Kiến thức

Các phương pháp tìm cực trị của hàm số

Các phương pháp tìm cực trị của hàm số

Bài toán tìm cực trị của hàm số là bài toán thường gặp trong chương trình giải tích 12, các em học sinh cần nắm vững các phương pháp tìm cực trị của hàm số để áp dụng vào quá trình khảo sát sự biến thiên và giải các bài toán liên quan.

Xem thêm

Một số dạng toán cực trị hàm số cơ bản và nâng cao

Bài toán cơ bản mà học sinh thường gặp là tìm cực trị của hàm số y = f(x). Có hai phương pháp để làm bài toán này:

Bạn đang xem: Các phương pháp tìm cực trị của hàm số

Phương pháp 1: Tìm cực trị bằng cách sử dụng bảng biến thiên

Các bước lập bảng biến thiên ta đã được biết trong phương pháp xét

tính đơn điệu của hàm số

, chỉ khác ở phần kết luận. Ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số f(x)
Bước 2: Tìm y’, giải phương trình y’ = 0.
Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận:

  • Nếu y’ đổi dấu từ – sang + khi qua điểm ${x_0}$ (từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực tiểu tại ${x_0}$.
  • Nếu y’ đổi dấu từ + sang – khi qua điểm ${x_0}$ (từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực tiểu tại ${x_0}$.


Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số $y = frac{1}{3}{x^3} – frac{1}{2}{x^2} – 2x + 2$
Giải
Tập xác định: D = R
$y’ = {x^2} – x – 2$
$y’ = 0 Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = – 1\x = 2end{array} right.$
Bảng biến thiên:

bang bien thien cuc tribang bien thien cuc tri

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1 và giá trị cực đại ${y_{{rm{CD}}}} = yleft( { – 1} right) = frac{{19}}{6}$
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu ${y_{CT}} = yleft( 2 right) = frac{{ – 4}}{3}$

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số $y = frac{{x + 3}}{{2x – 1}}$

Giải

Tập xác định: $D = Rbackslash left{ {frac{1}{2}} right}$

$y’ = frac{{ – 7}}{{{{left( {2x – 1} right)}^2}}} < 0,,forall x in D$

Vậy hàm số không có cực trị.

Phương pháp 2: Tìm cực trị bằng cách sử dụng đạo hàm cấp 2

Phương pháp này thường được sử dụng đối với các hàm số mà việc lập bảng biến thiên tương đối khó khăn. Ta làm theo các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định.
Bước 2: Tính y’. Giải phương trình y’ = 0 và kí hiệu ${x_i}$ ($i = 1,{rm{ }}2,…$) là các nghiệm của nó.
Bước 3: Tính  ${f”}left( x right)$ và ${f”}left( {{x_i}} right)$ rồi kết luận:

  • Nếu ${f”}left( {{x_i}} right) < 0$ thì hàm số đạt cực đại tại ${{x_i}}$.
  • Nếu ${f”}left( {{x_i}} right) > 0$ thì hàm số đạt cực tiểu tại ${{x_i}}$.

Ví dụ 3: Tìm cực trị của hàm số: $y = cos x + frac{1}{2}c{rm{os}}2x – 1$

Giải

Tập xác định: D = R

$y’ = – {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} – sin 2x$

$y’ = 0 Leftrightarrow {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}(1 + 2cos x) = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} = 0\cos x = – frac{1}{2}end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = kpi \x = pm frac{{2pi }}{3} + k2pi end{array} right.$

$y” = -cos x – 2c{rm{os}}2x$

Ta có: $y”(kpi ) = -c{rm{os}}(kpi ) – 2c{rm{os}}(k2pi ) = pm 1 – 2 < 0$

$ Rightarrow $ Hàm số đạt cực đại tại $x = kpi{rm{}}(k in {rm Z})$

$y”left( { pm frac{{2pi }}{3} + k2pi } right) = -c{rm{os}}left( { pm frac{{2pi }}{3}} right) – 2cos left( { pm frac{{4pi }}{3}} right) = frac{1}{2} + 1 = frac{3}{2} > 0$

$ Rightarrow $ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = pm frac{{2pi }}{3} + k2pi{rm{}}(k in Z)$

Trên đây là hai phương pháp tìm cực trị của hàm số mà học sinh bắt buộc phải nắm vững. Vấn đề cực trị của hàm số còn có nhiều bài toán liên quan khác như tìm tham số m để hàm số có cực trị hoặc không có cực trị, tìm m để hàm số có cực trị thõa điều kiện…Các bài toán này sẽ được đề cập trong bài viết sau.

Xem bài viết

Một số dạng toán cực trị hàm số cơ bản và nâng cao

Quý thầy cô và bạn đọc muốn đóng góp tài liệu hoặc bài viết cho website TOANPT, vui lòng gửi về:

1. Fanpage:

Toán phổ thông

2. Email: admin@toanpt.com

Chúng tôi trận trọng mọi đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Xin cảm ơn!

Chuyên mục: Kiến thức

Related Articles

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Check Also
Close
Back to top button