Kiến thức

20 bài tập Số phức chọn lọc, có lời giải-Toán lớp 12

20 bài tập Số phức chọn lọc, có lời giải

  • Đồng giá 250k 1 khóa học lớp 3-12 bất kỳ tại VietJack!


Trang trước

Trang sau


20 bài tập Số phức chọn lọc, có lời giải

Bài giảng: Các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z – 3 + 4i| ≤ 2. Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 2z + 1 – i là hình tròn có diện tích:

Quảng cáo

A. S = 9π    B. S = 12π.    C. S = 16π.    D.S = 25π.

Hướng dẫn:

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

<=> |w – 1 + i – 6 + 8i| ≤ 4 <=> |w – 7 + 9i| ≤ 4 (1)

Giả sử w = x + yi, khi đó (1) <=> (x – 7)2 + (y + 9)2 ≤ 16

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm I(7; -9), bán kính r = 4

Vậy diện tích cần tìm là S = π.42 = 16π

Chọn C.

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

A.5    B.4    C.6    D.8

Hướng dẫn:

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Khi z = i thì A = 6

Chọn C.

Câu 3. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất max M và giá trị nhỏ nhất min M của biểu thức M = |z2 + z + 1| + |z3 + 1|

A. max M = 5; min M = 1   B. max M = 5; min M = 2

C. max M = 4; min M = 1   D.max M = 4; min M = 2

Quảng cáo

Hướng dẫn:

Ta có: M ≤ |z|2 + |z| + 1 + |z|3 + 1 = 5 ,

khi z = 1 thì M = 5 nên max M = 5

Mặt khác:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

khi z = -1 thì M = 1 nên min M = 1

Chọn A.

Câu 4. Cho số phức z thỏa |z| ≥ 2 . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Mặt khác:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án , xảy ra khi z = -2i

giá trị lớn nhất của P bằng Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án xảy ra khi z = 2i

Chọn A.

Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |1 + z| + 3|1 – z|

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi.

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

=> y2 = 1 – x2 => x ∈ [-1; 1]

Ta có:

P = |1 + z| + 3|1 – z|

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Xét hàm số:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hàm số liên tục trên [-1; 1] và với x ∈ (-1; 1) ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ta có:

f(1) = 2; f(-1) = 6;

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn D.

Quảng cáo

Câu 6 . Cho số phức z thỏa mãn điều kiện |z2 + 4| = 2|z|. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Áp dụng bất đẳng thức |u| + |v| ≥ | u + v|, ta được:

2|z| + |-4| = |z2 + 4| + |-4| ≥ |z|2 => |z|2 – 2|z| – 4 ≤ 0 => |z| ≤ √5 + 1.

2|z| + |z|2 = |z2 + 4| + |-z2| ≥ 4 => |z|2 + 2|z| – 4 ≥ 0 => |z| ≥ √5 – 1

Vậy |z| nhỏ nhất là √5 – 1 khi z = -1 + i√5 và |z| lớn nhất là √5 + 1 khi z = 1 + i√5

Chọn B.

Câu 7. Cho z1; z2 là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án ∈ R và |z1 – z2| = 2√3. Tính môđun của số phức z1.

A. |z1| = √5

B. |z1| = 3

C. |z1| = 2

D. |z1| = Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Gọi z1 = a + bi; z2 = a – bi.

Không mất tính tổng quát ta coi b ≥ 0

Do |z1 – z2| = 2√3 => |2bi| = 2√3 => b = √3

Do z1; z2 là hai số phức liên hợp của nhau nên z1; z2 ∈ R, mà:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Ta có:

(z1)3 = (a + bi)3 = (a3 – 3ab2) + (3a2b – b3)i ∈ R

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn C.

Câu 8. Gọi z = x + yi là số phức thỏa mãn hai điều kiện: |z – 2|2 + |z + 2|2 = 26 và

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Đặt z = x + yi Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được x2 + y2 = 36

Đặt x = 3.cost; y = 3sint. Thay vào điều kiện thứ hai, ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Dấu bằng xảy ra khi:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn D.

Câu 9. Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện |z – 3 – 4i| = √5 và biểu thức M = |z + 2|2 – |z – i|2 đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z + i.

A. |z + i| = 2√41

B. |z + i| = 3√5

C. |z + i| = 5√2

D. |z + i| = √41

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi.

Ta có: |z – 3 – 4i| = √5 <=> (C): (x – 3)2 + (y – 4)2 = 5, tâm I(3; 4) và R = √5

Mặt khác:

M = |z + 2|2 – |z – i|2 = (x + 2)2 + y2 – [(x2) + (y – 1)2] = 4x + 2y + 3

<=> d: 4x + 4y + 3 – M = 0

Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và (C) có điểm chung

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn D.

<!–

Quảng cáo

–>

<!– (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({}); –>

Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: |z – 1 + 2i| = √5 và w = z + 1 + i có môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng:

A. 2√5    B. 3√2

C. √6   D. 5√2

Hướng dẫn:

Gọi z = x + y; khi đó: z – 1 + 2i = (x – 1) + (y + 2)i

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Suy ra tập hợp điểm M(x; y) biểu diễn số phức z thuộc đường tròn (C) tâm I(1; -2) bán kính R = √5 như hình vẽ:

Dễ thấy O ∈ (C), N(-; -1) ∈ (C),

Theo đề ta có: M(x; y) ∈ (C) là điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: w = z + 1 + i = x + yi + 1 + i = (x + 1) + (y + 1)i

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Suy ra |z + 1 + i|đạt giá trị lớn nhất khi MN lớn nhất

Mà M, N ∈ (C) nên MN lớn nhất khi MN là đường kính đường tròn (C)

Khi và chỉ khi I là trung điểm MN => M(3; 3) => z = 3 – 3i

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn B

Câu 11: Cho hai số phức z1; z2 có điểm biểu diễn lần lượt là M1; M2 cùng thuộc đường tròn có phương trình x2 + y2 = 1 và |z1 – z2| = 1. Tính giá trị biểu thức P = |z1 + z2|

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

M1; M2 đường tròn (T) có tâm O(0; 0) và bán kính R = 1

Ta có |z1 – z2| = 1 hay M1M2 = 1.tam giác OM1M2 là tam giác đều cạnh bằng 1

Suy ra:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn D.

Câu 12. Cho các số phức a; b;c thỏa mãn a + b + c = 0 và |a| = |b| = |c| = 1. Gọi A; B: C lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức a; b; c . Tính diện tích của tam giác ABC

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Cách 1: (Tự luận)

+ Trước hết ta chứng minh tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn bán kính bằng 1. Thực vậy: từ giả thiết |a| = |b| = |c| = 1. Nên A; B; C đều thuộc đường tròn (O;R = 1) .

+ Ta chứng minh tam giác ABC đều. Chú ý: |a – b| = AB

+ Từ a + b + c = 0 nên a = -b -c => |b + c| = 1 và |c + a| = |a + b| = 1 .

Mặt khác theo hằng đẳng thức hình bình hành ta có |a + b|2 + |a – b|2 = 2(|a|2 + |b|2) nên ta có được |a – b|2 = 2.2 – 1 = 3 => |a – b| = √3 => AB = √3 .

Tương tự ta tính được BC = CA = √3 . Do đó tam giác ABC đều với cạnh bằng √3 nên có diện tích bằng

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Cách 2: Chuẩn hóa bằng các số phức:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Khi đó ta dễ thấy các số phức trên thỏa mãn các điều kiện của bài toán.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

từ đó ta tìm được diện tích của tam giác ABC.

Chọn C.

Câu 13. Gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Khi đó, mệnh đề nào dưới đây là đúng.

A. A; B; Cthẳng hàng.    B. Tam giác ABC là tam giác tù.

C. ΔABC là tam giác đều.    D. Tam giác ABC là tam giác vuông cân.

Hướng dẫn:

Ta có z1 = 2 – i; z2 = 3 + i; z3 = 2i.

Từ trên ta được A( 2; -1); B(3; 1); C(0; 2).

Ta được:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

– Do Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án nên ba điểm A; B; C không thẳng hàng từ đó ta được tam giác ABC.

– Dễ thấy tam giác ABC không phải là tam giác đều và cũng không phải tam giác vuông.

Vậy tam giác ABC là tam giác tù.

Chọn B.

Câu 14. Cho số phức z thỏa mãn |z – 1 + 2i| + |z + 2 – i| = 3√2. Gọi M; m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = |z – 3 + i|. Giá trị của tổng S = M + m là:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

+ Trước hết ta có mệnh đề quen thuộc: Nếu z; z’ lần lượt có điểm biểu diễn là A; A’ thì |z’ – z| = A’A .

+ Xét các số phức z1 = 1 – 2i; z2 = -2 + i; z3 = 3 – i và z = x + yi lần lượt có điểm biểu diễn là A; B; C và N.

Khi đó ta có giả thiết là NA + NB = 3√2 (1) với AB = 3√2 (2).

Từ (1) và (2) ta được N thuộc đoạn thẳng AB.

Yêu cầu bài toán là tìm min hoặc max của biểu thức S = NC với ABC là 3 đỉnh của tam giác.

Khi đó minP = NC; maxP = max{CA,CB} .

+ Ta có đường thẳng AB: x + y + 1 = 0 nên

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

+ CA = √5;CB = √29 suy ra max P = √29.

Chọn A.

Câu 15. Cho 3 số phức z1; z2; z3 phân biệt thỏa mãn |z1| = |z2| = |z3| = 3 và Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án Biết rằng các điểm biểu diễn cho các số phức z1; z2; z3 lần lượt là A; B; C. Tính số đo góc ∠ACB

A. 60o

B. 90o

C. 150o

D. 120o

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Giả sử zk = xk + yk, khi đó điểm A(x1; y1); B( x2; y2); C(x3; y3) lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z1; z2; z3 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

+ Từ giả thiết |z1| = |z2| = |z3| = 3 => OA = OB = OC = 3nên A; B; C đều thuộc đường tròn tâm O, bán kính R = 3.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

(vì |z1| = |z2| = |z3| = 3 ) hay x1 – y1.i + x2 – y2.i = x3 – y3i.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

+ Vì OA = OB = 3 và Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án nên OACB là hình thoi với một đường chéo OC = 3.

+ Từ trên suy ra tam giác OAC; OBC đều cạnh bằng 3 nên ∠ACB = 120o

Chọn D.

Câu 16. Cho các số phức a; b; c; z thỏa mãn az2 + bz + c = 0 và |a| = |b| = |c| > 0 . Kí hiệu M = max|z|, m = min|z|. Tính mô đun của số phức w = M – mi.

A. |w| = √3    B. |w| = 1    C. |w| = 2√3    D. |w| = 2

Hướng dẫn:

Ta thấy phương trình az2 + bz + c = 0 trên tập số phức luôn có hai nghiệm phân biệt hoặc trùng nhau z1; z2.

Theo định lý vi – ét ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Đặt |z1| = x > 0; x ∈ R , khi đó ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Từ bất đẳng thức |z1| + |z2| ≥ |z1 + z2| nên ba số |z1|, |z2|, |z1 + z2| là 3 cạnh của một tam giác (có thể suy biến thành đoạn thẳng).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ngược ta được:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn A.

Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án. Tổng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của |z| là:

A. 3    B. √5    C. √13    D. 5

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Với giả thiết ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Từ đó ta được:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Từ đó bằng cách thay a cụ thể ta được đáp án C.

Câu 18. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1 Tìm tổng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P với P = |1 + z22| – |1 + z| ?

A. 2 + √2   B. 1 + 2√2   C. -1 + 2√2   D. 2 – √2

Hướng dẫn:

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

nên ta có maxP = P(1) = 0; minP = P(0) = -√2.

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Hàm số nghịch biến trên .

Từ đó ta được max P = P(-1) = 2; minP = P(0) = -√2.

+ Từ trên ta được:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn A.

Câu 19. Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn |z1|z1 = 4|z2|z2 và nếu gọi M, N là điểm biểu diễn z1; Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án trong mặt phẳng tọa độ thì tam giác giác MON có diện tích là 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z1 + z2|

A. 3√3    B.8   C. 6√2   D.5

Hướng dẫn:

Giải theo tự luận

+ Từ giả thiết |z1|z1 = 4|z2|z2, suy ra |z1| = 2|z2| và ta được z1 = 2z2.

+ Giả sử z1 = x + yi; z2 = a + bi. Ta được Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án và M(x; y); N(a; -b); N’(a; b) lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z1, Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án và z2.

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Từ diện tích của tam giác OMN bằng 8 nên |bx + ay| = 16 hay |ab| = 4 (1).

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Dấu bằng diễn ra khi và chỉ khi :

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Chọn C.

Câu 20. Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn |z1 + 5| = 5, |z2 + 1 – 3i| = |z2 – 3 – 6i|. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z1 – z2|

Hướng dẫn:

Giả sử M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z1 = a + bi, N(c; d) là điểm biểu diễn của số phức z2 = c + di

Ta có: |z1 + 5| = 5 <=> (z1 + 5)2 + b2 = 25

Vậy M thuộc đường tròn (C): (x + 5)2 + y2 = 25

|z2 + 1 – 3i| = |z2 – 3 – 6i| <=> 8c + 6d = 35

Vậy N thuộc đường thẳng Δ 8x + 6y = 35

Dễ thấy đường thẳng Δ không cắt (C) và |z1 – z2| = M .

Bài toán trở thành: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) và đường thẳng 8x + 6y = 35. Tìm giá trị nhỏ nhất của MN, biết M chạy trên (C) , N chạy trên đường thẳng Δ .

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với Δ .

PT đường thẳng d là 6x – 8y = -30.

Gọi H là giao điểm của d và Δ . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Gọi K, L là giao điểm của d với đường tròn (C). Tọa độ K, L là nghiệm của hệ

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Vậy K(-1; 3), L(-9; -3)

Tính trực tiếp HK, HL. Suy ra

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Câu 21. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2 + 3i| = Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án. Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Giả sử z = x + yi, khi đó:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

=> Tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện đã cho là đường tròn tâm I(2; -3) và bán kính Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M thuộc đường tròn và gần O nhất

=> M trùng với M1 là giao của đường thẳng OI với đường tròn.

Ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Kẻ M1H ⊥ Ox. Theo định lý Talet ta có:

Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

  • Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của môđun số phức

  • Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 1)

  • Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 2)

  • Dạng 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (tổng hợp)

  • 18 Bài tập số phức hay và khó

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại

khoahoc.vietjack.com

  • Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán có đáp án

  • Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa có đáp án chi tiết

  • Gần 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý có đáp án

  • Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Tiếng Anh có đáp án

  • Kho trắc nghiệm các môn khác

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất – CHỈ TỪ 399K tại

khoahoc.vietjack.com

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Bạn đang xem: 20 bài tập Số phức chọn lọc, có lời giải-Toán lớp 12

Luyện thi THPT QG môn Hóa – Thầy Trần Thế Anh

4.5 (243)

799,000đs

599.000 VNĐ

Xem thêm: Điện dung là gì? Công thức tính điện dung của tụ điện

Luyện thi THPTQG môn Tiếng Anh – Cô Vũ Thanh Hoa

4.5 (243)

799,000đ

599.000 VNĐ

Luyện thi THPTQG môn Sinh – Thầy Nguyễn Viết Trung – Mục tiêu 8+

4.5 (243)

799,000đ

599.000 VNĐ

Xem thêm: MỸ THUẬT TPHCM-Cùng bạn chọn trường

Luyện thi THPTQG môn Lý – Thầy Hoàng Cường – MỤC TIÊU 8+

4.5 (243)

799,000đs

599.000 VNĐ

Xem thêm: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN – Blog Math 123

Luyện thi THPTQG môn Toán – Thầy Nguyễn Quý Huy – MỤC TIÊU 8+

4.5 (243)

799,000đ

599.000 VNĐ

Luyện thi THPT QG môn Toán – Thầy Trần Xuân Trường

4.5 (243)

799,000đ

599.000 VNĐ

xem tất cả


Trang trước

Trang sau

so-phuc.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác
  • Soạn Văn 12

  • Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)

  • Văn mẫu lớp 12

  • Giải bài tập Toán 12

  • Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)

  • Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)

  • Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)

  • Giải bài tập Vật lý 12

  • Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)

  • Chuyên đề: Lý thuyết – Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)

  • Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)

  • Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)

  • Giải bài tập Hóa học 12

  • Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao

  • Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)

  • Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)

  • Giải bài tập Sinh học 12

  • Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)

  • Chuyên đề Sinh học 12

  • Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)

  • Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)

  • Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)

  • Giải bài tập Địa Lí 12

  • Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)

  • Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12

  • Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)

  • Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)

  • Giải bài tập Tiếng anh 12

  • Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm

  • Giải bài tập Lịch sử 12

  • Giải tập bản đồ Lịch sử 12

  • Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12

  • Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)

  • Giải bài tập Tin học 12

  • Giải bài tập GDCD 12

  • Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)

  • Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)

  • Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)

  • Giải bài tập Công nghệ 12

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button