = – 1end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}2x = k2pi \2x = pi + k2pi end{array} right., Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = kpi \x = frac{pi }{2} + kpi end{array} right.left( {k in Z} right)$

Vậy $min y = – 2$  tại $x = frac{pi }{4} + kfrac{pi }{2},,left( {k in Z} right)$

$max y = – 1$  tại $x = kpi $ hoặc $x = frac{pi }{2} + kpi $ $left( {k in Z} right)$

c. Ta có: $y = sin x + sqrt 3 cos x = 2left( {frac{1}{2}sin x + frac{{sqrt 3 }}{2}cos x} right)$

$ = 2left( {cos frac{pi }{3}sin x + sin frac{pi }{3}cos x} right) = 2sin left( {x + frac{pi }{3}} right)$

Đến đây bạn có thể tự giải tương tự như ví dụ a và b.

Trên đây là tóm tắt lý thuyết cơ bản nhất về hàm số lượng giác và các dạng bài tập trong phần này các bạn cần phải nắm vững. Trong bài sau ta sẽ tìm hiểu về

phương trình lượng giác cơ bản

.

Quý thầy cô và bạn đọc muốn đóng góp tài liệu hoặc bài viết cho website TOANPT, vui lòng gửi về:

1. Fanpage:

Toán phổ thông

2. Email: admin@toanpt.com

Chúng tôi trận trọng mọi đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Xin cảm ơn!

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button